高三數(shù)學一輪復習五層訓練(新高考地區(qū))第41練二項式定理(原卷版+解析)

第41練二項式定理一、課本變式練1.（人A選擇性必修三P34習題6.3T2變式）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．352.（人A選擇性必修三P34習題6.3T8變式）已知（1+2x）n的展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，則所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為（

）A．211 B．210 C．29 D．283.（多選）（人A選擇性必修三P34習題6.3T6變式）在二項式的展開式中，正確的說法是（

）A．常數(shù)項是第3項 B．各項的系數(shù)和是1C．偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為32 D．第4項的二項式系數(shù)最大4.（人A選擇性必修三P34習題6.3T6（2）變式）．的展開式中常數(shù)項是______________．（用數(shù)字作答）二、考點分類練(一)求指定項系數(shù)5.（2023屆吉林省長春外國語學校高三上學期期中）的展開式中，的系數(shù)等于（

）A． B． C．10 D．456.（2023屆四川省成都市金牛區(qū)高三上學期階段性檢測）二項式展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．135 C．140 D．1007.（多選）（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學期8月聯(lián)合調(diào)研）若，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．8.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期階段性檢測）已知多項式，則的值為______．(二)求二項式系數(shù)之和或系數(shù)之和9．（2022屆貴州省遵義市高三第三次統(tǒng)一考試）已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A．10 B．15 C．18 D．3010.（2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學期教學質(zhì)量檢測）設，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11.（2023屆貴州省貴陽第一中學高三高考適應性月考）已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中一次項系數(shù)為___________．(三)最值問題12.設為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．813.（2023屆廣東省普寧市華美實驗學校高三上學期月考）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．不存在常數(shù)項 B．第4項和第5項二項式系數(shù)最大C．第3項的系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為12814．（2023屆四川省岳池中學高三上學期12月月考）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為___________．(四)與其他知識的交匯問題15.已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為，其中，則展開式中常數(shù)項是（

）A． B． C． D．4516.已知（，且），其中，，則（

）A． B．C． D．17.已知且滿足能被8整除，則符合條件的一個的值為___________.三、最新模擬練18．（2023屆廣西貴港市百校高三上學期11月聯(lián)考）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．3519.（2023屆江西省南昌市第二中學高三上學期第一次考試）在展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．常數(shù)項為 B．第項的系數(shù)最大C．第項的二項式系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為20.（2022屆重慶市永川北山中學校高三高考沖刺）已知，則（

）A． B．C． D．21.（2023屆廣東省東莞市第四高級中學高三上學期8月月考）已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．展開式中二項式系數(shù)之和為256C．展開式中第5項為D．展開式中的系數(shù)為22.（2022屆重慶市西南大學附屬中學校高三全真模擬）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．與都是正整數(shù)C．是的小數(shù)部分D．設，，則23.（2023屆廣東省高三上學期11月聯(lián)合質(zhì)量測評）的展開式中，含項的系數(shù)為___________．24.（2023屆江西省西路片七校高三上學期第一次聯(lián)考）已知（為整數(shù)）的展開式中項的系數(shù)為20，則的展開式中的常數(shù)項為_________．25．（2023屆福建省廈門外國語學校高三上學期第月考）設，1，2，…，2022）是常數(shù)，對于，都有，則=________.四、高考真題練26．(2022新高考全國I卷)展開式中的系數(shù)為________________(用數(shù)字作答)．五、綜合提升練27.（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月大聯(lián)考）下列各式中，不是的展開式中的項是（

）A． B． C． D．28.（2022屆江蘇省南通市基地學校高三下學期3月大聯(lián)考）若，則（

）A． B．C． D．29.楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)了，在數(shù)學史上具有重要的地位．現(xiàn)將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如下表所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，比如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和．如果，那么下面關于萊布尼茨三角形的性質(zhì)描述正確的是__________．①當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最小值；②；③；④．第0行

第1行

第2行

第3行

……

……第n行

……

30.（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學期起點考試）已知為正整數(shù)，.其中的系數(shù)為10，則的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為___________.第41練二項式定理一、課本變式練1.（人A選擇性必修三P34習題6.3T2變式）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．35【答案】A【解析】因為展開式的通項公式為，所以當時，含有的項，此時，故的系數(shù)為．故選A2.（人A選擇性必修三P34習題6.3T8變式）已知（1+2x）n的展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，則所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為（

）A．211 B．210 C．29 D．28【答案】C【解析】由題意可得，，所以n=10，則（1+2x）n的二項式系數(shù)之和為210.所以所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和29，故選C．3.（多選）（人A選擇性必修三P34習題6.3T6變式）在二項式的展開式中，正確的說法是（

）A．常數(shù)項是第3項 B．各項的系數(shù)和是1C．偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為32 D．第4項的二項式系數(shù)最大【答案】BCD【解析】二項式的展開式通項為，對于A選項，令，可得，故常數(shù)項是第項，A錯；對于B選項，各項的系數(shù)和是，B對；對于C選項，偶數(shù)項二項式系數(shù)和為，C對對于D選項，展開式共項，第項二項式系數(shù)最大，D對；故選BCD4.（人A選擇性必修三P34習題6.3T6（2）變式）．的展開式中常數(shù)項是______________．（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】的展開式的通項公式，令，解得，所求常數(shù)項為．二、考點分類練(一)求指定項系數(shù)5.（2023屆吉林省長春外國語學校高三上學期期中）的展開式中，的系數(shù)等于（

）A． B． C．10 D．45【答案】B【解析】的展開式為，令，解得：，故，所以的系數(shù)等于-10.故選B6.（2023屆四川省成都市金牛區(qū)高三上學期階段性檢測）二項式展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．135 C．140 D．100【答案】B【解析】的展開式通項公式為，其中，，，故二項式中的四次方項為，即展開式中的系數(shù)為.故選B7.（多選）（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學期8月聯(lián)合調(diào)研）若，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，令，則，所以A正確，對于B，因為5個相同的因式相乘，要得到含的項，可以是5個因式中，一個取，其他4個因式取2，或兩個因式取，其他3個因式取2，所以，所以B錯誤，對于C，令，則，因為，所以，所以C錯誤，對于D，展開式所有項系數(shù)和為，令，則，因為，所以，所以D正確，故選AD8.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期階段性檢測）已知多項式，則的值為______．【答案】【解析】依題意，含的項為，所以.(二)求二項式系數(shù)之和或系數(shù)之和9．（2022屆貴州省遵義市高三第三次統(tǒng)一考試）已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A．10 B．15 C．18 D．30【答案】B【解析】由于二項式展開式的二項式系數(shù)和為，所以.二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.故選B10.（2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學期教學質(zhì)量檢測）設，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，則，即，A錯誤；令，則，即①，則，B錯誤；令，則，即②，由①②可得：，，C、D正確；故選CD.11.（2023屆貴州省貴陽第一中學高三高考適應性月考）已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中一次項系數(shù)為___________．【答案】【解析】令，可得的展開式中各項系數(shù)的和為，．，故該展開式中一次項為，(三)最值問題12.設為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，故，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.故選C13.（2023屆廣東省普寧市華美實驗學校高三上學期月考）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．不存在常數(shù)項 B．第4項和第5項二項式系數(shù)最大C．第3項的系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為128【答案】ABC【解析】因為展開式的通項公式為，由，得(舍去)，所以展開式不存在常數(shù)項，故A正確；展開式共有項，所以第4項和第5項二項式系數(shù)最大，故B正確；由通項公式可得為偶數(shù)時，系數(shù)才有可能取到最大值，由，可知第項的系數(shù)最大，故C正確；令，得所有項的系數(shù)和為，故D錯誤；故選ABC.14．（2023屆四川省岳池中學高三上學期12月月考）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為___________．【答案】2【解析】的展開式有項,因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大,所以當時,,當時,,符合題意所以展開式中有理項的個數(shù)為2(四)與其他知識的交匯問題15.已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為，其中，則展開式中常數(shù)項是（

）A． B． C． D．45【答案】D【解析】由二項式展開項通項公式可得第項為，故第三項與第五項的系數(shù)之比為，解得（），由得故常數(shù)項為.故選D16.已知（，且），其中，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由二項式定理可得，則，由得，由，得，則，，所以，所以，，所以，A選項正確；因為，，所以在中，令，可得，所以B選項不正確；由題可得，所以，所以，所以選項C正確；因為，，所以在中，令，可得，又，所以，所以D選項正確.故選ACD.17.已知且滿足能被8整除，則符合條件的一個的值為___________.【答案】5（答案不唯一）【解析】由已知得，由已知且滿足能被8整除，則是8的整數(shù)倍，所以（），則符合條件的一個的值為5.三、最新模擬練18．（2023屆廣西貴港市百校高三上學期11月聯(lián)考）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．35【答案】A【解析】因為展開式的通項公式為，所以當時，含有的項，此時，故的系數(shù)為．故選A19.（2023屆江西省南昌市第二中學高三上學期第一次考試）在展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．常數(shù)項為 B．第項的系數(shù)最大C．第項的二項式系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為【答案】B【解析】展開式的通項為：；對于A，令，解得：，常數(shù)項為，A正確；對于B，由通項公式知：若要系數(shù)最大，所有可能的取值為，則，，，，展開式第項的系數(shù)最大，B錯誤；對于C，展開式共有項，則第項的二項式系數(shù)最大，C正確；對于D，令，則所有項的系數(shù)和為，D正確.故選B.20.（2022屆重慶市永川北山中學校高三高考沖刺）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，當時，，于是得.故選B21.（2023屆廣東省東莞市第四高級中學高三上學期8月月考）已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．展開式中二項式系數(shù)之和為256C．展開式中第5項為D．展開式中的系數(shù)為【答案】AC【解析】對于A：令可得，解得，故A正確；對于B：二項式系數(shù)和為，故B錯誤；對于C：展開式的通項為，第5項即，所以，故C正確；對于D：令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，故D錯誤.故選AC22.（2022屆重慶市西南大學附屬中學校高三全真模擬）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．與都是正整數(shù)C．是的小數(shù)部分D．設，，則【答案】ACD【解析】對于A，，當時，展開式通項為，，，，A正確；對于B，，不妨令，則，不是正整數(shù)，B錯誤；對于C，，為正整數(shù)，為正整數(shù)，又，，是的小數(shù)部分，C正確；對于D，，展開式通項為；當為偶數(shù)時，，，，，即，；當為奇數(shù)時，，，，，即，；綜上所述：成立，D正確.故選ACD.23.（2023屆廣東省高三上學期11月聯(lián)合質(zhì)量測評）的展開式中，含項的系數(shù)為___________．【答案】【解析】的展開式中，含項的系數(shù)為．24.（2023屆江西省西路片七校高三上學期第一次聯(lián)考）已知（為整數(shù)）的展開式中項的系數(shù)為20，則的展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】240【解析】，則其展開式中項的系數(shù)為，整理得：，解得：或，又因為為整數(shù)，所以，設展開式的通項為，令，得.所以的展開式中的常數(shù)項為25．（2023屆福建省廈門外國語學校高三上學期第月考）設，1，2，…，2022）是常數(shù)，對于，都有，則=________.【答案】2021【解析】因為，則令可得.又對兩邊求導可得：，令，則，所以，所以故，所以.四、高考真題練26．(2022新高考全國I卷)展開式中的系數(shù)為________________(用數(shù)字作答)．【答案】-28【解析】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28五、綜合提升練27.（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月大聯(lián)考）下列各式中，不是的展開式中的項是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】表示4個因式的乘積，在這4個因式中，有一個因式選，其余的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有1個因式選，剩下的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式中有一個選，剩下的一個因式選，所得的項為，所以不是的展開式中的項.故選D.28.（2022屆江蘇省南通市基地學校高三下學期3月大聯(lián)考）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A選項：時，，A對．B選項：時，①時，②，B對．C選項：，求導得，時，，，C錯．D選項：比較兩邊的系數(shù)，D正確．故選ABD.29.楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)了，在數(shù)學史上具有重要的