高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第28練等比數(shù)列(原卷版+解析)

第28練等比數(shù)列一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T1變式）已知等比數(shù)列的公比為2，前n項和為，若，則（

）A． B．4 C． D．62.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T9變式）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．5123.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T8變式）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．4.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T10變式）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．二、考點分類練(一)等比數(shù)列基本量的計算5.（2022屆安徽省合肥市第一中學(xué)高三下學(xué)期沖刺最后一卷）等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．6.（2022屆安徽省合肥市第六中學(xué)高三下學(xué)期高考前診斷暨預(yù)測）數(shù)列中，，對任意m，，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．57.（2022屆福建省廈門第一中學(xué)高三考前最后一卷）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．(二)等比數(shù)列的證明8．（2023屆廣西柳州市新高三摸底考試）已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．9.（2023屆山西省大同市高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.(三)等比數(shù)列的性質(zhì)10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．411.（多選）（2022屆河北省石家莊市第二中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列(四)等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯12.在下列的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．513.在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86三、最新模擬練14.（2022屆青海省海東市第一中學(xué)高三模擬）已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．15.（2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期模擬）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．16.（2022屆上海市崇明區(qū)二模）已知無窮等比數(shù)列中，，它的前n項和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列存在最小項 D．?dāng)?shù)列存在最大項17.（多選）（2023屆廣東省高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為12里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里18.（多選）（2022屆山東省淄博市高三教學(xué)質(zhì)量檢測）若數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．19.（2022屆上海市閔行區(qū)二模）已知無窮等比數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為___________；20.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，．(1)求，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．21.（2022屆浙江省數(shù)海漫游高三下學(xué)期三模）已知數(shù)列滿足．?dāng)?shù)列是公差為q的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，．(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．四、高考真題練22.（2022高考全國卷乙）已知等比數(shù)列的前3項和為168,,則（）A.14 B.12 C.6 D.323．(2019高考全國卷丙)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．224．(2017高考全國卷甲)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 ()A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞25.(2019年高考全國卷乙)記為等比數(shù)列的前項和．若，，則．26.（2022新高考全國卷2）已知為等差數(shù)列,是公比為2的等比數(shù)列,且．（1）證明：；（2）求集合中元素個數(shù)．五、綜合提升練27.（2022屆浙江省“數(shù)海漫游”高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則28.（多選）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和，設(shè)，記的前n項和為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則29.用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，，10的因數(shù)有1，2，5，10，，那么__________．30.（2022屆上海市虹口區(qū)高三二模）對于項數(shù)為的數(shù)列，若滿足：，且對任意，與中至少有一個是中的項，則稱具有性質(zhì).(1)分別判斷數(shù)列1，3，9和數(shù)列2，4，8是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)如果數(shù)列，，，具有性質(zhì)，求證：，；(3)如果數(shù)列具有性質(zhì)，且項數(shù)為大于等于5的奇數(shù).判斷是否為等比數(shù)列？并說明理由.第28練等比數(shù)列一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T1變式）已知等比數(shù)列的公比為2，前n項和為，若，則（

）A． B．4 C． D．6【答案】D【解析】因為，，則，所以．故選D2.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T9變式）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【解析】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故當(dāng)或4時，取得最大值，即.故選A.3.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T8變式）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，所，即，所以，即，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則，從而，故.故選C4.（人A選擇性必修二P40習(xí)題4.3T10變式）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．【解析】(1)因為，所以，所以，因為，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2；(2)由（1）可知，所以，所以．二、考點分類練(一)等比數(shù)列基本量的計算5.（2022屆安徽省合肥市第一中學(xué)高三下學(xué)期沖刺最后一卷）等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化為：，解得．故選D6.（2022屆安徽省合肥市第六中學(xué)高三下學(xué)期高考前診斷暨預(yù)測）數(shù)列中，，對任意m，，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式，中，令，可得，∴，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得故選C.7.（2022屆福建省廈門第一中學(xué)高三考前最后一卷）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】【解析】由已知條件得，解得，∴(二)等比數(shù)列的證明8．（2023屆廣西柳州市新高三摸底考試）已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)由題意可得：∵所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列則，即因此{}的通項公式為(2)由（1）知，令則所以．．綜上．9.（2023屆山西省大同市高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.【解析】(1)證明：當(dāng)時，∴當(dāng)時，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項的等比數(shù)列(2)由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述(三)等比數(shù)列的性質(zhì)10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中項的性質(zhì)可得，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故選B.11.（多選）（2022屆河北省石家莊市第二中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，，最?。划?dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選ABC.(四)等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯12.在下列的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】由題意知表格為2461231故．故選A13.在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【解析】因為成公比為3的等比數(shù)列，可得，所以又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選C.三、最新模擬練14.（2022屆青海省海東市第一中學(xué)高三模擬）已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因為等比數(shù)列的公比，所以．故選D15.（2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期模擬）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列滿足，且①；當(dāng)時，②；①減②得，所以，（），，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即．故選A．16.（2022屆上海市崇明區(qū)二模）已知無窮等比數(shù)列中，，它的前n項和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列存在最小項 D．?dāng)?shù)列存在最大項【答案】C【解析】對AB，當(dāng)公比為時，此時，此時既不是遞增也不是遞減數(shù)列；對CD，設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時，因為，故，故，此時，易得隨的增大而增大，故存在最小項，不存在最大項；當(dāng)時，因為，故，故，，因為，故當(dāng)為偶數(shù)時，，隨著的增大而增大，此時無最大值，當(dāng)時有最小值；當(dāng)為奇數(shù)時，，隨著的增大而減小，故無最小值，有最大值.綜上，當(dāng)時，因為，故當(dāng)時有最小值，當(dāng)時有最大值，綜上所述，數(shù)列存在最小項，不一定有最大項，故C正確；D錯誤，故選C17.（多選）（2023屆廣東省高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為12里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】AD【解析】由題意可得此人每天走了路程構(gòu)成了一個公比為的等比數(shù)列，且，所以，解得，所以，對于A，因為，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，，所以C錯誤，對于D，該人最后三天共走的路程為，所以D正確，故選AD18.（多選）（2022屆山東省淄博市高三教學(xué)質(zhì)量檢測）若數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．【答案】AC【解析】將代入得，A對；因為，則，，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，C對；，，BD錯誤.故選AC19.（2022屆上海市閔行區(qū)二模）已知無窮等比數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為___________；【答案】13【解析】由題意得：此等比數(shù)列的公比，由得：，則，即，所以能整除，且因為，所以，解得：，經(jīng)檢驗，均滿足要求，故滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為13個.20.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，．(1)求，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由，，可得，即得，解得或（舍去），故，由數(shù)列的前n項和為，可得，當(dāng)時，，適合該式，故；(2)若，則，故，即，即為常數(shù)列，則數(shù)列的前n項和為2n.21.（2022屆浙江省數(shù)海漫游高三下學(xué)期三模）已知數(shù)列滿足．?dāng)?shù)列是公差為q的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，．(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．【解析】(1)由，知，則是方程的兩根．由知，．(2)由于，易知，且是方程的兩根，故．由于均隨n的增大而增大，且，故．則．四、高考真題練22.（2022高考全國卷乙）已知等比數(shù)列的前3項和為168,,則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,若,則,與題意矛盾,則,解得,所以.故選D.23．(2019高考全國卷丙)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，解得，，故選C．24．(2017高考全國卷甲)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 ()A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞【答案】B【解析】一座7層塔共掛了381盞燈，即；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即，塔的頂層為；由等比前項和可知：，解得．25.(2019年高考全國卷乙)記為等比數(shù)列的前項和．若，，則．【答案】【解析】由，得，所以，又因為，所以，．26.（2022新高考全國卷2）已知為等差數(shù)列,是公比為2的等比數(shù)列,且．（1）證明：；（2）求集合中元素個數(shù)．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為,由得,整理得,,所以．（2）由（1）知,,因為,所以,整理得,即,由得,所以k的取值依次為,故集合中的元素個數(shù)為9．五、綜合提升練27.（2022屆浙江省“數(shù)海漫游”高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A【解析】例如，則，而，，即，所以，C錯誤；若，，則，例如取，，，D錯誤，同理此時，，B錯誤，排除BCD，只有A正確．故選A．28.（多選）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和，設(shè)，記的前n項和為，則下列判斷正確的是（

）A．若