人教A版2019必修第一冊專題1.4充分條件與必要條件【六大題型】(原卷版+解析)

專題1.4充分條件與必要條件【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 2【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】 5【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】 6【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】 8【題型6充要條件的證明】 9【知識點1命題】命題及相關(guān)概念【題型1命題的概念】【例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列語句為真命題的是（）A．a(chǎn)>bB．四條邊都相等的四邊形為矩形C．1+2=3D．今天是星期天【變式1-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下語句：①0∈N；②x2+yA．0 B．1C．2 D．3【變式1-2】（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中：①?1<2；②x>1；③x2?1=0有一個根為0；④高二年級的學(xué)生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質(zhì)數(shù)嗎？其中是命題的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【變式1-3】（2022·高一課時練習(xí)）給出下列語句：①x>1．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：3是無理數(shù)．⑤二次函數(shù)的圖象太美啦?、?是集合1,2,3,4中的元素．其中是命題的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2判斷命題的真假】【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列命題中真命題有（）①mx②函數(shù)y=2x?1的圖象與x軸有一個交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【變式2-1】（2022秋·重慶·高一?？计谥校┫铝忻}中，是真命題的是（

）A．如果a>b，那么a2>b2 C．如果a>b,c>d，那么ad>bc 【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程x2④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2023秋·上海黃浦·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)a∈R，關(guān)于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對任意A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【知識點2充分、必要與充要條件】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模擬預(yù)測）“x>1”是“1x<1”的（A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式3-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A={x}，B=x2，則“x=1”是“A=B”的（A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知實數(shù)a，b，則“a+ba?b>0”是“a>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式3-3】（2020秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件；正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例4】（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程ax+1=0有實根的一個充分條件是（

）A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)<1【變式4-1】（2023春·山西運城·高二校考階段練習(xí)）若x,y∈R，則“x>y”的一個充分不必要條件可以是（

）A．x>y C．xy>1 【變式4-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）使x∈x|x≤0或x>3A．x≤0或x>3 B．x<?1或x>3C．x≤0或x>1 D．x≥0【變式4-3】（2023春·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）不等式“x2+2x?m≥0在x∈RA．m<?1 B．m>4 C．2<m<3 D．?1<m<2【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】【例5】（2023春·湖南長沙·高二校聯(lián)考期中）已知p:x≥k,q:2?xx+1≤0，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．【變式5-1】（2022秋·青海西寧·高一校考階段練習(xí)）“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根”的充要條件是（A．a(chǎn)≤?2 B．a(chǎn)<?2C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)<?2或a>2【變式5-2】（2022·高一單元測試）若p：x2+x?6=0是q：ax?1=0（a≠0）的必要而不充分條件，則實數(shù)a的值為（A．?12 B．?12或13 C．?【變式5-3】（2022秋·山東濰坊·高一校考階段練習(xí)）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件是“13<x<12”，則實數(shù)m的取值范圍是（A．m|?43≤m≤C．m|m<-12【題型6充要條件的證明】【例6】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a，b是實數(shù)，求證：a4?b【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知x,y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：1x<1【變式6-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）求證：等式a1x2+b【變式6-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)x,y∈R，求證|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0．

專題1.4充分條件與必要條件【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 2【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】 5【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】 6【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】 8【題型6充要條件的證明】 9【知識點1命題】命題及相關(guān)概念【題型1命題的概念】【例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列語句為真命題的是（）A．a(chǎn)>bB．四條邊都相等的四邊形為矩形C．1+2=3D．今天是星期天【解題思路】先根據(jù)命題的定義判斷是否是命題，然后再判斷真假即可【解答過程】對于A，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以A錯誤，對于B，此語句是命題，而在平面內(nèi)四條邊都相等的四邊形是菱形，所以B錯誤，對于C，1+2=3是命題，且是真命題，所以C正確，對于D，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以D錯誤，故選：C.【變式1-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下語句：①0∈N；②x2+yA．0 B．1C．2 D．3【解題思路】根據(jù)命題的定義進行判斷.【解答過程】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．故選：B.【變式1-2】（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中：①?1<2；②x>1；③x2?1=0有一個根為0；④高二年級的學(xué)生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質(zhì)數(shù)嗎？其中是命題的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【解題思路】根據(jù)命題的定義即可求解.【解答過程】命題是能判斷真假的陳述句，由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，②④無法判斷真假，故不是命題，①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，故選：D.【變式1-3】（2022·高一課時練習(xí)）給出下列語句：①x>1．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：3是無理數(shù)．⑤二次函數(shù)的圖象太美啦！⑥4是集合1,2,3,4中的元素．其中是命題的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)命題的定義逐個分析判斷即可.【解答過程】命題是指可以判斷真假的陳述句，所以②⑥是命題，①不能判斷真假，不是命題；③“大樹”沒有界定標(biāo)準(zhǔn)，不能判斷真假，不是命題；④是祈使句，不是命題；⑤是感嘆句，不是命題．故選：A.【題型2判斷命題的真假】【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列命題中真命題有（）①mx②函數(shù)y=2x?1的圖象與x軸有一個交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解題思路】對于①，舉反例m=0即可判斷；對于②，令y=0，求解即可判斷；對于③，根據(jù)包含關(guān)系即可判斷；對于④，根據(jù)空集不是本身的真子集即可判斷.【解答過程】①中，當(dāng)m=0時，mx②中，令y=0，則2x?1=0,x=12，所以函數(shù)y=2x?1的圖象與③中，互相包含的兩個集合相等，③正確；④中，空集不是本身的真子集，④錯誤．故選：B.【變式2-1】（2022秋·重慶·高一?？计谥校┫铝忻}中，是真命題的是（

）A．如果a>b，那么a2>b2 C．如果a>b,c>d，那么ad>bc 【解題思路】ABC選項舉出反例即可判斷，D選項結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.【解答過程】A選項：若a=0,b=?1，滿足a>b，但是a2B選項：若a=3,b=?1，c=0，滿足a>b，但是acC選項：若a=3,b=?1，c=2,d=?13，滿足a>b,c>d，但是D選項：因為c<d，則?c>?d，且a>b，因此a?c>b?d，因此是真命題，故D正確，故選：D.【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程x2④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)矩形以及菱形的性質(zhì)即可判斷①②，根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷③，根據(jù)三角形全等的判斷即可判斷④，根據(jù)集合的關(guān)系即可判斷⑤.【解答過程】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，對于③，方程x2?3x?4=0的判別式為對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，對于⑤，A∩B?A,A?A∪B,故正確;故選：C．【變式2-3】（2023秋·上海黃浦·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)a∈R，關(guān)于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對任意A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【解題思路】通過解方程組的知識求得正確答案.【解答過程】由x?ay=1得x=ay+1，則aay+1+y=a，a2則x=1ax=a，解得x=1所以關(guān)于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a有唯一解x=1所以①為假命題，②為真命題.故選：D.【知識點2充分、必要與充要條件】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模擬預(yù)測）“x>1”是“1x<1”的（A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】根據(jù)分?jǐn)?shù)不等式求解1x【解答過程】由1x<1可得1?xx<0，解得x>1或x<0，故xx>1是xx>1或故選：A.【變式3-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A={x}，B=x2，則“x=1”是“A=B”的（A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【解題思路】由A=B求得x=0或x=1，然后即可得出答案.【解答過程】由A=B可得x=x2，解得x=0或所以“x=1”是“A=B”的充分非必要條件.故選：A.【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知實數(shù)a，b，則“a+ba?b>0”是“a>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答過程】a+ba?b故選：C.【變式3-3】（2020秋·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件；正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【解題思路】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定p,q,r,s之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④即可.【解答過程】因為p是r的充分不必要條件，所以p?r，r?p，因為q是r的充分條件，所以q?r，因為s是r的必要條件，所以r?s，因為q是s的必要條件，所以s?q，因為q?r，r?s，所以q?s，又s?q，所以s是q的充要條件；命題①正確，因為p?r，r?s，s?q，所以p?q，若q?p，則r?s，s?q，q?p，故r?p，與r?p矛盾，所以q?p，所以p是q的充分不必要條件，命題②正確；因為r?s，s?q，所以r?q，r是q的充分條件，命題③錯誤；因為s?q，q?r，所以s?r，又r?s，所以r是s的充要條件，命題④錯誤；故選：B.【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例4】（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程ax+1=0有實根的一個充分條件是（

）A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)<1【解題思路】根據(jù)一元一次方程的求解即可判斷a≠0，由充分條件的定義即可求解.【解答過程】由ax+1=0?ax=?1，要使方程有實根，則a≠0，故a=1是方程ax+1=0有實根的一個充分條件，故選：B.【變式4-1】（2023春·山西運城·高二?？茧A段練習(xí)）若x,y∈R，則“x>y”的一個充分不必要條件可以是（

）A．x>y C．xy>1 【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【解答過程】由x>y，x2由xy>1可得x?yy>0，解得x>y>0或x<y<0，所以2x?y故選：D．【變式4-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）使x∈x|x≤0或x>3A．x≤0或x>3 B．x<?1或x>3C．x≤0或x>1 D．x≥0【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的定義和集合間的包含關(guān)系判斷可得答案.【解答過程】對于A，因為x|x≤0或x>3=x∈x|x≤0或?qū)τ贐，因為x∈x|x<?1或x>3x|x≤0或x>3對于C，因為x|x≤0或x>3x|x≤0或x>1對于D，因為x|x≥0不是x|x≤0或x>3的真子集，故錯誤.故選：B.【變式4-3】（2023春·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）不等式“x2+2x?m≥0在x∈RA．m<?1 B．m>4 C．2<m<3 D．?1<m<2【解題思路】先計算已知條件的等價范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【解答過程】因為“不等式x2+2x?m≥0在R上恒成立”，所以等價于二次方程的x2+2x?m=0判別式所以A選項,m<?1是m≤?1充分不必要條件，A正確；B選項中，m>4不可推導(dǎo)出m≤?1，B不正確；C選項中，2<m<3不可推導(dǎo)出m≤?1，故C不正確；D選項中，?1<m<2不可推導(dǎo)出m≤?1，故D不正確.故選：A.【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】【例5】（2023春·湖南長沙·高二校聯(lián)考期中）已知p:x≥k,q:2?xx+1≤0，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．【解題思路】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系求解.【解答過程】q:2?xx+1≤0，即q:x<?1或x≥2，又p:x≥k,p所以k≥2，即k的取值范圍是2,+∞故選:A.【變式5-1】（2022秋·青海西寧·高一?？茧A段練習(xí)）“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根”的充要條件是（A．a(chǎn)≤?2 B．a(chǎn)<?2C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)<?2或a>2【解題思路】先求出一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根時【解答過程】解：∵一元二次方程x2設(shè)兩根分別為：x1故Δ=a解得：a<?2，故“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根”的充要條件是故選：B.【變式5-2】（2022·高一單元測試）若p：x2+x?6=0是q：ax?1=0（a≠0）的必要而不充分條件，則實數(shù)a的值為（A．?12 B．?12或13 C．?【解題思路】根據(jù)題意確定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到關(guān)于a的等式，求得答案.【解答過程】p：x2+x?6=0，即x=2或x=?3，q：∵a≠0，∴由題意知p：x2+x?6=0是q：ax?1=0（則1a=2，或1a=?3，解得故選：D.【變式5-3】（2022秋·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件是“13<x<12”，則實數(shù)m的取值范圍是（A．m|?43≤m≤C．m|m<-12【解題思路】先化簡不等式為m-1<x<m+1，再由題意知13,1【解答過程】不等