人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)-9下第02講 解直角三角形（解析版）

第02講解直角三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①直角三角形的性質(zhì)及其解直角三角形③解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用掌握直角三角形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)解直角三角形。掌握解直角三角形的基本類型。掌握解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，仰角俯角問題，方向角問題，坡度問題。知識點(diǎn)01直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形角的性質(zhì)：兩銳角互余。②直角三角形邊的性質(zhì)：直角三角形的三邊滿足勾股定理。③直角三角形的邊角關(guān)系：三種銳角三角形函數(shù)。；；。解直角三角形的定義：利用直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的已知量求未知量的過程。題型考點(diǎn)：①解直角三角形?！炯磳W(xué)即練1】1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝．解這個直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，a＝，b＝∴c＝8，∵tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°．【即學(xué)即練2】2．在△ABC中，已知∠C＝90°，b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．解這個直角三角形．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∵sin30°＝＝，∴b＝c，∵b+c＝30，∴c+c＝30，解得c＝20，則b＝10，a＝＝10．【即學(xué)即練3】3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a＝8，b＝8；（2）∠B＝45°，c＝14．【解答】解：（1）∵a＝8，b＝8，∠C＝90°；∴c＝，∠A＝30°，∠B＝60°，（2）∵∠B＝45°，c＝14，∠C＝90°，∴∠A＝45°，a＝b＝．【即學(xué)即練4】4．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D．求：（1）線段AB的長；（2）tan∠DBA的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可設(shè)AB＝3k，則BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（負(fù)值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE與Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．【即學(xué)即練5】5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）當(dāng)DE＝DC時，求AD的長．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，設(shè)AD為x，則，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．知識點(diǎn)02解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題仰角與俯角的認(rèn)識：向上看物體的視線與水平線的夾角叫仰角；向下看物體的視線與水平線的夾角叫俯角。解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。題型考點(diǎn)：①解直角三角形在仰角俯角中的應(yīng)用。【即學(xué)即練1】6．如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD＝30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD＝45°，從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？【解答】解：方法1：∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°．方法2：由鄰補(bǔ)角的定義可得∠CBA＝180°﹣∠CBD＝180°﹣45°＝135°．∵∠CAD＝30°，∠CBA＝135°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠CAD＝180°﹣30°﹣135°＝180°﹣165°＝15°．【即學(xué)即練2】7．在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，小明計劃測量城門大樓的高度，在點(diǎn)B處測得樓頂A的仰角為22°，他正對著城樓前進(jìn)21米到達(dá)C處，再登上3米高的樓臺D處，并測得此時樓頂A的仰角為45°．（1）求城門大樓的高度；（2）每逢重大節(jié)日，城門大樓管理處都要在A，B之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗，請你求出A，B之間所掛彩旗的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)E，如圖所示，由題意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，設(shè)AF＝a米，則AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城門大樓的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB＝32，即A，B之間所掛彩旗的長度是32米．【即學(xué)即練3】8．如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點(diǎn)A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°，然后他沿著正對樹PQ的方向前進(jìn)6m到達(dá)點(diǎn)B處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．（1）求∠BPQ的度數(shù)；（2）求樹PQ的高度（結(jié)果精確到0.1m，≈1.732）．【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∠PBC＝60°，∴∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；（2）設(shè)PC＝xm．在Rt△APC中，∠PAC＝45°，∴△APC是等腰直角三角形，∴AC＝PC＝x；∵∠PBC＝60°，∴∠BPC＝30°．在Rt△BPC中，BC＝PC＝x，∵AB＝AC﹣BC＝6，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，則BC＝3+3，在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（3+3）＝3+，∴PQ＝PC﹣QC＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9.5（m）．答：樹PQ的高度約為9.5m．知識點(diǎn)03解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題方向角的定義：方向角一般是以南北方向?yàn)槠鹗?，向東西方向進(jìn)行轉(zhuǎn)動形成的夾角。通常表示為方向加上角度。在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角。題型考點(diǎn)：①解直角三角形在方向角問題中的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】9．如圖所示，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測量B在北偏東32°方向上，且量得B，C之間的距離是100m，則A、B之間的距離為138m．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵BC＝100m，∴在Rt△CBD中，BD＝BC?sin32°＝100×0.5299＝52.99（m）．DC＝BC?cos∠DCB＝100?cos32°＝100×0.8480＝84.80（m）．在Rt△ADC中，tan∠ACD＝．AD＝CD?tan∠ACD＝84.80×tan45°＝84.80（m）．AB＝AD+DB＝84.80+52.99≈138（m）．【即學(xué)即練2】10．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）．【解答】解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE+CF．在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝×1000＝500米；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝BC＝1000米，∴CF＝CD＝500米，∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米．【即學(xué)即練3】11．為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB?sin60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．知識點(diǎn)04解直角三角形的應(yīng)用—坡度問題坡角的概念：斜坡與水平面的夾角叫做坡角。坡度（或坡比）：斜坡的鉛垂高度與水平寬度的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一個比值，用字母i來表示，常寫成i＝的形式。坡度或者坡比等于坡角的正切值。在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題。題型考點(diǎn)：①解直角三角形【即學(xué)即練1】12．如圖，已知梯形ABCD是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬AD＝6米．壩高18米，迎水坡CD的坡度i1＝1：1，背水坡AB的坡度i2＝1：，求壩底寬BC．【解答】解：分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，作GH⊥BC于點(diǎn)H，∵i1＝1：1，i2＝1：＝2：3，故設(shè)DH＝AG＝2x，則CH＝2x，BG＝3x，則AG＝18＝2x，則x＝9，則BC＝BG+GH+HC＝3x+2x+6＝51（米），則壩底寬BC為51米．【即學(xué)即練2】13．如圖是一座人行天橋引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行且與地面成30°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺DE構(gòu)成．已知水平平臺DE＝3m，引橋水平跨度AB＝12m．若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3.5m，求AD、CE的長度．（結(jié)果保留根號）【解答】解：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，則DG＝EH＝FB＝MN＝3.5m，GH＝DE＝3m，EF＝BH，在Rt△DAG中，∠A＝30°，DG＝3.5m，則AD＝2DG＝7m，AG＝DG＝m，∴BH＝AB﹣AG﹣GH＝12﹣﹣3＝（9﹣）m，∴EF＝（9﹣）m，在Rt△DAG中，∠CEF＝30°，則CE＝＝＝（6﹣7）m，答：AD的長度為7m，CE的長度為（6﹣7）m．【即學(xué)即練3】14．如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．（1）求新坡面AC的長度；（2）試求新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，則AC＝2CD＝2×6＝12（米），答：新坡面AC的長度為12米；（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝6米，∴BD＝CD＝6米，∵NB＝8米，∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，則AD＝＝6（米），∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米，答：新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離為（14﹣6）米．題型01解直角三角形【典例1】在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長為（）A．2 B．4 C．6 D．2【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，故選：B．【典例2】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，G為邊BC上一點(diǎn)，∠EGB＝∠FDC，連結(jié)EF．若，tanC＝2，BC＝14，則GD的長為3．【解答】解：在△ABC中，BC＝14，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，EF＝BC＝7，∵AD⊥BC，∴△ACD和△ABD均為直角三角形，又∵點(diǎn)D為Rt△ACD斜邊AC的中點(diǎn)，∴DF＝CF＝AF，∴∠C＝∠FDC，∵∠EGB＝∠FDC，∴∠EGB＝∠C，∴EG∥CF，∴四邊形EFCG為平行四邊形，∴CG＝EF＝7，設(shè)CD＝x，則GD＝CG﹣CD＝7﹣x，在Rt△ACD中，tanC＝＝2，∴AD＝2CD＝2x，在Rt△ABD中，tanB＝＝，∴BD＝＝×2x＝2.5x，∴BC＝CD+BD＝x+2.5x＝3.5x＝14，解得：x＝4，∴CD＝x＝4，∴GD＝CG﹣CD＝7﹣4＝3．故答案為：3．【典例3】根據(jù)下列條件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．【典例4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，CO＝6.5，BC＝5．（1）求AC的長；（2）求cos∠OCA與tan∠B的值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，CO＝6.5，∴AB＝2CO＝13，∵BC＝5，∴AC＝＝12，（2）∵∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝AB，∴OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴cos∠OCA＝cos∠A＝＝，tanB＝＝．【典例5】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，D是邊AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD．（1）已知BC＝，求AB的長；（2）求cot∠ABD的值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵cosA＝＝，∴AC＝AB．∵AC2+BC2＝AB2，∴AB2+2＝AB2．∴AB＝3或﹣3（﹣3不合題意舍去）．∴AB＝3．（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．由（1）知AB＝3，∴AC＝AB＝2．∵D是邊AC的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝AC＝1，S△BCD＝S△ABD＝CD?BC＝×1×＝.∴AB?DE＝．∴DE＝．在Rt△DAE中，∵AE＝＝＝，∴BE＝3﹣＝．在Rt△DBE中，cot∠ABD＝＝＝．題型02仰角俯角問題【典例1】小明利用所學(xué)三角函數(shù)知識對小區(qū)樓房的高度進(jìn)行測量．他們在地面的A點(diǎn)處用測角儀測得樓房頂端D點(diǎn)的仰角為30°，向樓房前行30m在B點(diǎn)處測得樓房頂端D點(diǎn)的仰角為60°，已知測角儀的高度是1.5m（點(diǎn)A，B，C在同一條直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓房CD的高度．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）【解答】解：由題意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝30m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴DN＝MN＝30m，在Rt△DNE中，DE＝DN?sin60°＝30×＝15（m），∴DC＝DE+CE＝15+1.5≈25.95+1.5≈27.5（m）．答：樓房CD的高度約為27.5m．【典例2】如圖，無人機(jī)在塔樹上方Q處懸停，測得塔頂A的俯角為37°，樹頂D的俯角為60°，樹高CD為12米，無人機(jī)豎直高度PQ為60米，B、P、C在一條直線上，且P點(diǎn)到塔底B的距離比到樹底C的距離多8米，求塔高AB的值．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如圖：延長CD交GH于點(diǎn)E，延長BA交GH于點(diǎn)F，由題意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，∵CD＝12米，∴DE＝CE﹣CD＝48（米），在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°，∴EQ＝＝＝16（米），∵PB﹣PC＝8，∴QF﹣QE＝8，∴QF＝QE+8＝（16+8）米，在Rt△QFA中，∠FQA＝37°，∴AF＝QF?tan37°≈0.75（16+8）米，∴AB＝BF﹣AF＝60﹣0.75（16+8）＝（54﹣12）米，∴塔高AB的值為（54﹣12）米．【典例3】隨著5G技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，中國大疆無人機(jī)享譽(yù)世界，生活中的測量技術(shù)也與時俱進(jìn)，某天，數(shù)學(xué)小達(dá)人小婉利用無人機(jī)來測量神農(nóng)湖上A，B兩點(diǎn)之間的距離（A．B位于同一水平地面上），如圖所示，小婉站在A處遙控空中C處的無人機(jī)，此時她的仰角為α，無人機(jī)的飛行高度為41.6m，并且無人機(jī)C測得湖岸邊B處的俯角為60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角α的正切值；（2）求A，B兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果精確到1m，）【解答】解：（1）如圖所示，作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，作DF⊥CE交CE于點(diǎn)F，∵無人機(jī)的飛行高度為41.6m，∴CE＝41.6m，由題意可得，四邊形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝1.6m，∴CF＝CE﹣EF＝40m，∵DF⊥CE，CD＝50m，∴，∴；（2）∵四邊形AEFD是矩形，∴AE＝DF＝30m，∵無人機(jī)C測得湖岸邊B處的俯角為60°，∴∠CBE＝60°，∴，即，解得BE≈24，∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，∴A，B兩點(diǎn)之間的距離54m．【典例4】如圖，某校無人機(jī)興趣小組為測量教學(xué)樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機(jī)D的仰角為30°，無人機(jī)D測得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時無人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長度（結(jié)果保留根號）；（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，∴AE＝DE＝30（m），∵AB＝60m，∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，∴此時無人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長度為（60﹣30）m；（2）過點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為F，由題意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，∴∠DCF＝∠CDG＝37°，在Rt△DCF中，DF＝CF?tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），∴BC＝EF＝24m，∴教學(xué)樓BC的高度約為24m．【典例5】隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓AB的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學(xué)樓AB的高度．（2）若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線EB．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM?tan∠DBM＝24×＝24（米），∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米；（2）延長EB交DN于點(diǎn)G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米，∴DG＝ED?tan60°＝48（米），∴48÷4＝12（秒），∴經(jīng)過12秒時，無人機(jī)剛好離開了圓圓的視線．題型03方向角問題【典例1】如圖，上午8時，一條船從A處測得燈塔C在北偏西30°，該船以30海里時的速度向正北航行，9時30分到達(dá)B處，測得燈塔C在北偏西60°，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時到達(dá)燈塔C的正東方向D處．【解答】解：由題意得：AB＝1.5×30＝45（海里），CD⊥AD，∠DBC＝60°，∠BAC＝30°，∵∠DBC是△ABC的一個外角，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝45海里，在Rt△BCD中，BD＝BC?cos60°＝45×＝（海里），∴÷30＝（時）＝45（分鐘），∴9時30分+45分＝10時15分，∴輪船10時15分到達(dá)燈塔C的正東方向D處．【典例2】如圖所示，一輪船由西向東航行，在A處測得小島P在北偏東75°的方向上，輪船行駛40海里后到達(dá)B處，此時測得小島P在北偏東60°的方向上．（1）求BP的距離；（2）已知小島周圍22海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無觸礁的危險．【解答】解：（1）∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，∴∠PAB＝∠APB＝15°，∴BP＝AB＝40（海里），（2）作PD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△PBC中，PD＝PB＝40×＝20＜22，答：若輪船仍向前航行有觸礁的危險．【典例3】某地修建了一座以“講好家鄉(xiāng)故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為900m的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心A位于C村西南方向和B村南偏東61°方向上．C村在B村的正東方向且兩村相距2.8km．有關(guān)部門計劃在B，C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿越紀(jì)念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，）【解答】解：該公路不會穿越紀(jì)念園，理由：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，由題意得：∠ACD＝45°，∠ABE＝61°，BC＝2.8km，AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝61°，設(shè)AD＝xkm，在Rt△ABD中，BD＝AD?tan61°≈1.80x（km），在Rt△ACD中，CD＝＝x（km），∵BD+CD＝BC，∴1.80x+x＝2.8，解得：x＝1，∴AD＝1km＝1000m，∵1000m＞900m，∴該公路不會穿越紀(jì)念園．【典例4】如圖為某體育公園部分示意圖，C為公園大門，A、B、D分別為公園廣場、健身器材區(qū)域、兒童樂園．經(jīng)測量：A、B、C在同一直線上，且A、B在C的正北方向，AB＝240米，點(diǎn)D在點(diǎn)B的南偏東75°方向，在點(diǎn)A的東南方向．（1）求B、D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1m）（2）大門C在兒童樂園D的南偏西60°方向，由于安全需要，現(xiàn)準(zhǔn)備從兒童樂園D牽一條筆直的數(shù)據(jù)線到大門C的控制室，請通過計算說明公園管理部門采購的380米數(shù)據(jù)線是否夠用（接頭忽略不計）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，由題意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，∴BD＝2BP，AP＝BP，在Rt△ABP中，AB＝240，∴AP＝BP＝＝120，∴BD＝2BP＝240≈339.4．答：B、D兩地的距離約為339.4m；（2）過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）得BD＝2BP＝240，∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，∴∠DBM＝45°＝∠CDB，∴BM＝DM，在Rt△BDN中，BD＝240，sin45°＝，∴BM＝DM＝BD?sin45°＝240×＝240，在Rt△BCM中，CBM＝75°﹣45°＝30°，∴CM＝BM?tan30°＝80，∴DC＝DM+CM＝240+80≈378.56，∵380＞378.56，答：公園管理部門采購的380米數(shù)據(jù)線夠用．【典例5】如圖，五邊形ABCDE是一個公園沿湖的健身步道（步道可以騎行），BD是僅能步行的跨湖小橋．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正北方935米處，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)D在點(diǎn)B的北偏東74°，且在點(diǎn)E的正北方，∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55）（1）求AE的長度（結(jié)果精確到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道鍛煉，小明以200米/分的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿路線A→B→C→D→E→A的方向騎行，爸爸以150米/分的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿路線B→D→E→A的方向跑步前行．兩人約定同時出發(fā)，那么小明和爸爸誰先到達(dá)A點(diǎn)？請說明理由．【解答】解：（1）如圖：過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，∴∠BFE＝∠BFD＝90°，由題意得：∠GBD＝74°，∠A＝∠E＝90°，∴四邊形ABFE是矩形，∴AB＝FE＝935米，AE＝BF，AB∥EF，∴∠GBD＝∠BDF＝74°，∵∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米∴BD＝＝＝1000（米），在Rt△BFD中，BF＝BD?sin74°≈1000×0.96＝960（米），∴BF＝AE＝960米，∴AE的長度約為960米；（2）爸爸先到達(dá)A點(diǎn)，理由：在Rt△BFD中，∠BDF＝74°，BD＝1000米，∴DF＝BD?cos74°≈1000×0.27＝270（米），∵EF＝935米，∴DE＝DF+EF＝935+270＝1205（米），∴小明從點(diǎn)A出發(fā)沿路線A→B→C→D→E→A的方向騎行需要的時間＝＝＝22.5（分鐘），爸爸從點(diǎn)B出發(fā)沿路線B→D→E→A的方向跑步前行需要的時間＝＝＝21.1（分鐘），∵21.1分鐘＜22.5分鐘，∴爸爸先到達(dá)A點(diǎn)．題型04坡度問題【典例1】北大壺滑雪場是我國重要的滑雪基地，擁有國際標(biāo)準(zhǔn)雪道19條，其中青云大道某段坡長AB為800米，坡角∠BAC＝25°，求垂直落差BC的高度．（結(jié)果保留整數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°＝0.466）【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝25°，AB＝800米，∵sin∠BAC＝，∴BC＝AB?sin∠BAC≈800×0.423≈338（米），答：垂直落差BC的高度約為338米．【典例2】如圖是一防洪堤背水坡的橫截面，斜坡AB的長為12m，它的坡角度數(shù)為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點(diǎn)B6m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)：，．）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在改造背水坡的施工過程中，此房屋是否需要拆除？并說明理由．【解答】解：（1）∵坡度為的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角為45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝12m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×12＝6（m），∴tan30°＝＝，解得：DC＝6，故DB＝DC﹣BC＝6﹣6≈6.216（米），∵6.216＞6，∴此處房屋需要拆除．【典例3】如圖，長500米的水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬3m，壩高，斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．（1）求壩底寬AD的長；（2）修筑這個堤壩需要土方多少立方米？【解答】解：（1）由題意得：BE⊥AD，CF⊥AD，BE＝CF＝4m，BC＝EF＝3m，∵斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．∴＝，＝，∴AE＝2BE＝8（m），DF＝3CF＝12（m），∴AD＝AE+EF+DF＝8+3+12＝（20+3）m，∴壩底寬AD的長為（20+3）m；（2）∵BC＝3m，AD＝（20+3）m，BE＝4m，∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）?BE＝×（20+3+3）×4＝（120+12）m2，∴修筑這個堤壩需要土方＝500×（120+12）＝（60000+6000）m3，∴修筑這個堤壩需要土方（60000+6000）立方米．【典例4】科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．（1）求連接水管AM的長．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，≈1.73）【解答】解：（1）∵M(jìn)C＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，∴AM＝MC?tan∠ACM＝MC?tan63°≈10×2.0＝20cm．答：連接水管AM的長為20cm．（2）如圖，連接BC．∵AB∥MC，AB＝MC，∴四邊形ABCM為平行四邊形．∵∠AMC＝90°，∴四邊形ABCM為矩形，∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．∵∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝40cm，∴．答：水盆兩邊緣C，D之間的距離為34.6cm．1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝α，則AB的長為（）A．msinα B．mcosa C． D．【解答】解：如圖所示：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝m，∴cosα＝，∴AB＝，故選：D．2．已知△ABC三邊AC，BC，AB的長度分別5，12，13，現(xiàn)將每條邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，則銳角A的余弦值（）A．不變 B．縮小為原來的 C．?dāng)U大為原來的3倍 D．不能確定【解答】解：∵將△ABC三邊AC，BC，AB的長度分別5，12，13，∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，即∠C＝90°，∴cosA＝＝，現(xiàn)將每條邊的長度都擴(kuò)大為原來的5倍，則＝∴cosA的值不變．故選：A．3．小明沿著坡比為的山坡向上走了300m，則他升高了（）A．m B．150m C．m D．100m【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，∵坡度：i＝1：，∴tan∠A＝1：＝，∴∠A＝30°，∵AB＝300m，∴BE＝AB＝150（m）．∴他升高了150m．故選：B．4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線，BC＝6，CD＝5，則cos∠ACD＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，∵∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線，CD＝5，∴CD＝AD＝BD＝5，∴AB＝10，∠ACD＝∠A，∵BC＝6，∴AC＝＝＝8，∴cos∠ACD＝cos∠A＝＝＝．故選：D．5．如圖，滑雪場有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）米．A． B． C．200cos20° D．200sin20°【解答】解：∵，∴AB＝AC?sin∠C＝200sin20°，故選：D．6．如圖，某購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設(shè)計示意圖如圖所示，其中斜坡AD與水平方向的夾角為α（0°＜α＜90°），地下停車場層高CD＝3米，則在停車場的入口處，可通過汽車的最大高度是（）A．3 B． C．3sinα D．3cosa【解答】解：過C作CE⊥AD，垂足為E，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∵斜坡AD與水平方向的夾角為α，∴∠BAD＝α，∴∠DCE＝α，在Rt△CDE中，CE＝CD?cosα＝3cosα（米），故在停車場的入口處，可通過汽車的最大高度是3cosα米．故選：D．7．如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，整理得：a2+a﹣12＝0解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．∴a+1＝4，∴．故選：D．8．閱讀理解：為計算tan15°三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建Rt△ACB（如圖），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．類比這種方法，請你計算tan22.5°的值為（）A．+1 B．﹣1 C． D．【解答】解：如圖：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故選：B．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，BD＝5，，則AC＝6或．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，如圖所示：∵sin∠DCB＝，在Rt△CDE中，sin∠DCB＝，∴＝，設(shè)DE＝3k，CD＝5k，由勾股定理得：CE＝＝4k，∵BC＝8，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，整理得：25k2﹣64k+39＝0，解得：k＝1，或k＝，當(dāng)k＝1時，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DE：AC＝BE：BC，即3：AC＝4：8，∴AC＝6，當(dāng)k＝，DE＝3k＝，BE＝8﹣4k＝，同理：DE：AC＝BE：BC，即，∴AC＝．綜上所述：AC＝6或．10．如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則sin∠BOC為．【解答】解：連接AE、BE，如圖：∵由圖可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠CDE＝45°，∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°，BE∥CD，∴∠BOC＝∠ABE，∵小正方形的邊長為1，在Rt△ABE中，AB＝＝，AE＝＝2，∴sin∠ABE＝＝＝，∴sin∠BOC＝sin∠ABE＝．故答案為：．11．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝1，∠ADB＝30°，，則BC的長為1．【解答】解：∵AB＝1，在Rt△OAB中，，∴，在Rt△DBC中，，∴BC＝1．故答案為：1．12．“淄博燒烤”火了，許多游客紛紛從外地來到淄博吃燒烤．如圖，濟(jì)南的小李乘坐高鐵由濟(jì)南來淄博吃燒烤時，在距離鐵軌200米的B處，觀察他所乘坐的由濟(jì)南經(jīng)過淄博開往青島的“和諧號”動車．他觀察到，當(dāng)“和諧號”動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上．小李根據(jù)所學(xué)知識求得，這時段動車的平均速度是20（+1）米/秒．【解答】解：過B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，在Rt△BCD中，BD＝200米，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，∴CD＝BD＝200（米），在Rt△ABD中，BD＝200米，∠DBA＝90°，∠ABD＝60°，∴AD＝BDtan60°＝200（米），∴AC＝AD+DC＝200+200＝200（1+）米，則這時段動車的平均速度是×200（1+）＝20（+1）米/秒．故答案為：20（+1）13．超速行駛被稱為“馬路第一殺手”．為了讓駕駛員自覺遵守交通規(guī)