河北省邯鄲市2025屆高三數(shù)學（文）第一次模擬考試試題（含解析）

河北省邯鄲市2025屆高三數(shù)學第一次模擬考試試題文(含解析)

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.下列格式的運算結(jié)果為實數(shù)的是()

A.-i(l+i)B.i(l—i)

C.(1+i)—(1—i)D.(1+i)(l—i)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復數(shù)運算化簡每個選項即可求解

【詳解】對A,-i(l+0=1-i；

對B,i(l-i)=1+i;

對C,(1+i)-(1-i)=2i;

對D,(1+0(1-0=2

故選：D

【點睛】本題考查復數(shù)的運算，熟記運算法則是關鍵，是基礎題

2.設集合4=因產(chǎn)〉4。B={k區(qū)<—2卜則集合B可以為()

A.{x\x<3}B.{x|-3<x<1}

C.{x\x<1}D.{x\x>—3}

【答案】c

【解析】

【分析】

首先依據(jù)一元二次不等式的解法求得集合B,之后依據(jù)集合交集中元素的特征，選擇正確的

結(jié)果.

【詳解】因為4={x|x<—2或久〉2},

所以當B={刈尤<1}時，AciB=[x\x<-2},

故選D.

【點睛】該題考查的是有關集合的運算，屬于簡潔題目.

3.在平行四邊形ABCD中，4(1.2),8(-2,0),市7=(2,-3),則點D的坐標為()

A.(6,1)B.(—6,—1)C.(0,—3)D.(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

先求腦,再求疝=應1-腦,即可求D坐標

【詳解】腦=(-3,-2),：.AD=AC-AB=(5,-1),則D(6,1)

故選：A

【點睛】本題考查向量的坐標運算，熟記運算法則，精確計算是關鍵，是基礎題

4.從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)分布狀況匯總?cè)缦?

身高(100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]

頻數(shù)535302010

有此表估計這100名小學生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()

A.119.3B.119.7C.123.3D.126.7

【答案】C

【解析】

【分析】

由表格數(shù)據(jù)確定每組的頻率，由中位數(shù)左右頻率相同求解即可.

【詳解】由題身高在(100,110],(110,120],(120,130]的頻率依次為0.05,0.35,0.3,前兩組

03

頻率和為0.4,組距為10,設中位數(shù)為x,則(x-120)x元=0.1,解x=123.3

故選：C

【點睛】本題考查中位數(shù)計算，熟記中位數(shù)意義，精確計算是關鍵，是基礎題.

5.如圖，某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為()

【答案】B

【解析】

【分析】

分析圖知2a,2b,則e可求.

b4I/4\3

【詳解】由題2b=16.4,2a=20.5,則一=三，則離心率e=1-5)2=

a5TJ\5/5

故選：B.

【點睛】本題考查橢圓的離心率，熟記a,b的幾何意義是關鍵，是基礎題.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)對數(shù)的運算的性質(zhì)計算即可.

【詳解】f(X)=l+|x|+，，

.*.f(-x)+f(x)=2+2|x|,

11

Vlg-=-lg2,lg-=-lg5,

z□

11

(lg2)+f(lg-)+f(lg5)+f(lg-)=2X2+2(Ig2+lg5)=6,

25

故選：c

【點睛】本題考查了對數(shù)的運算，函數(shù)基本性質(zhì)，考查了抽象概括實力和運算求解實力，是

基礎題

7.漢朝時，張衡得出圓周率的平方除以16等于:如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗

O

實線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的曲線為圓，利用張衡的結(jié)論可得該幾何體的體

積為

32回40A/10

A.32B.40C.-L-D.—^―

33

【答案】C

【解析】

【分析】

將三視圖還原，即可求組合體體積

【詳解】將三視圖還原成如圖幾何體：半個圓柱和半個圓錐的組合體，底面半徑為2,高為

11132

4,則體積為-7Tx22x4+-x-7Tx22x4=—n,利用張衡的結(jié)論可得

7T25一娛皿

——=-,.*.TT=tJ10,

168tY，3

故選：C

【點睛】本題考查三視圖，正確還原，熟記圓柱圓錐的體積是關鍵，是基礎題

8.若存在等比數(shù)列忸幾｝,使得的(。2+。3)=6%-9,則公比q的最大值為()

A1+而1+而pT+衽

A.-----R￡)?-----U.-------U.

424

-1+市

-2-

【答案】D

【解析】

【分析】

將原式表示為向，d的關系式，看做關于旬的二次型方程有解問題，利用判別式列不等式求

解即可.

【詳解】由題設數(shù)列的公比為q(q/0),則%(4q+%q2)=6%-9，整理得

(/+q)a：-6%+9=0,當/+q=o時，易知q=-l,符合題意；但q#0,當q2+qW0時,

A=36-36(q2+q)>0,解得二^<q<二1故q的最大值為二

故選：D

【點睛】本題考查等比數(shù)列，考查函數(shù)與方程的思想，精確轉(zhuǎn)化為面的二次方程是關鍵，是

中檔題.

9.已知函數(shù)/'(x)=2cos2(2x+\)+?sin(4久+1，則下列推斷錯誤的是()

7T

A.7'(乃為偶函數(shù)B.7'(%)的圖像關于直線工=彳對稱

4

c.f(乃的值域為[-1,3]D.八乃的圖像關于點卜對稱

【答案】D

【解析】

【分析】

化簡f(x)=l+2cos4x后，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得.

【詳解】f(x)=l+cos(4x+-)+干sin(4x4--)=l+2sin(4xd--1"-)=l+2cos4x,

3336

f(x)為偶函數(shù)，A正確；

k冗

4x=kn得x=一，當k=0時，B正確；

4

因為2cos4xe[-2,2],.?./■(%)的值域為11,3],C正確；

故D錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，精

確計算是關鍵，是基礎題

10.已知/n>0,設滿思約束條件|x-2<0,z=久+y的最大值與最小值的比值為k,

(2x—y+m>0,

貝lj()

A.k為定值一1B.k不是定值，且k<-2

C.k為定值一2D.k不是定值，且

【答案】C

【解析】

【分析】

由約束條件畫出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程

組求得最優(yōu)解的坐標，進一步求出最值，結(jié)合最大值與最小值的差為3求得實數(shù)m的值..

；y+2>o

【詳解】畫出m>0,x,y滿意約束條件%-2<0的可行域如圖：

(2x-y+m>0

當直線z=x+y經(jīng)過點A(2,m+4),z取得最大值，當直線經(jīng)過B(-l-,，-2)時，z取

m+6

得最小值，故卜二1二=一2為定值.

----3

2

故選：C.

【點睛】本題考查簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

H.在棱長為2的正方體48CD-中，F(xiàn)為棱81%上一點，且F到直線4人與C%的距離

相等，四面體4避名尸的每個頂點都在球。的表面上，則球。的表面積為()

417r337r

A.87rB.---C.97rD.---

44

【答案】D

【解析】

【分析】

由題，先確定F的位置，由九必力義出/相互垂直，構(gòu)造以切瓦山公出/為棱的長方體，求

其外接球半徑即可求得球的表面積

【詳解】過外做%N1A^,B/i±面44拉世，，8/_LA】B,A/_L面%NF,二&B1FN：.FN

________1

為F到直線的距離，則|NF|=|C/|,設|B/|=x,&2+(的2=2一％解得x=.

?.里此生4昆?相互垂直，以8百8/1產(chǎn)/為棱的長方體球心即為0,貝U

2R=,4+4+：=卓二球。的表面積為4m2=竽

故選：D

【點睛】本題考查椎體的外接球，明確點F的位置是突破點，構(gòu)造長方體是關鍵，是中檔題

12.已知函數(shù)f(%)的導函數(shù)f'(%)滿意(汽+Inx)f(x)<f(%)對％G(:,+8)恒成立，則下列不等式

中肯定成立的是()

A.2/(1)>/(e)B.e2/(l)>f(e)

C.2/(1)</(e)D.吹l)<f(e)

【答案】A

【解析】

【分析】

9(%)”匕求出函數(shù)g(x)的導數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出答案.

1+Lnx

【詳解】令g(九)=一,"),由(x+xlnx)ff(x)<f(x),+ooj

1+lnx\e/

得(1+lnx)f'(x)--f(x)<0,

X

f(x)(l+Znx)-/(x)-

g,(x)__________________工,

(1+lnx)2

則g'(x)<0,

故g(x)在xeg,+8)遞減；故g(e)<9(1),即與<?,.?.2f(l)>f(e)

故選：A

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，精確構(gòu)造新函數(shù)是突破，精確推斷單調(diào)性

是關鍵，是中檔題

二、填空題：將答案填在答題卡中的橫線上.

13.小張要從5種水果中任選2種贈送給好友，其中芒果、榴蓮、椰子是熱帶水果，蘋果、葡

萄是溫帶水果，則小張送的水果既有熱帶水果又有溫帶水果的概率為.

3

【答案】三(或0.6)

【解析】

【分析】

確定基本領件個數(shù)即可求解

【詳解】由題從5種水果中任選2種的事務總數(shù)為量=10,小張送的水果既有熱帶水果又有溫

帶水果的基本領件總數(shù)為6嗎=6,二小張送的水果既有熱帶水果又有溫帶水果的概率為

6_3

10-5

故答案為看3

14.函數(shù)/"(x)=｛簫言f2"的值域為-

【答案】(一5,3]

【解析】

【分析】

由函數(shù)性質(zhì)確定每段的值域，再求并集即可

【詳解】由題/■(*)=2"-5單調(diào)遞增，6(-5,-1],又f(x)=3sinxE[-3,3],故函數(shù)的值域

為(-8,-1]u[-3,3]=(-5,3]

故答案為(-5,3]

【點睛】本題考查分段函數(shù)的值域，三角函數(shù)性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，熟記函數(shù)性質(zhì)，精確

計算是關鍵，是基礎題

22

15.已知4B分別是雙曲線C匕—匕=1的左、右頂點，P(3,4)為C上一點，則的外接圓APAB的

m2

標準方程為.

【答案】一+(y_3)2=10

【解析】

【分析】

由點P(3,4)為C上，求m,由外心設外心坐標M(0,t),M在PB的中垂線上求t即可

9164

【詳解】P(3,4)為C上一點，一-k=1,解得m=l,則B(1,0),Ak=-=2,PB中垂線方程為

m22PB

1

y=2)+2,令x=0,則y=3,設外接圓心M(0,t),則M(0,3),r=\MB\=產(chǎn)手，△PAB

外接圓的標準方程為/+(y_3)2=10

故答案為久2+(y_3)2=10

【點睛】本題考查圓的標準方程，雙曲型方程，熟記外心的基本性質(zhì)，精確計算是關鍵，是

基礎題

16.設S.為等差數(shù)列｛與｝的前幾項和，若。7=5品=-55,貝MS”的最小值為.

【答案】-343

【解析】

【分析】

分別利用等差數(shù)列的通項公式及求和公式表示已知條件，然后求出得a”d,在代入求和公

式，并利用導數(shù)判單調(diào)性求最值即可求解.

【詳解】由題意可得，，(請乙:；二：55解可得出=-19,d=4,

n(n-1)?,,

J

/.Sn=-19n------x4=2n-21n,.".nS?=2n-21n",

設f(x)=2x3-21x2,f'(x)=6x(x-7),

當0<x<7時，f'(x)<0；函數(shù)是減函數(shù)；

當x>7時，f,(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)；

所以n=7時，ns”取得最小值：-343.

故答案為-343

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡潔應用，精確計算是關鍵，屬

于基礎試題.

三、解答題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△4BC中，3sinA=2sinB,tanC=2T/2.

。)證明：△ABC為等腰三角形.

(2)若△4BC的面積為2蝕，。為力C邊上一點，且=3CD,求線段CD的長.

【答案】(1)詳見解析；(2)T+作

12

【解析】

【分析】

1

(1)由正弦定理得3a=2b,由tcmC=得cosC=§,利用余弦定理求得b二c即可證明；(2)由

A4BC的面積求a,設CD二化,在△DBC中運用余弦定理求得x,即為所求

【詳解】(1)證明：3sinA=2sinBf3a=2b

L1

???tanC=2^/2,cosC=-

設的內(nèi)角的對邊分別為a,b,,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2ax^cosC=b2

即人=6貝必ABC為等腰三角形.

(2)vtanC=2盤,:.sinC=—^―

則A4BC的面積S=^absinC=1a2x=2^2

解得a=2.

]

設CD=x,貝i]BD=3x,由余弦定理可得(3x)2=/+22-4久x§,

解得"-1+丑（負根舍去），從而線段CD的長為」±2^.

1212

【點睛】本題考查正余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系，證明三角形形態(tài)，嫻熟運用定理及

三角公式，精確計算是關鍵，是中檔題

18.如圖，在三棱柱ABC—&B1G中，A41平面4BC,。為BC邊上一點，

乙BAD=60°,AA^=AB=2.AD=2.

⑴證明：平面平面BBiJC.

?若BD=CD,試問：&C是否與平面4。位平行？若平行，求三棱錐4-4/7的體積；若不

平行，請說明理由.

./3

【答案】（1）證明見解析；（2）A￡與平面ADBi平行.體積為L.

3

【解析】

【分析】

（1）禾［j用A&1平面ABC,證得BB］!.平面ABC,得至iJ8Bi_L4D,利用余弦定理證得4。_LBC,

由此證得AD1平面BB/jC,從而證得平面平面B%GC.（2）取名J的中點E,連接

DE,CE,A^,通過證明四邊形4DE占為平行四邊形，證得&E〃4D,同理證得CE〃B/,所以平

面平面ARE,由此證得&C〃平面40%.利］用匕=UB「4&D=囁一4&D求得三

棱錐的體積.

【詳解】⑴證明:因為AA」平面ABC,

所以BB」平面ABC,

因為4。u平面4BC,

所以AD_LBBi.

在4ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-7.ABADcos6G0=3.

^\AB2=AD2+BD2,

所以AD±BC,

又BCnBB、=B,

所以AD_L平面BBiCiC,

因為ADu平面

所以平面ADBi_L平面BBCC.

⑵解:A￡與平面ADBi平行.

證明如下：取BC的中點E,連接DE,CE,AF,

因為BD=CD,所以DE〃AAi,且DE=AA”

所以四邊形ADEA,為平行四邊形，

則A1E/7AD.

同理可證CE/7B1D.

因為4述nCE=E,

所以平面ADBi〃平面A￡E,

又A/u平面&CE,

所以AC〃平面ADBi.

因為AAi〃BBi,

所以唳[-4/。

又BD=y^,且易證BD_L平面AAD

所以乙-勺％。=U8]-44/=^B-AA^D=3X^X2X^X1=^3-

【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，屬

于中檔題.

19.某小學舉辦“父母哺育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級

代碼分別為12?一,6）的學生給父母洗腳的百分比y%進行了調(diào)查統(tǒng)計，繪制得到下面的散

點圖.

⑴由散點圖看出，可用線性回來模型擬合y與％的關系，請用相關系數(shù)加以說明.

（2）建立y關于久的回來方程，并據(jù)此預料該校學生升入中學的第一年（年紀代碼為7）給父母

洗腳的百分比.

6n

附注：參考數(shù)據(jù)：￡（勺_三）2=1752（勺一秋％-9）=35,口羽麗《365參考公式：相關系

i=lM

n

2（々一秋%一歹）

1=1

數(shù)「=

nnJ若r>0.95,貝力與龍的線性相關程度相當高，可用線性回來模型擬

)z

i=1i=1

合y與久的關系.回來方程夕=bx+a中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為:

n

2（々一秋％一歹）

公i=l__

3---------,a=y-bx.

2（—）2

i=l

【答案】（1）詳見解析；（2）23%.

【解析】

【分析】

6

（1）計算歹=16,得歷2=76,代入計算公式求值即可推斷y與#的線性相關程度；（2）

1=1

35

由公式計算8=,=2,求元帶入回來直線求得必進而求得回來方程，將x=7代入直線，

即可確定百分比

1

【詳解】(1)因為歹=-x(ll+13+16+15+20+21)=16

6

6

所以￡(%-歹)2=76,

1=1

「…3535

所以r===/，

口7.5X7671330

因為“1330002365,所以黃頻亡36.5,

…35

所以r0.96.

36.5

由于y與4的相關系數(shù)約為0.96>0.95,說明y與龍的線性相關程度相當高，從而可用線性回來

模型擬合y與％的關系.

(2)b=—=2

17.5

_1

因為三=—x(1+2+3+4+5+6)=3.5,所以6=歹一破=9

6

所以回來方程為夕=2%+9.

將x=7,代入回來方程可得夕=23,

所以預料該校學生升入中學的第一年給父母洗腳的百分比為23%.

【點睛】本題考查相關系數(shù)r,回來直線方程，嫻熟運用公式計算是關鍵，是基礎題

20.已知點8(1,2)是拋物線“丁2=22工伽>0)上一點，F(xiàn)為M的焦點.

⑴若4(：,a),C(|,b)是M上的兩點，證明：|凡4|,|印，因依次成等比數(shù)列.

(2)過B作兩條相互垂直的直線與M的另一個交點分別交于P,Q(P在Q的上方)，求向量8

在y軸正方向上的投影的取值范圍.

【答案】⑴詳見解析；(2)(8,+8).

【解析】

【分析】

(1)由在拋物線上求P,再利用焦半徑公式求|F4|,|FB|,|FC|,再利用等比數(shù)列定義證明即

可(2)設直線PB的方程為丫=卜0-1)+2%>0),與y2=4支聯(lián)立，得力2_到+4(2-々)=0,

由△>(),求k的范圍，并求得P坐標，同理求得Q坐標，則向量◎在y軸正方向上的投影為

44

二丁+4k,求函數(shù)f(k)=7+4k的范圍即求得結(jié)果

kk

【詳解】(1)證明：???8(1,2)在拋物線M/=2p%(p>0)上，.?.4=2p,??.p=2.

1p35P8

AR=2+2?|FB|=2,R=3+23，

382

v-x-=22

23

尸切，|尸C|依次成等比數(shù)歹!J.

(2)設直線PB的方程為〉二解%-1)+2(4>0),與/=4工聯(lián)立，得女/_到+4(2-k)=0

則A=16-16fc(2-fc)>0,vfc>0,/.fc6(04)0(1,+oo

、44

設尸(久”力)，Q(久2)2)，則2+%=0,BPy1=——2

K.K

-?-P在Q的上方--?Ji>0,則kG(0,1)U(1,2).

以代比得丫2=-4卜-2,

4

則向量在在y軸正方向上的投影為yi-%=工+4比

4

設函數(shù)/(憶)=7+4匕則/(A)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，從而

故向量。在y軸正方向上的投影的取值范圍為(8,+00).

【點睛】本題考查拋物線的簡潔性質(zhì)與應用，直線與拋物線位置關系，范圍問題，嫻熟運用

定義，精確計算P,Q坐標，將?在y軸正方向上的投影表示為k的函數(shù)時關鍵，是中檔題.

]

21.已知函數(shù)/'(x)=(x-a-l)ex--x2+ax.

(1)探討/"(X)的單調(diào)性.

(2)若弘°e[l,2],/(x)<0,求a的取值范圍.

【答案】(1)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；(2)

1

【解析】

【分析】

(l)f'(X)=O-a)eX-x+a=(x-a)(e*-1),探討當a<0,a=0,a>0時導數(shù)符號改變狀況求

1

得單調(diào)性(2)由(1)的探討知：awo時，/'(x)min=/(l)<°，解j_-<a<0；0<a〈l時，

2(1-e)

1

a2

f(X)m譏=/(1)<0,解0<a<1符合；當1<。<2時，fWmin=/(?)=-e+-a,構(gòu)造函數(shù)

1

g(x)=-/+/2,尤e(l,2),求導判單調(diào)性解a的不等式；。22時，/0)?1譏=/(2)<。,解@

范圍，則問題得解

x

【詳解】(1)/'(X)=(常-a)e*-第+Q=(X-d)(e-1)

當a<0時，xG(-co,d)U(0,+oo),f*(x)>0；xG(a,O),f'(x)<0.

所以f(%)在(-8.)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當Q=0時，/'(第)之0對％WR恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增.

當a>0時，xG(-oo,0)U(a,+oo),fl(x)>0；xG(0,a),f'(x)<0.

所以/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)①當a40時，由(1)知/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則/㈤在［1,2］上單調(diào)遞增,

111

所以f(E)m譏=/(D==(l-e)a--<0,解得而一^-<a<0.

②當a>0時，由(1)知/1(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

當0<"1時，/1(%)在［1,2］上單調(diào)遞增.

11

所以fO)m譏=/(1)=一。。一］+a=(1-。)。一5<0對。€(0,1］恒成立，則0<a〈l符合題

-zsir.

思；

當l<a<2時，/(%)在口a)上單調(diào)遞減，在(a,2］上單調(diào)遞增.

1

所以fCOmin=f(a)=-ea+^a2.

］

設函數(shù)g(x)=-/+/2,%e(i,2),

易得知x6(1,2)時，1x26(1,2),_e*e(-e2,_e),

所以g(x)<0,

故譏=f(a)=-ea+^a2<0對aG(1,2)恒成立，即1<a<2符合題意.

當a之2時，/(%)在［1,2］上單調(diào)遞減.

2

所以f(x)m譏—/(2)=(1-a)e之-2+2Q=(1-a)(e—2)<0對aE［2,+8)怛成立,則a>2符

合題意.

1

綜上所述：a的取值范圍為(———+co).

2(1-e)

【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合問題，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與最值，不等式有解問題，分

類探討思想，明確分類標準，不重不漏是關鍵，是