計數(shù)原理與二項式定理知識點總結(jié)- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第第頁高考知識點總結(jié)10-2計數(shù)原理與二項式定理一．計數(shù)原理與排列組合(一)兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法(二)排列與組合1．排列與組合的概念名稱定義區(qū)別排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列排列有序，組合無序組合合成一組2.排列數(shù)(1)定義：從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．(2)排列數(shù)的公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n!(n?m)!(n，m∈N*，且m≤n)．特例：(1)Aeq\o\al(n,n)＝n!；(2)0！=1;(3)排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．3.組合數(shù)(1)定義：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．(2)組合數(shù)公式：?nm=Anmm!=n(n?1)(n?2)?(n?m+1)m(m?1)(m?2)?1所以組合數(shù)公式還可表示為：Cnm=(3)組合數(shù)的主要性質(zhì)：(1)?nm=?n(三)常見排列組合類型及解法1．“在位”與“不在位”①某(特)元必在某位有種；②某(特)元不在某位有(補集思想)(著眼位置)(著眼元素)種.2.相鄰(緊貼)問題“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，排法共有種．①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；3.不相鄰問題“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），的排法共有·種．4.兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法.5.分配問題(1)(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.(2)(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，(3)其分配方法數(shù)共有.6.涂色問題如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．二．二項式定理(一)1.二項式定理：(a＋b)n＝(n∈N*).右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數(shù).式中的an－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項：Tk＋1＝an－kbk.2.兩個常用的二項展開式：①（）②3.二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從，，一直到，.(二).二項式系數(shù)的性質(zhì)1.每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．2.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即＝.3.增減性與最大值：二項式系數(shù)，當(dāng)k<n+12時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>n+12當(dāng)n是偶數(shù)時，那么其展開式中間一項Tn當(dāng)n是奇數(shù)時，那么其展開式中間兩項Tn?12+14.各二項式系數(shù)的和：令，則二項式系數(shù)的和為，(1)變形式．(2)二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，令，則從而得到：．5.二項式系數(shù)最大值：(1)如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項Tn2+1的二項式系數(shù)(2)如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項Tn+12,T6.項的系數(shù)最大值：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．(三).二項式展開式中系數(shù)的和1.設(shè)，①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．2.若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i