數(shù)學(xué)思維與觀察能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維與觀察能力的培養(yǎng)新泰二中楊朝涵【內(nèi)容提要】：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，因此在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，就是有意識(shí)地對(duì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行事物的數(shù)和形的特點(diǎn)感知活動(dòng)，通過對(duì)符號(hào)、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行的察看，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)思維的角度去觀察周圍的世界，養(yǎng)成留心觀察周圍事物的習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，善于觀察，使學(xué)生終生受益，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)生全面素質(zhì)教育的重要作用?！娟P(guān)鍵詞】：素質(zhì)教育數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)觀察能力

教育部頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中提出了“學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等教學(xué)活動(dòng)”，“要給學(xué)生一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的觀察是人們對(duì)事物或問題的特征通過視覺獲取信息，運(yùn)用思維辨認(rèn)其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)規(guī)律和性質(zhì)的方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，就是把觀察作為認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，作為思想的觸覺，對(duì)學(xué)生注意能力、觀察能力、記憶能力、運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、抽象概括能力、遷移能力、分析與解決問題能力等多種能力綜合培養(yǎng)，具備比較完整的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以提高學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中認(rèn)知問題，解決問題的能力，進(jìn)而提高學(xué)生探究認(rèn)知事物發(fā)展規(guī)律的能力，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，服務(wù)于生活，達(dá)到學(xué)以致用，學(xué)用相長的素質(zhì)教育目的，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。結(jié)合我們多年來的教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生觀察力從以下幾個(gè)方面入手。一、注重激起學(xué)生探求知識(shí)、學(xué)習(xí)觀察的興趣和欲望我國古代大教育家說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，良好的觀察興趣和欲望，不僅使學(xué)生獲得知識(shí)，而且還能使學(xué)生在充滿興趣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中往往伴著積極愉快的情緒，從而把注意力長時(shí)間指向集中于學(xué)習(xí)活動(dòng)，傾注全部的熱情和力量克服學(xué)習(xí)過程中的種種困難，充分調(diào)動(dòng)積極性。所以，教師在課前、課上、課后就要多創(chuàng)造條件給學(xué)生觀察的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生求知欲望，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)具有濃厚的興趣。如在教學(xué)《幾何》第一冊(cè)“兩點(diǎn)之間線段最短”的公理時(shí)，提出這樣的問題：從上海到廣州，可以乘火車，路程約1811公里；也可以坐輪船，航程1690公里；還可以乘坐飛機(jī)，行程1200公里，為什么坐飛機(jī)路程最短？因?yàn)殛懧坊蛩方煌ㄊ艿匦巍⑺榈南拗?，路線彎彎曲曲，而飛機(jī)在空中飛行，所受條件限制較少，一般情況下是沿直線前進(jìn)的，所以坐飛機(jī)的路程最短。絲瓜、牽?；ǖ那o細(xì)弱而蔓長，為采取陽光，它們攀附在近似于圓柱體的樹干上，如果把圓柱體的側(cè)面展開就得到一個(gè)長方形，而莖蔓纏繞的軌跡則是這長方形的對(duì)角線。由此可知，“在連結(jié)的兩點(diǎn)的線中，線段最短”這個(gè)真理滲透在大千世界，不僅為人類所承認(rèn)，就連一般的動(dòng)植物也要遵循，使他們感到數(shù)學(xué)“真神奇”。油然而生的好奇心又使學(xué)生對(duì)觀察具有濃厚的興趣，促進(jìn)他們進(jìn)一步觀察，尋求新的知識(shí)，從而使學(xué)生的觀察由無意觀察逐步向有意觀察過渡，培養(yǎng)了觀察的持久性。二、注重培養(yǎng)學(xué)生正確的思維觀察模式、方法思維通常是從觀察教學(xué)對(duì)象開始，結(jié)合運(yùn)用其他方式才能獲得關(guān)于客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)觀察，無論是圖形的識(shí)別、數(shù)據(jù)之間關(guān)系的把握，還是基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、綜合分析能力的提高都離不開認(rèn)真、仔細(xì)的觀察。觀察、發(fā)現(xiàn)是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的過程中必需的、第一位的方法。而正確的觀察方法，對(duì)學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)具有重要的推動(dòng)作用。因此，在教學(xué)中，要針對(duì)學(xué)生在心理缺乏觀察事物所必須具備的基本素質(zhì)，在掌握知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的水平上缺乏觀察的能力和數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，可以考慮利用多媒體教學(xué)或啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用眼睛觀察、欣賞同類型題的變化，保證觀察的正確性。1、引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系”的哲學(xué)觀點(diǎn)觀察部分與整體的關(guān)系數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)理間的關(guān)系，還與其他學(xué)科具有緊密的知識(shí)聯(lián)系。我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)觀察時(shí)，要注重把政治教學(xué)中有關(guān)哲學(xué)思辯的思想和方法在“不知不覺”中引導(dǎo)和發(fā)散學(xué)生思維模式。比如，整體與部分的關(guān)系中，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察的整體的同時(shí)，還應(yīng)觀察其部分的特點(diǎn)，從整體看部分，從部分中把握整體，這樣，才能抓住解決問題的關(guān)鍵，使解題簡化。例：計(jì)算1＋2＋3＋…＋100許多學(xué)生一看到題就將數(shù)一個(gè)一個(gè)累加，當(dāng)然能夠算出結(jié)果，但比較麻煩。此時(shí)可以啟發(fā)學(xué)生去觀察思維，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們隱含的規(guī)律，1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……如此類推一共有50個(gè)101，兩者相乘，輕而易舉地解決了問題。2、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散性觀察思維，尋求多樣解題途徑發(fā)散性觀察思維，就是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在多樣性的數(shù)量、數(shù)理關(guān)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)量、數(shù)理演變的規(guī)律，達(dá)到舉一反三、觸類旁通。比如，有些數(shù)學(xué)題，教師可以對(duì)例題進(jìn)行有目的、多角度的演變，調(diào)換命題的題設(shè)和結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過一題多變的觀察和思考，在解題過程中開闊思路,尋求多種方法解決問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“辦法總比問題多”。這就是我們數(shù)學(xué)教育在學(xué)生全面素質(zhì)教育中的一個(gè)重要命題，可以讓學(xué)生體會(huì)到：可以在人生觀、世界觀方面同樣具有教育的意義和優(yōu)勢。例1.已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于1350，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)·180=135o·n，解之得n=8，∴這個(gè)多邊數(shù)是8變式1已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是10800，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。變式2已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)是8，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和。以上兩變式的解法都用原例同一關(guān)系式，解法略。境：如將被加數(shù)表示成某人從A地出發(fā)，第一次向東或向西走的距離，加數(shù)表示成第二次向東或向西走的距離，則他現(xiàn)在A地什么方向的多少距離，就對(duì)應(yīng)著一個(gè)“和”。讓學(xué)生自己觀察、判斷，把具體的兩數(shù)和分成七種情況：正數(shù)+正數(shù)，負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)，正數(shù)+負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)+正數(shù)，正數(shù)+零，負(fù)數(shù)+零，零+零。再讓學(xué)生通過觀察、歸納、比較，進(jìn)一步抽象概括為三種情形：同號(hào)兩數(shù)相加，異號(hào)兩數(shù)相加，一個(gè)數(shù)（包括零）與零相加。通過上述實(shí)例的觀察、抽象、推廣，展現(xiàn)了運(yùn)算法則的概括過程，從而培養(yǎng)了觀察的概括性。3、注重在分析問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的差異分辨能力培養(yǎng)差異分辨能力，就是要求學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用特殊化和一般化和觀察認(rèn)識(shí)方法，既能把數(shù)學(xué)問題從原來的范圍縮小到一個(gè)較小范圍或個(gè)別情形進(jìn)行考察研究，又學(xué)會(huì)將觀察對(duì)象從原來范圍擴(kuò)展到更大范圍進(jìn)行考察和研究，做到了解事物的全貌的同時(shí)，更能精確把握事物的特征，對(duì)不同事物既能發(fā)現(xiàn)它們的相似點(diǎn)，又能辨別它們的細(xì)微差別。要充分利用各種教學(xué)手段，如列表比較、對(duì)比觀察等，利用現(xiàn)代教學(xué)手段，通過形象直觀、富有動(dòng)感的圖片、畫面，啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)觀察對(duì)象的特征，揭示觀察對(duì)象的本質(zhì)。對(duì)問題的觀察要仔細(xì)、要深刻、要全面、要精確。做到既不重復(fù)，也不遺漏。這樣做不但有利于對(duì)概念的掌握，而且還使學(xué)生對(duì)事物的觀察越來越精確。例如：初三幾何中，傳授圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，自做兩個(gè)半徑不等的圓，類比直線和圓的位置關(guān)系，從位置上看，找交點(diǎn)；從數(shù)量上看找圓心和直線的距離。將大圓固定，移動(dòng)小圓，自遠(yuǎn)而近，先是沒有交點(diǎn)→有一個(gè)交點(diǎn)→有二個(gè)交點(diǎn)→有一個(gè)交點(diǎn)→沒有交點(diǎn)；根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，可得圓與圓相離、相切、相交，而由數(shù)量關(guān)系（即兩圓心與兩圓的半徑和差關(guān)系看，相離時(shí)d>R+r、d<R-r，相切時(shí)d=Rr，相交時(shí)R-r<d<R+r；結(jié)合實(shí)例，學(xué)生頭腦中即可像放電影一樣掠過圓與圓之間可能出現(xiàn)的形狀，類比直線和圓的位置關(guān)系，得出圓與圓的位置關(guān)系：外離、內(nèi)含、外切、內(nèi)切、相交。在教學(xué)中，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生進(jìn)行長期的有目的的訓(xùn)練，提高對(duì)觀察作用的認(rèn)識(shí)和興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。4注重在在解決問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的辯證聯(lián)系能力培養(yǎng)辯證聯(lián)系能力，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用哲學(xué)思維中聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去觀察問題、解決問題，要求通過觀察反映事物的全貌以及事物的組成部分和相互聯(lián)系，在較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的圖形中全面反映事物的某種屬性，指出在某種特定的情況下感知對(duì)象所能發(fā)生的各種可能性。例如：已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為30cm、5cm，且⊙o1與⊙o2相切，那么這兩圓的圓心距為多少？(兩圓相切，有內(nèi)切與外切的兩種可能)在觀察中，由于學(xué)生缺乏對(duì)事物之間內(nèi)在聯(lián)系的全面理解，導(dǎo)致感知的對(duì)象不能反映各種可能的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。在教學(xué)過程中，要幫助學(xué)生把握事物的基本屬性，在初步觀察的基礎(chǔ)上，分析觀察對(duì)象內(nèi)在的規(guī)律性，鼓勵(lì)學(xué)生依照一定的程序，深入觀察。同時(shí)，要及時(shí)對(duì)觀察的結(jié)果提出自己的觀點(diǎn)，與學(xué)生相互討論，對(duì)學(xué)生觀察中出現(xiàn)的遺漏，要分析原因，加以補(bǔ)救，使觀察結(jié)論全面、完整。5、注重在在思維訓(xùn)練中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的深廣滲透能力培養(yǎng)深廣滲透能力，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用歸納與演繹的方法，綜合與分析的方法，一方面要求學(xué)生能夠洞察對(duì)象本質(zhì)以及揭示對(duì)象間的相互關(guān)系，能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，對(duì)問題進(jìn)行深入細(xì)致的分析；另一方面又要求學(xué)生思路開闊，能夠從多方面、多角度地分析問題和解決問題，提高學(xué)生的思維能力。這是反映數(shù)學(xué)觀察活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平的重要體現(xiàn)，它反映數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的廣度和深度。因此，觀察必須始終與思維訓(xùn)練緊密結(jié)合，尤其要重視對(duì)觀察對(duì)象隱含條件的發(fā)掘，通過觀察能力的培養(yǎng)，逐步使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考意識(shí)抽象概括化、思考對(duì)象形式化、思考過程邏輯化、思考結(jié)果應(yīng)用化。例如：若a2b3<0，化簡-2ab|-a5(-b7)|對(duì)此題進(jìn)行觀察要仔細(xì)，抓住題目的特點(diǎn)，根據(jù)已知條件應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)，觀察絕對(duì)值里面的是負(fù)數(shù)、零、還是正數(shù)。然后，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)行計(jì)算、化簡。解：因?yàn)閍2b3<0，所以a0，b<0，所以分a>0和a<0兩種情況。①當(dāng)a>0時(shí)，原式=-2ab|a5b7|=-2ab(-a5b7)=a6b8；②當(dāng)a<0時(shí)，原式=-2ab|a5b7|=-2ab×a5b7=-a6b8。點(diǎn)撥：解此題要注意根據(jù)已知條件，分析a>0和a<0兩種情況，再根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡，化簡時(shí)要注意系數(shù)符號(hào)。在分析解決問題中，運(yùn)用合理的觀察方法，按照由整體到部分，或由部分到整體等一定的順序進(jìn)行全面觀察，抓住題目的特征，邊觀察邊思考，使觀察與思維互相滲透，達(dá)到觀察與思維的深度廣度的高度統(tǒng)一。總之，數(shù)學(xué)教學(xué)具有數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，在教學(xué)中，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、處理數(shù)據(jù)的能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)信息的表達(dá)和交流能力為目的，通過學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維中具有豐富哲學(xué)思想的思維，對(duì)學(xué)生進(jìn)行長期的有目的的訓(xùn)練，提高對(duì)觀察作用的認(rèn)識(shí)和興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力：要運(yùn)用多種手段，激發(fā)學(xué)生的觀察興趣；通過訓(xùn)練，使學(xué)生掌握觀察的基本方法，具有良好的觀察品質(zhì)，逐步養(yǎng)成主動(dòng)觀察、善于觀察的習(xí)慣，使數(shù)學(xué)教學(xué)更