4.5.3函數(shù)模型的應用課件-高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應用學習目標學科素養(yǎng)1．能利用已知函數(shù)模型求解實際問題；2．能根據實際需要構建指數(shù)型函數(shù)或對數(shù)型函數(shù)模型解決實際問題.1、數(shù)學抽象2、數(shù)據分析3、數(shù)學建模4、數(shù)學運算【自學評價】一、知識整理、自主建構

閱讀課本P148~P153，總結到目前為止我們研究過的幾種函數(shù)模型，并思考面臨一個實際問題時，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它.知識梳理：幾種常見的函數(shù)模型1．一次函數(shù)模型形如

的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中

．y＝kx＋b(k≠0)2．二次函數(shù)模型(1)一般式：

．(2)頂點式：

．(3)兩點式：

，（x1，x2是二次函數(shù)的兩個零點）．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x＋m)2＋n(a≠0)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)3．冪函數(shù)型模型解析式：

(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)4．指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)＝

．(2)條件：a，b，k為常數(shù)，k≠0，a>0，a≠1.y＝axα＋bkax＋b5．對數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)＝

．(2)條件：m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1.mlogax＋n方法總結：用函數(shù)模型解應用題的四個步驟：(1)審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型；(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；(3)求模——求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原——將數(shù)學結論還原為實際問題．思考：不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來刻畫，面臨一個實際問題，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？分析：用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型，就是要確定其中的初始量y0和年平均增長率r.解：（1）由題意知y0=55196，設1950~1959年期間我國人口的年平均增長率為r，根據馬爾薩斯人口增長模型，有由計算工具得因此我國在1950~1959年期間的人口增長模型為表4.5-4年份19511952195319541955195619571958計算所得人口總數(shù)/萬5641757665589406024361576629386433065753實際人口總數(shù)/萬5630057482587966026661465628286456365994由表4.5-4和圖4.5-6可以看出，所的模型與1950~1959年的實際人口數(shù)據基本吻合.【思考】事實上，我國1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億．對由函數(shù)模型所得的結果與實際情況不符，你有何看法？

因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經濟發(fā)展水平產生了較大矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結果與實際不符的情況．１．已知1650年世界人口為5億，當時人口的年增長率為0.3％；1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1％．（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？（2）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達到72億．你對同樣的模型得出的兩個結果有何看法？（2）分別取，由可得我國在1951~1958年間的各年末的人口總數(shù)；查閱國家統(tǒng)計局網站，得到我國1951~1958年各年末的實際人口總數(shù)，如表4.5-4所示.表4.5-4年份19511952195319541955195619571958計算所得人口總數(shù)/萬5641757665589406024361576629386433065753實際人口總數(shù)/萬5630057482587966026661465628286456365994根據1950~1959年我國人口總數(shù)的實際數(shù)據畫出散點圖，并畫出函數(shù)，的圖象（圖4.5-6）.由表4.5-4和圖4.5-6可以看出，所的模型與1950~1959年的實際人口數(shù)據基本吻合.【思考】事實上，我國1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億．對由函數(shù)模型所得的結果與實際情況不符，你有何看法？

因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經濟發(fā)展水平產生了較大矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結果與實際不符的情況．

【變式訓練】１．已知1650年世界人口為5億，當時人口的年增長率為0.3％；1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1％．（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？（2）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達到72億．你對同樣的模型得出的兩個結果有何看法？（2）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2003年世界人口還沒有達到72億．由此看出，此模型不太適宜估計跨度時間非常大的人口增長情況．2.在一段時間內，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個月，那么1萬只野兔增長到1億只野兔大約需要多少年？三、解決章引言中提出的問題例2、（鏈接教材P149例4）2010年，考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2％，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析：因為死亡生物機體內碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應選擇函數(shù)y＝kax（k∈R，且k≠0；a＞０，且a≠1）建立數(shù)學模型．解：設樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p（0＜p＜1），經過x年后，殘余量為y．根據問題的實際意義，可選擇如下模型：y＝k(1－p)x

（k∈R，且k≠0；0＜p＜1；x≥0）．由碳14的半衰期為5730年，得

k(1－p)5730=于是所以

由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2％可知，

，即解得

，.由計算工具得

因為2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的.【變式訓練】3.1959年，考古學家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測出碳14的殘余量約為初始量的62.76%

，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？（碳14的半衰期為5730年）解：設這批古建筑群距今已t年，初始量為C0，則現(xiàn)存量，由題設得，所以，

，而.所以大概是公元前1892年的.四、建立函數(shù)模型解決問題在實際問題中，有的能應用已知的函數(shù)模型解決，有的需要根據問題的條件建立函數(shù)模型加以解決．例3、（鏈接教材P150例5）假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據．解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40（x∈N*）進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x（x∈N*）進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x-1（x∈N*）進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是增函數(shù)．要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析．我們先用信息技術計算一下三種方案所得回報的增長情況

（表4.5-5）．

表4.5-5再畫出三個函數(shù)的圖象

（圖4.5-7）．由表4.5-5和圖4.5-7可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第１天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第７天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的．從每天所得回報看，在第１～３天，方案一最多；在第４天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元．【思考】：根據這里的分析，是否應作這樣的選擇：投資5天以下選方案一，投資5～8天選方案二，投資8天以上選方案三？下面再看累計的回報數(shù)．通過信息技術列表如下

（表4.5-6）．表4.5-6

因此，投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天

（含11天）以上，則應選擇方案三．

上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異．【變式訓練】4．某地今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68．為了預測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為74，78，83，你認為誰選擇的模型更符合實際？【變式訓練】4．某地今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68．為了預測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為74，78，83，你認為誰選擇的模型更符合實際？模型比較：比較發(fā)現(xiàn)，采用模型與實際人數(shù)誤差更小，乙選擇的模型更符合實際.五、探究不同函數(shù)的增長模型的增長差異例4、（鏈接教材P152例6）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％．現(xiàn)有三個獎勵模型：，，，其中哪個模型更能符合公司的要求？五、探究不同函數(shù)的增長模型的增長差異例4、（鏈接教材P152例6）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％．現(xiàn)有