高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第24練平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用(原卷版+解析)

第24練平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一、課本變式練1.（人A必修二P22習(xí)題6.2T18變式）已知，，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．2.（人A必修二P22習(xí)題6.2T11變式）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．33.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T8變式）已知，，，且，則______．4.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T19變式）已知向量的夾角為60°，，則________.二、考點(diǎn)分類練(一)求向量的數(shù)量積5.（2023屆廣西柳州市新高三摸底考試）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．－1 B． C．－2 D．16.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．7.（多選）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（

）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是(二)求向量的模8．（2022屆青海省海東市第一中學(xué)高考模擬（二））已知兩非零向量，滿足，且，則（

）A．8 B．3 C．2 D．9.（2022屆上海市虹口區(qū)高三二模）已知向量，滿足，，，則_________.(三)求向量的夾角10.已知平面向量與互相垂直，模長之比為2：1，若，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．11．（2022屆甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)高三下學(xué)期檢測(cè)）已知非零向量，滿足，，則與夾角為______．(四)數(shù)量積中的最值與范圍問題12.在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2022屆浙江省長興、余杭、縉云三校高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．三、最新模擬練14.（2022屆江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期5月高考前指導(dǎo)）如圖，在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．15.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底考試）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，AB為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，則（

）A．4 B． C．8 D．16.（2022屆江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期高考前熱）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．317.（多選）（2022屆湖北省荊州中學(xué)等四校高三下學(xué)期四模）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．存在，使得C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．向量與夾角的余弦值范圍是18．（2022屆上海市金山區(qū)高三一模）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立19.（多選）（2022屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期11月月考）關(guān)于平面向量有下列四個(gè)命題，其中正確的命題為（

）A．若，則B．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．對(duì)于非零向量，，則D．單位向量和，滿足，則與的夾角為20.（2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）已知向量滿足，則_________．21.（2022屆上海市普陀區(qū)高考二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（異于A，），，且，若，則的取值范圍為__________.四、高考真題練22.（2022新高考全國卷2）已知向量,若,則A. B. C.5 D.623．(2020高考全國卷丙)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．24．(2019高考全國卷甲)已知，，，則 ()A． B． C． D．25.（2022高考全國卷甲）設(shè)向量的夾角的余弦值為,且,則=_____．26．(2020高考全國卷乙年)設(shè)為單位向量，且，則______________．五、綜合提升練27．設(shè)正數(shù)，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個(gè)點(diǎn)，且.若是圓所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值是A．2 B．3 C． D．28.（多選）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心29.（2022屆浙江省紹興一中高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試）定義兩個(gè)向量組的運(yùn)算，設(shè)為單位向量，向量組分別為的一個(gè)排列，則的最小值為_______．30.已知向量，若對(duì)于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為________.第24練平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一、課本變式練1.（人A必修二P22習(xí)題6.2T18變式）已知，，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，所以，即，解得，又，所以．故選B2.（人A必修二P22習(xí)題6.2T11變式）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，，且與的夾角為，所以，，故選C3.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T8變式）已知，，，且，則______．【答案】【解析】由題意，又，則，故．4.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T19變式）已知向量的夾角為60°，，則________.【答案】【解析】因?yàn)榈膴A角為60°，，所以，則.二、考點(diǎn)分類練(一)求向量的數(shù)量積5.（2023屆廣西柳州市新高三摸底考試）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．－1 B． C．－2 D．1【答案】A【解析】，故選A6.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)樗杂?，因此，因?yàn)椋?，，所以，故選B7.（多選）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（

）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是【答案】BCD【解析】以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，，，由，得且，，故A錯(cuò)；時(shí)，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選BCD.(二)求向量的模8．（2022屆青海省海東市第一中學(xué)高考模擬（二））已知兩非零向量，滿足，且，則（

）A．8 B．3 C．2 D．【答案】A【解析】?jī)煞橇阆蛄?，滿足，且，可得，.故選A9.（2022屆上海市虹口區(qū)高三二模）已知向量，滿足，，，則_________.【答案】【解析】由可得，，即，解得：，所以．(三)求向量的夾角10.已知平面向量與互相垂直，模長之比為2：1，若，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】平面向量與互相垂直，模長之比為2：1，則且，得，又，則，將平方得，解得，,則，設(shè)與的夾角為，則，故選A.11．（2022屆甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)高三下學(xué)期檢測(cè)）已知非零向量，滿足，，則與夾角為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?設(shè)與夾角為，所以.因?yàn)?，所?(四)數(shù)量積中的最值與范圍問題12.在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選D13．（2022屆浙江省長興、余杭、縉云三校高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．【答案】【解析】設(shè)，由，根據(jù)三角不等式，有，得，故.三、最新模擬練14.（2022屆江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期5月高考前指導(dǎo)）如圖，在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得：，,因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，，所以，又，即，解得.故選D.15.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底考試）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，AB為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則：，因?yàn)锳B為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，所以在中，為AB中點(diǎn)又在中，，且，則如圖：為圓柱的一個(gè)軸截面所以故選C.16.（2022屆江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期高考前熱）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點(diǎn)，則，則有，即，則的取值范圍為；故選D．17.（多選）（2022屆湖北省荊州中學(xué)等四校高三下學(xué)期四模）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．存在，使得C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．向量與夾角的余弦值范圍是【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則，，．故A正確；對(duì)于B：若，則，即，所以，即，由A可知，，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：與共線的單位向量為，故為或，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)向量與夾角為，則，因?yàn)?，所以，所以，故，故D錯(cuò)誤；故選AB．18．（2022屆上海市金山區(qū)高三一模）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】C【解析】由，解得：，當(dāng)時(shí)，，由得：，即，由得：，因?yàn)?，假設(shè)，則可求出，，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；設(shè)，，，因?yàn)?，由向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點(diǎn)C滿足，又，，所以，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.故選C19.（多選）（2022屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期11月月考）關(guān)于平面向量有下列四個(gè)命題，其中正確的命題為（

）A．若，則B．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．對(duì)于非零向量，，則D．單位向量和，滿足，則與的夾角為【答案】CD【解析】當(dāng)，且時(shí)，與可以不相等，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，與的夾角為銳角，所以且與不同向，由，得，即，當(dāng)與同向時(shí)，存在正數(shù)，使得，因?yàn)?、不共線，所以，所以當(dāng)與不同向時(shí)，，所以的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；又對(duì)于非零向量，，∵，故C正確；當(dāng)時(shí)，有，得，得，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故D正確；故選CD．20.（2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）已知向量滿足，則_________．【答案】3【解析】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)?，所以，?21.（2022屆上海市普陀區(qū)高考二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（異于A，），，且，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】設(shè),則,作交OC的延長線于點(diǎn)由余弦定理所以,即,因?yàn)?所以所以所以四、高考真題練22.（2022新高考全國卷2）已知向量,若,則A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】因?yàn)?所以,所以由得,即,解得,故選C23．(2020高考全國卷丙)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故選D．24．(2019高考全國卷甲)已知，，，則 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，則．25.（2022高考全國卷甲）設(shè)向量的夾角的余弦值為,且,則=_____．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為,則,又,所以=,所以=.26．(2020高考全國卷乙年)設(shè)為單位向量，且，則______________．【答案】【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚运越獾茫?，所以五、綜合提升練27．設(shè)正數(shù)，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個(gè)點(diǎn)，且.若是圓所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】是以為圓心的單位圓上的個(gè)點(diǎn),,故而，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是,故選B28.（多選）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心【答案】ACD【解析】A：如下圖，，則為垂心，易知：，所以，則，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：，同理，所以，正確；B：構(gòu)建以中點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則，若，所以，，由，則，當(dāng)時(shí)的最小值為，錯(cuò)誤；C：由題設(shè)，則，所以，若為中點(diǎn)，則，故，故共線，又，即垂直平分，所以，正確；D：由題設(shè)，，則，所以，若為中點(diǎn)，則，故，所以的軌跡經(jīng)過的外心，正