高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第08講拓展三：三角形中面積(定值最值取值范圍)問題(高頻精講)(原卷版+解析)

第08講拓展三：三角形中面積問題（含定值，最值，取值范圍）(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問題） 4高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素 11高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值 18高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍 24角度1：普通三角形面積取值范圍 24角度2：銳角三角形面積取值范圍 29第四部分：數(shù)學(xué)文化題 35第五部分：高考新題型 39溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．2．（2021·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．3．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問題）典型例題例題1．（2023·江蘇南通·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)若，求；(2)若，求的面積．例題2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）如圖，在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，角的平分線交于點(diǎn)，且，.(1)求的大小；(2)若，求的面積.例題3．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形中，，，．(1)求；(2)若，，求四邊形的面積．例題4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求證：；(2)若，，求的面積．練透核心考點(diǎn)1．（2023·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件.(1)求角的大小；(2)點(diǎn)在線段的延長線上，且，若，求的面積.2．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．3．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，(1)求角A的大?。?2)若，求的面積．4．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面積.5．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若，求的面積．高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素典型例題例題1．（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若的面積是，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．例題3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，，，分別是角，，的對(duì)邊，且．(1)證明：；(2)若為的角平分線，交于點(diǎn)，且．求的值．例題4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┯浀膬?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為直徑的三個(gè)半圓的面積依次為，，．(1)若，證明：；(2)若，且的面積為，，求．練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）若三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，其面積，則邊=________．2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）已知的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若的面積為，，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的長．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，.(1)求的長；(2)若的面積為，求的長.4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，△ABC的面積為，求a．高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值典型例題例題1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過點(diǎn)作一條直線分別交，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為___________.例題3．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在上，.(1)從下面條件①、②中選擇一個(gè)條件作為已知，求；(2)在（1）的條件下，求面積的最大值.條件①：；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，則按第一個(gè)解?計(jì)分.例題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.2．（2023·全國·校聯(lián)考二模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的最大值.3．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若，為外一點(diǎn)（、在直線兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若________．在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上：①；②，并解答下列問題．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍角度1：普通三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，在上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．例題2．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圓的周長為，求面積的取值范圍．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且，求面積的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積的取值范圍．2．（2023秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)若，求B的大??；(2)若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿足．(1)求角的大小；(2)若，求的面積的取值范圍．角度2：銳角三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交于，且，求面積的取值范圍．例題2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，求面積的取值范圍.例題3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)若，求三角形面積的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）在銳角中，角A，，所對(duì)的邊分別為．(1)求A；(2)若，求面積的取值范圍．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角A；(2)若為銳角三角形，邊，求面積的取值范圍.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計(jì)算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．72．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）萊洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，他是由德國機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的，故而得名．它是分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形邊長為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線，如圖所示．現(xiàn)在我們要制作一個(gè)高為10的柱形幾何體，其側(cè)面與底面垂直，底面為一萊洛三角形ABC，且正三角形ABC邊長為2，則該幾何體的體積為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則4．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓想在一望無際的麥田里劃一塊形為平面四邊形的麥田成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測(cè)量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個(gè)定值，試問霍爾頓的發(fā)現(xiàn)正確嗎？若正確，求出此定值；若不正確，請(qǐng)說明理由.(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和有關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值．第五部分：高考新題型1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并加以解答.問題：的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足________.(1)求A；(2)若，且，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.2．（2023春·貴州貴陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，；(1)求；(2)若的面積為，_________求．請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答（如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答記分）．3．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知．(1)求角的大??；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.(1)求；(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，___________，求的面積.請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.①的三個(gè)頂點(diǎn)都在以為圓心的圓上，且；②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.第08講拓展三：三角形中面積問題（含定值，最值，取值范圍）(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問題） 4高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素 11高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值 18高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍 24角度1：普通三角形面積取值范圍 24角度2：銳角三角形面積取值范圍 29第四部分：數(shù)學(xué)文化題 35第五部分：高考新題型 39溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由于，，則．因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．2．（2021·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.3．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問題）典型例題例題1．（2023·江蘇南通·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)若，求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，所以．因?yàn)椋?，所以，即?），又．所以，即，又，所以，由（*）知，，所以；（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得．又，所?所以的面積為.例題2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）如圖，在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，角的平分線交于點(diǎn)，且，.(1)求的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，則，則∠BAC=2θ，由，得：，即，化簡得，∴，解得：，又，∴，即.（2）在△ABD中，由余弦定理有，①在△ADC中，由余弦定理有，②在△ABC中，由余弦定理有，③得，又，∴，又，即，代入上式可解得，∴.例題3．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形中，，，．(1)求；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得．因?yàn)椋?，所以．而，，故，又，所以得到．因?yàn)?，故，故．?）因?yàn)?，且，故，為等邊三角形．所以，因?yàn)?，，所以，故梯形ABCD的面積．例題4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)20【詳解】（1）解法一：由及正弦定理可得，整理得．又，所以，所以，即，所以，又，，則，所以．解法二：由及余弦定理可得，整理得．因?yàn)椋矗?）因?yàn)?，，即，兩邊同時(shí)平方，有，所以，．又由（1）知，則，所以．又，解得，所以的面積為練透核心考點(diǎn)1．（2023·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件.(1)求角的大??；(2)點(diǎn)在線段的延長線上，且，若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得：；若選①，則有，由余弦定理得；若選②，由代入上式，得：；若選③，則為直角三角形，，；綜上，；（2）由（1）知，，，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，，；綜上，，.2．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以；?）由（1）得，由題設(shè)，，即為等腰三角形，所以，，所以的面積．3．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，(1)求角A的大?。?2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，由正弦定理得，即，得，又，所以，所以，所以．（2）由，得，又，，由余弦定理可得，解得，所以．4．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵A、B、C是的內(nèi)角，得，又，，∴，，∴，∴.（2）由正弦定理可得，∵，，，，∴，得，∴由正弦定理可得，得，.∴的面積為.5．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，因?yàn)?，所以，則，整理化簡可得：，所以.（2）由（1）可知：，因?yàn)?，在中，由余弦定理可知：，整理可得：，解得：，因?yàn)?，所以，則，所以.高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素典型例題例題1．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A例題2．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)選②或③，【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所?（2）選條件①：由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因?yàn)?，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所?選條件③：因?yàn)?，所以，由，得到，又，?1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.例題3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，，，分別是角，，的對(duì)邊，且．(1)證明：；(2)若為的角平分線，交于點(diǎn)，且．求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理得：，又，所以，整理得．又，則，即.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，且，所以，則，所以，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，由正弦定理得.例題4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┯浀膬?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為直徑的三個(gè)半圓的面積依次為，，．(1)若，證明：；(2)若，且的面積為，，求．【答案】(1)證明過程見詳解(2)1【詳解】（1）由題意知，，，．因?yàn)?，即，所以，所以．?）因?yàn)?，即，由余弦定理，得．又的面積為，即，可得，則，，．又因?yàn)?，而，所以．由正弦定理，得，則，則，．練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）若三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，其面積，則邊=________．【答案】或【詳解】∵的面積，即，解得，注意到，故或，若，由余弦定理：，即；若，由余弦定理：，即；綜上所述：或.故答案為：或.2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）已知的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若的面積為，，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即．由余弦定理可得，又，所以．?）因?yàn)椋?，即，又，則，所以．所以，．所以，所以．在△ACD中，由余弦定理可得，即．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，.(1)求的長；(2)若的面積為，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以在中，因?yàn)樗栽谥?，由正弦定理得，所以；?）的面積為，得因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得所?4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，△ABC的面積為，求a．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由得，又，所以．由正弦定理得，又，所以，即．又A為△ABC的內(nèi)角，所以．（2）由得，，解得．又根據(jù)余弦定理得，所以．高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值典型例題例題1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過點(diǎn)作一條直線分別交，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)則=化簡得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故而當(dāng)面積的最小時(shí)，剩下的四邊形面積的最大為故選：A例題2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為___________.【答案】##【詳解】由余弦定理及,得，∴，∵A是三角形內(nèi)角，故A為銳角，∴，∴的面積．故答案為：例題3．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在上，.(1)從下面條件①、②中選擇一個(gè)條件作為已知，求；(2)在（1）的條件下，求面積的最大值.條件①：；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，則按第一個(gè)解?計(jì)分.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）解：選擇條件①：，由題意可得，由正弦定理得，由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，，故；選擇條件②：，由題意可得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，.（2）解：由（1）得，則，即，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.例題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，∴，整理得,解得或（舍去）．∴，而,故,∴，故在中，，∴；（2）設(shè),則在中，,則，所以，當(dāng)，即時(shí)，面積取到最大值.練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.【答案】##【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)椤?，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.故答案為：.2．（2023·全國·校聯(lián)考二模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由正弦定理及，得因?yàn)?，所以，所以，所以所以，所?因?yàn)椋?，所以，?（2）因?yàn)闉榻堑钠椒志€，為角的平分線，所以，所以，又，所以.由余弦定理知，所以，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，即面積的最大值為.3．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若，為外一點(diǎn)（、在直線兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，故，∴，即，又∵，∴．（2）解：在中，，，∴，又，由（1）可知，∴為等腰直角三角形，∴，又∵．∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值，最大值為．4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若________．在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上：①；②，并解答下列問題．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，又由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以．選②：由得，則由正弦定理得，因?yàn)锳，，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，則由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，所以，所以面積的最大值為．高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍角度1：普通三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，在上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，，故，即，則在中，根據(jù)正弦定理可得，；（2）設(shè)，則，由解得，在中，，則，，由，得，則，故面積的取值范圍為．例題2．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圓的周長為，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，解得，所以由正弦定理可得，由，得，即，又因?yàn)?，，且，所以，解得．由知，不是最大邊，故．?）因?yàn)橥饨訄A的周長為，所以外接圓的半徑，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，由正弦定理可得，所以，所以的面積．因?yàn)椋裕裕}3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，且．?），．，．．因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以,．練透核心考點(diǎn)1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由已知及正弦定理得：，即有，即，而，，則，所以．（2）在中，由余弦定理得：，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以面積的取值范圍是．2．（2023秋·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)若，求B的大??；(2)若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?，?因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以或.因?yàn)?，所以（不合題意，舍去）.所以，而，所以.（2）由（1）可知：或.當(dāng)時(shí)，有，這與△ABC不是鈍角三角形相矛盾，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.而.因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.又，所以，所以，即△ABC的面積取值范圍為.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿足．(1)求角的大??；(2)若，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，故，由正弦定理得，即，、，則，所以，故.（2）由正弦定理可得，則，，，，則，所以，故.角度2：銳角三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交于，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得又，所以因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又在上單調(diào)遞增，所以，即；（2）由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，所以．又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，所以，即面積的取值范圍為．例題2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?2)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，，故，因?yàn)?，所以因?yàn)?，，所以，故，所以，則.所以，所以面積的取值范圍是.例題3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)若，求三角形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，且都為銳角，所以，，所以，由正弦定理可得，又，所以，整理得，即有，所以，即，所以.在銳角三角形中，,且，所以；令，則，，令，則，因?yàn)?，所以，所以為增函?shù)，又，所以，即的取值范圍是.（2）由（1）得.因?yàn)椋?，得；設(shè)三角形ABC的面積為,則，因?yàn)椋?，設(shè)，，，，為減函數(shù)，所以，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，則.（2）法一：為銳角三角形，，則，所以，可得，又，則，故由，即而，所以，故面積的取值范圍為.法二：由，畫出如圖所示三角形，為銳角三角形，點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）在銳角中，角A，，所對(duì)的邊分別為．(1)求A；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，因?yàn)?，所以，由得．?）因?yàn)?，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角A；(2)若為銳角三角形，邊，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一：因?yàn)?由正弦定理得，又，所以.所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以?法二：因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，所?又，所以.（2）由（1）得，根據(jù)題意得解得.在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)椋?，所以，所?所以所以的取值范圍是.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計(jì)算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個(gè)等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故選：B2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）萊洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，他是由德國機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的，故而得名．它是分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形邊長為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線，如圖所示．現(xiàn)在我們要制作一個(gè)高為10的柱形幾何體，其側(cè)面與底面垂直，底面為一萊洛三角形ABC，且正三角形ABC邊長為2，則該幾何體的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，則萊洛三角形ABC的面積，則該柱形幾何體的體積，故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則【答案】C【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對(duì)于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對(duì)于C：由可知，，又，所以由可得，；所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，，因?yàn)镺為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：C4．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）“我