數(shù)列的概念(第一課時)教案高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性必修第二冊)

數(shù)列的概念第一課時

1.課時教學(xué)內(nèi)容

數(shù)列的概念

2.課時學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)能準(zhǔn)確說出數(shù)列的概念及其表示方法。

(2)會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)

給定的前幾項寫出它的一個通項公式。

3.教學(xué)重點與難點

重點：理解數(shù)列的概念，能從函數(shù)的觀點認(rèn)識數(shù)列，理解數(shù)列的通項公式

及應(yīng)用。

難點：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的理解；根據(jù)數(shù)列的前幾項抽象、歸納出數(shù)列的

通項公式。

4.教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1：請同學(xué)們觀察這兩個例子，看它們有何共同特點？

(1)從1984年至今，我國體育健兒共參加了八屆奧運會，獲得的金牌數(shù)

依次排成一列數(shù)：15,5,16,16,28,32,51,38.

(2)中國體育健兒從1984年開始共參加了七屆奧運會，我國獲得的金牌

數(shù)依次為15,5,16,16,28,32,51得到第一列數(shù)；

共同特點：它們均是一列數(shù)。

設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，引入新課.以金牌數(shù)為例，調(diào)節(jié)課堂氣氛,

拉近師生間心與心的距離，增強(qiáng)了感性認(rèn)識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的積極性。

問題2：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：

75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168o

它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？

記王芳第i歲時的身圖為h“則有：h尸75,h2=87,h3=96,h.,=103,

hi7=1450

形成結(jié)論：不能交換位置，具有確定的順序。

追問1：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個月中從第1

天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.它們之間能否交換位置嗎？具有確定的

順序嗎？

記第i天月亮可見部分的數(shù)為Si,那么s1=5,s2=10,…，S15=240O

形成結(jié)論：不能交換位置，具有確定的順序

2

追問2：-工的n次幕按1次嘉、2次幕、3次幕、4次嘉……依次排成一

2

列數(shù)：…你能仿照以上的敘述，說明這也是具有確定的順序的

24,816

一列數(shù)嗎？

追問3：上面三個例子的共同特征是什么？

1)75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,

153,158,160,162,163,165,1680

2)5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,

2222

084,40O

11l1

---_

3)4y

16

2-

共同特征：具有一定的順序的一列數(shù)。

【設(shè)計意圖】提出問題，思考?xì)w納，形成概念.學(xué)生可進(jìn)行自我表述、小組

討論、教師點撥，逐步歸納，形成共識一一這些具體例子的共同特點：它們均

是一列數(shù)，都有一定次序.學(xué)生嘗試歸納數(shù)列的定義，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能

力。

環(huán)節(jié)二講授新課

問題3：數(shù)列的定義是什么？

一般的，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做這個數(shù)列的項。（教師板書）

追問1：按照數(shù)列定義判斷，1,3,5,7是一個數(shù)列，7,5,3,1也是一個數(shù)

列，這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列？

追問2：1,1,1,1,1,…是不是一個數(shù)列？

追問3：請同學(xué)們結(jié)合數(shù)列的定義和上述具體實例，說說數(shù)列中的每一個

數(shù)和集合中的元素有什么區(qū)別？

區(qū)別：

1）數(shù)列中的數(shù)一定是“數(shù)”，而集合中的元素不一定是“數(shù)”。

2）數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相

同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；而集合中的元素是無序的。

3）數(shù)列定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)

列中可以重復(fù)出現(xiàn)；而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)。

【設(shè)計意圖】實例辨別，加深概念理解.繼續(xù)利用實例，使學(xué)生把數(shù)列中

的數(shù)和集合中的元素區(qū)分開來。

問題4：如何用符號來表示數(shù)列？

數(shù)列的一般形式為:aba2,a3,?,,,a”，…簡記為｛aj

追問：數(shù)列中，符號｛aj與位所表示的意義相同嗎？

a”僅表示數(shù)列中的第n項這一個數(shù)值，

｛&,｝表示數(shù)列。

【設(shè)計意圖】本節(jié)課的重點是數(shù)列的概念及通項公式，因為數(shù)列的概念是

學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識的基礎(chǔ)，數(shù)列的通項公式又是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列

的靈魂。在此教師務(wù)必要放慢速度，花足時間，向?qū)W生講清講透，不能一帶而

過。

問題5：數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系?這一關(guān)系可

否用一個公式表示？

序號123n

——undefined

項?1Tla2

如果數(shù)列｛aj的第n項a.與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這

個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。

追問：你能寫出-LL-…數(shù)列的通項公式嗎？

24,816

【設(shè)計意圖】對剛才所講的概念進(jìn)行及時鞏固與消化。教師巡視指導(dǎo)。

問題8:通過上述實例的研究，你對數(shù)列通項公式有什么樣的認(rèn)識?你又是

如何理解數(shù)列的通項公式的？

1)并不是所有數(shù)列都能寫出(或方便寫出)其通項公式。

2)一個數(shù)列的通項公式的形式有時是不唯一的。

3)數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第n項，又是這個

數(shù)列中所有各項的一般表示。它反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系

(函數(shù)關(guān)系)。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在此對數(shù)列的通項公式有一個比較深刻的全面的認(rèn)識.

結(jié)合對應(yīng)關(guān)系，回顧函數(shù)概念，揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。這是一個難點，講解

必須清楚、透徹，樹立從函數(shù)觀點看待數(shù)列問題的意識。

問題9：數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系？

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,????，n｝)

為定義域的函數(shù)akf(n),當(dāng)自變量從小到大依次取值時可得到對應(yīng)的一列

函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)v=f(x),如果f(i)(i=l,2,3,…，n,??-)

有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(4),…，f(n)…

因此，數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項數(shù)是其自變量，其定義域是正整數(shù)集

或正整數(shù)集的有限子集，其解析式就是數(shù)列的通項公式。

問題10：數(shù)列有哪些表示方法

通項公式法、列表法、圖象法。(結(jié)合實例總結(jié))

問題11:數(shù)列有哪些分類？

(1)根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少劃分：

有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列。

無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列。

(2)根據(jù)數(shù)列項的大小劃分：

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列，即an>an-|,

(n22)o

遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列，即anT<an,

(n22)o

常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列，即an+l=am或an=c,(neN*,c為常數(shù))。

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項

的數(shù)列。

環(huán)節(jié)三例題練習(xí)，鞏固知識

例1根據(jù)下面數(shù)列｛&｝的通項公式，寫出其前5項，并畫出它們的圖像。

(1)Z(2)a.=cos?"史

n2

解答:(1)1,3,6,10,15(2)1,0,-1,0,1

追問：你能判斷兩個數(shù)列的單調(diào)性嗎？

【設(shè)計意圖】以上兩道習(xí)題體現(xiàn)的是數(shù)列的函數(shù)思想。

例2根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式。

(1)1,—I，]—]...;(2)2,0,2,0,...;

234

解答：⑴勺=旦二(2)%,=(-1嚴(yán)+1

n

【設(shè)計意圖】根據(jù)數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式.這是本節(jié)課

的重點.教師適時引導(dǎo)，讓學(xué)生先自己解決，然后教師重點講解.重點強(qiáng)調(diào)常用

的思考方法，寫通項公式時，就是要去發(fā)現(xiàn)項an與序號n之間的關(guān)系，對各

項進(jìn)行多角度、多層次觀察，找出這些項與對應(yīng)序號之間的對應(yīng)關(guān)系，必要時

還需對給定的表達(dá)式作適當(dāng)變形。

環(huán)節(jié)四課堂小結(jié)

問題12：回顧本節(jié)課所學(xué)知識，思考一下問題

1)什么是數(shù)列？數(shù)列的本質(zhì)是什么？

2)我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的哪些知識？

本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：數(shù)列的定義；數(shù)列的通項公式。

通項公式的學(xué)習(xí)要求是：會由通項公式求數(shù)列的特定項；會由數(shù)列

的前幾項求數(shù)列的一個通項公式。

對通項公式的理解：不是所有的數(shù)列都有通項公式；同一個數(shù)列可

以有不同的通項公式；給我們數(shù)列的前幾項求數(shù)列的一個通項公式，答

案可能不唯一。

環(huán)節(jié)五作業(yè)

第5頁練習(xí)第1,2,3,4題。

【鞏固練習(xí)】

1+(-1)

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為為=---2---------，則該數(shù)列的前4項依次為()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.；,0,0D.2,0,2,0

答案A

2.若數(shù)列｛4｝滿足的=3",則數(shù)列｛喇是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

答案A

3.數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是（）

n（〃一1）

A.a”="—〃+1B.Q〃--2

n（H+1）

2

.afi2D.an=n+1

答案c

4.給出以下通項公式：

、巨.----------------[J2,〃為奇數(shù)，

①斯=個”一（一Di②為=3—（一1）”；③?！?彳3田%其中可以

210,〃為偶數(shù)，

作為數(shù)列吸，0,y/2,0,&0,…的通項公式的是（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

答案D

1719319^42

5.已知數(shù)列La7,5余7,p泉i，…,則㈱該數(shù)列的（）

A.第127項B.第128項

C.第129項D.第130項

答案B

二'填空題

6.323是數(shù)列｛〃（〃+2）｝的第項.

答案17

7.觀察數(shù)列的特點，用一個適當(dāng)?shù)臄?shù)填：1,小，小，巾，

y[Tl,

答