人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

離中政學(xué)知鑰點總儲

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合3廠a2,……，aj的所有子集的個數(shù)是2、

（2）若AgBoAnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）fl（CuB）,a（AnB）=（CuA）U（CuB）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式學(xué)3<0的解集為M,若3eM月一5eM,求實數(shù)a

x-a

的取值范圍。

a?3—5

（V3GM,???32\<0

=aw1,汕（9，25））

a?5—5

V5^M,A—....>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（人）和

“非”（「）.

若pAq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真,當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)

元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y=迎二2的定義域是

lg(x-3y-----------

(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定

義域是.

(答：[a,-a])

11.求個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1,則t>0

/.x=t2—1

.,.f(t)=e,2-1+t2-1

.'.f(x)=ex-l+x2-1(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(——對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

1+x(x>0)

如：求函數(shù)f(x)=|?I的反函數(shù)

-x2(X<0)

[x-1(x>l)

(答：fT(X)=\)

[-J-x(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域為A,值域為C,aeA,beC,則f(a)=bQL(b)=a

f-[f(a)]=f-l(b)=a,f[f-l(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),則y=f[(p(x)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f[(p(x)]為增函數(shù)，否則f[(p(x)]為減函數(shù)。)

2

如：求y=log1(-X+2x)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=—x?+2x,由u>0則0<x<2

且log]U),u=-(x-l)2+1,如圖：

當(dāng)xe(0,1]時，uT,又log]uJ,

2

當(dāng)xw[L2)時,uJ,又log〕uJ,Ay?

2

...)

6如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f'(x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f'(x)W0呢?

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=x3-ax在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f，(x)=3x?-a=3x+^^x>Q

則Y或X耒

由已知f(x)在[1,+8)上為增函數(shù)，則即aS3

，a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立Qf(x)為奇函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一

個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)=0。

如：若f(x)=a?—2為奇函數(shù),則實數(shù)a=

T+1-----------

(?.?f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,/.f(O)=O

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)xw(O,1)時，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令(—1,0),則一X￡(0,1),f(-x)=~~-

又f(x)為奇函數(shù)，，f(x)=J=——二

4-+11+4X

■2Xxe(-l,0)

-r(\-\4'+lx=0、

.乂f(0)—0f??f(x)—〈)

7X

-------XG(0,1)

[4X+1''

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實數(shù)T(THO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答:f(x)是周期函數(shù),T=2a為f(x)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點對稱

f(x)與ft(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

將y=fJ)圖象左移a(a〉。)個單位)丫=f(x+a)

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個單位：y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換：

f(x)一>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如:f(x)=log2(x+l)

作出y=|log2(x+l)|^.y=log2|x+的圖象

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwO)

kk

(2)反比例函數(shù)：丫=一代/0)推廣為丫=6+——化/0)是中心0日，b)

xx-a

的雙曲線。

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(awO)=a(x+2)+絲丁-圖象為拋物線

2\

一2片對稱軸Xb

(2a

4ac—h~

開口方向：a>0,向上，函數(shù)ymin=，

4a

八^-r-4ac-b2

a<0，向下，y=-----

tnax4a

應(yīng)用：①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系——二次方程

ax2+bx+c=0,A>0時，兩根x2為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax

一根大于k,一根小于kQf(k)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,a。

(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aH1)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎?

指數(shù)運算：a°=l(a^0),a-P=《(aH0)

ap

m___m〔

a"=Va^(a>0),a；=\=(a>0)

Vam

對數(shù)運算：logaM-N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga-^-=logaM-logaN,logaVM=-logaM

Nn

對數(shù)恒等式：a"g"X=x

10gcbn

對數(shù)換底公式：logab==>logb=—logab

logca"m

21.如何解抽象函數(shù)問題?

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

如:(1)xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t?t)

/.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

t)=f(t)...)

(3)證明單調(diào)性：f(x2)=f[(x2-xJ+Xj

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)

性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值:

(1)y=2x-3+J13-4x

2V7-4

(2)

.2x2

(3)x>3,y=^

(4)y=x+4+，9-x2(設(shè)x=3cos6,0e[0,兀])

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為。，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(/=|a|?R,S扇=-?R=Ja|?R2)

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

IT

如：若——<0<0,則sin。,cos。，tan。的大小順序是

8--------------

乂如：求函數(shù)y=J1-后cos(5-x)的定義域和值域。

(1-V2cos]-x))=1-72sinx>0

???sinx〈注，如圖：

2

yi

A2kit-y<x<2kn+(keZ),0<y<71+72

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對

稱軸嗎？

*y

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點為(k5，0),keZ

jrjr

y=sinx的增區(qū)間為2k兀一萬，2kK+—(keZ)

減區(qū)間為2101+5,2kit+(kGZ)

圖象的對稱點為(km0),對稱軸為x=kjt+5(keZ)

y=cosx的增區(qū)間為［2kjt,2k兀+K］(kGZ)

減區(qū)間為［2k兀+兀，2k兀+2兀］(kGZ)

圖象的對稱點為［k兀+^,0),對稱軸為x=k兀為EZ)

y=tanx的增區(qū)間為(k兀一￡,k兀+外keZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin?x+(p)的圖象和性質(zhì)要熟記。［或y=Acos?x+(p)］

(1)振幅IAI,周期T=?

Icol

若f(x0)=土A,則x=x0為對稱軸。

若f(Xo)=O,則(X。，0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令3x+(p依次為0,兀，弓，2兀，求出x與y,依點

(x,y)作圖象。

o)(X])+(p=0

如圖列出，兀

o)(x2)+(p=—

解條件組求3、①值

△正切型函數(shù)y=Atan(cox+(p),T=—

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的

范圍。

co(x+^V23兀

如:xe71,T'求*值。

2

za?3兀：.一+二兀〈5二兀,.兀5兀

(?兀<x<—,??Xd---=----/.x=—7t)

26636412

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？

如：函數(shù)y=sinx+sinlxl的值域是

(x20時，y=2sinxe[-2,2],x<0時，y=0,Aye[-2,2])

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

H=(h,k);p,x'=x+h

⑴點P(x,y)(xly'),則<

平移至y'=y+k

—>

(2)曲線f(x,y)=0沿向量a=(h,k）平移后的方程為f（x-h,y-k）=0

如：函數(shù)y=2sin12x-總-1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的

圖象？

(y=2sin(2x-1橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍：y=2sin2

左平移4個單位卜平珞I小吊帶

=2sin(x_￡)一1------------------->y=2sinx-]-—上」核】-也一y=2sinx

縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍

------------------------2----->y=sinx）

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana?cota=cosa,seca=tan—

4

.兀八

=sin—=cosO稱為1的代換。

2

“k'±a”化為a的三角函數(shù)“奇變，偶不變，符號看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

如：cos*+tan|

又如：函數(shù)y=smoc+tana,貝山的值為

cosa+cota

A.正值或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D,正值

.sina

Sina+*2

cosa^sina(cosa+l)^Q

Va^O)

co-；nicosacos2a(sina+1)

LV/nVA<I

sina

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降哥公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系:

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp——a->sin2a=2sinacosa

^^cos2a=cos2a-sin2a

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp

Go

tan(a±B)=.a±tan1

2cos2a-1=1-2sin2a=>

1+tana?tanp

1+cos2a

V-2cosa=---------

-2tana2

tan2a=---------

1-tan-a.1-cos2a

sin2a=---------

2

asina4-bcosa=7a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

a

sina+cosa=V2sin^a+—

sina+V3cosa=2sina+一

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含

三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如B=(a+|3)—a,%—可

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降塞公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

如：已知魯詈=1,tan(a-B)=-|,求tan(0-2a)的值。

.sinacosacosa1.1

(z由已知得：-----z—=------=1,..tana=-

2sin~a2sina2

,2

又tan(p-a)=—

2_1

??.tan(B-2a)=tan[(P-a)-a]==i)

32

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形?

i2.22

余弦定理：a2=b24-c2-2bccosA=>cosA=———-----

2bc

(應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。)

[a=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^=2R=，b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=-a?bsinC

A△2

,**A+B+C=71,***A+B=K-C

.A+BC

sin(A+B)=sinC,sin-=---c-o--s—

22

A+B

如AABC中，2sin?-------+cos2C=1

2

(1)求角C；

(2)若a2=b?+J,求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得:1-cos(A+B)+2cos2C-1=1

又A+B=K-C,/.2cos2C+cosC-1=0

/.cosC=2或cosC=-1(舍)

2

冗

又0<C<兀，AC=-

3

(2)由正弦定理及22=6?+4?2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=—

34

_3

1—cos2A—1+cos2B——

4

3

?\cos2A-cos2B=——)

4

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

兀71

反正弦:arcsinx€，xe[-L1]

22

反余弦:arccosxG[O,兀],xG[-1,1]

7171

反正切:arctanxexeR)

22.

34.不等式的性質(zhì)有哪些?

c>0=>ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>O=>ac>bd

(4)a>b>0=>-<-,a<b<0=>->-

abab

(5)a>b>0^an>bn,Va>Vb

(6)Ixl<a(a>0)<=>-a<x<a,lxl>a=x<-a或x>a

如：若工<工<0,則下列結(jié)論不正確的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.lal+lbl>la+blD.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,bGR+)；a+b>2Vab；abW(三上)求最值時，你是否注

意到“a,beR+”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

審2疝2熱a,beR+)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。

a24-b2+c2>ab+bc+ca(a,bGR)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。

a>b>0,m>0,n>0,則

bb+m.a+na

—<-------<1<-------<—

aa4-mb+nb

4

如：若x>0,2-3x--的最大值為

x-------------

(設(shè)y=2-(3x+&)W2—2衣=2—

當(dāng)且僅當(dāng)3x=&,又x>0,...xn迪時，ymax=2-4V3)

又如：x+2y=l,則2*+4，的最小值為

(V2X+22y>272x+2y=2A/F,.?.最小值為20)

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明1+二+4+?一+二<2

2232n2

(111

1+1+-V+.......+-V<i+-------1--------F.......+

2232n21x22x3(n-l)n

,,11111

1+1——+------++-----------

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式3>a(aH0)的一般步驟是什么?

g(x)

(移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：(x+l)(x-l)2(x-2)3<0

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

例如：解不等式lx-3l-|x+l|<l

(解集為卜lx>g})

41.會用不等式lai-lb兇a士bKlal+lbl證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f(x)=X?-x+13,實數(shù)a滿足lx-al<l

求證：|f(x)-f(a)|<2(lal+l)

證明：If(x)-f(a)l=l(x2-x+13)-(a2-a+13)l

=l(x-a)(x+a-l)l(vlx-al<1)

=lx-allx+a-ll<lx+a-ll

<lxl+lal+1

又Ixl-la隆lx-al<1,Ixl<lal+1

|f(x)-f(a)|<21al+2=2(lal+l)

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題)

如：a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立<=>a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立u>a>f(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x,若|x-3|+|x+2]>a恒成立，則a的取值范圍是

(設(shè)u=|x-3|+|x+2],它表示數(shù)軸上到兩定點-2和3距離之和

umin=3-(-2)=5,.,.5>a,即a<5

或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,/.a<5)

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：a.-an=d(d為常數(shù))，an=a(+(n-l)d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)歹!J=2A=x+y

”(a,+a?)nn(n-1)

前n項和S0=口一L=na,+△——

22

性質(zhì)：｛an｝是等差數(shù)列

(1)若m+n=p+q,則a?,+a1,=+aq；

(2)數(shù)列｛a2Z｝,｛a?」,｛ka_+b｝仍為等差數(shù)列；

S『S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等差數(shù)列；

(3)若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

(4)若a0,b”是等差數(shù)列L為前n項和，則==且包；

bmTzm-i

(5)｛a』為等差數(shù)列QSn=an2+bn(a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為

0的二次函數(shù))

Sn的最值可求二次函數(shù)Sn=ar+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、負(fù)分界

項，叫

當(dāng)為>0,d<0,解不等式組卜2°八可得S.達(dá)到最大值時的n值。

[an+1<0

當(dāng)為<0,d>0,由卜‘0可得s越到最小值時的n值。

[an+1>0

如：等差數(shù)列｛aj,Sn=18,an+an_j+an_2=3,S3=L貝tin=

(由a0+a-]+a0-2=3=>3an_1=3,Aa,,.,=1

「(a,+aJ1

又S3=-?3=3a2=1,?，?a2=§

??o———

n222

n=27)

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：=q（q為常數(shù)，qH0）,an=a^nT

a?

等比中項：x、G、y成等比數(shù)列nG?=xy,或G=歹

na,（q=1）

n

前n項和:Sn='a^i-q（要注意?。?/p>

（q/1）

l-q

性質(zhì)：｛aj是等比數(shù)列

⑴若m+n=p+q,則am?a”=?aq

（2）S?,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列

45.由S”求a”時應(yīng)注意什么？

（n=l時，a,=S],n?2時，an—Sn—Sn_1）

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：｛aj滿足+亍^2+.......+^7an=2n+5<1>

解：n=l時，—a,=2x1+5,.*.a,=14

21i

nN2時，ya1+^-a2+.......+而^^=2n—l+5<2>

<l>-<2>得：——a=2

2nn

Aa=2n+1

14（n=l）

.?an=<.

[2n+l（n>2）

[練習(xí)]

數(shù)列｛an｝滿足S0+$的=+的，a[=4,求a”

s

（注意到2用=5用一$?代入得：9=4

5n

n

又酬=4,，⑸｝是等比數(shù)列，Sn=4

n-1

n>2Ht.an=Sn-S^=3?4

(2)疊乘法

例如：數(shù)列｛a4中，a1=3,n,求a

ann+1

ea,a.a12n-1.a1

n一.........，??—n=一

a<a2a,-23nHjn

-3

又a1=3,/.a=—

nn

(3)等差型遞推公式

由2n=f(n),a,=a0,求a2用迭加法

n>2時,a2-Hj=f(2)

a3-a2-f(3),兩邊相加，得：

an-an-l=f(n).

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

.?.an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

［練習(xí)］

n_1

數(shù)列｛aj，a,=1,an=3+an_］(n>2),求a),

(4)等比型遞推公式

an=can_(+d(c>d為常數(shù)，c/0,cHl,dH0)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an+x=c(ai+x)

=>an=can_1+(c-l)x

令(c-l)x=d,x=—^―

c-1

是首項為由+3—,c為公比的等比數(shù)列

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj滿足a1=9,3an+l+an=4,求a。

(5)倒數(shù)法

2a

例如：a[=l,a=———,求a。

n+1n

'an+2

./._ZM1a_+211

由已知得：---=-----=一+—

a?+12an2an

j____L=1

^n+l2

.__L為等差數(shù)列，1=i,公差為L

lanjai2

.?.]=l+(n—1)?1=^(n+l)

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：(1)裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

n1

如：｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，求X」一

k=lakak+l

.11if11"

解：由------------------r=---------------(dW0)

'ak+1ak(ak+d)d1akak+l;

aa

k=lkk+lk=|d(akSk+|)

[練習(xí)]

求和：i+」一+——?——++-------5-----------

1+21+2+31+2+3+.......+n

1

(ans=2-)

nn+1

(2)錯位相減法:

若｛a“｝為等差數(shù)列，｛、｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a/J(差比數(shù)列)前n項

和，可由Sn-qSn求S/其中q為｛、｝的公比。

23n-1

如：Sn=l+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-1

x,Sn=x+2x+3x+4x+.....+(n-l)x+nx"<2>

2n-1

<1>-<2>：(l-x)Sn=1+x+x+.....+x-nx”

(l-xn)nx11

x，1時,

(1-X)2l-X

nn(n+1)

x=l時，Sn=1+2+3+.....+n=-------

2

(3)倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

Sn=a+2+……+ai+an］相加

S”=an+a“T+……+a2+aj

2Sn=(a,+an)+(a2+an_y)+……+(a]+an)....

[練習(xí)]

已知f(x)=，則f(l)+f(2)++f(3)+f(J+f(4)+=

(由f(x)+f(J=x2

-----=----1----=1

1+x21+(]l+X,l+x2

f⑵+州+「(3)+?+「(4)+0

，原式=f(l)+

=-+1+1+1=3-)

22

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為:

Sn=p(l+r)+p(l+2r)+........+p(l+nr)=pn+「....等差問題

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等額歸

還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一年)

后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利)，那么每期應(yīng)還

x元，滿足

p(l+r)n=x(l+r)n-1+x(l+r)"-2+.......+x(l+r)+x

l-(l+r)nx(l+r)f

i-O+O

??X-

(l+r)n-1

p——貸款數(shù)，I—利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(1)分類計數(shù)原理：N=m,+m2+.......+mn

(nij為各類辦法中的方法數(shù))

分步計數(shù)原理：N=m,?m2.......mn

(m,為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(m(n)個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A)

n

A>n(n-l)(n-2)(n-m+1)=T~x(m<n)

''(n-m)!v7

規(guī)定：O!=l

(3)組合：從n個不同元素中任取m(m〈n)個元素并組成一組，叫做從n個不

同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C：.

b=M=n(n-l)……(n-m+l)=n!

nA：m!m!(n-m)!

規(guī)定：C：=1

(4)組合數(shù)性質(zhì):

mr^n-m廠m.小m-1cm「°?C1?

Cn=Cn,C?+Cn=Q+|，G,+C?++C：=2n

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法：多元問題分類法；至多至少問

題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

*Y{89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)且滿足x1<x?WX3<，

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個分?jǐn)?shù)不相等，

□□□□

Xj<x2<x3<x4

有C；=5(種)

(2)中間兩個分?jǐn)?shù)相等

X,<x2=x3<x4

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,3種，...有10種。

.,?共有5+10=15(種)情況

51.二項式定理

nn-ln-22n-rr

(a+b)=C：a"+Cl1ab+C；ab+-+C>b+…+C：b"

二項展開式的通項公式：=C：aibr(r=0,1……n)

C：為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù))

性質(zhì)：

(1)對稱性：C：=Cr(r=0,1,2,……,n)

(2)系數(shù)和：C：+C；+???+《=2。

C：+C：+《+???=C：+C：+C+???=2n-'

(3)最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

"項，二項式系數(shù)為C、n為奇數(shù)時，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式

11n-1n+1

系數(shù)最大即第三項及第三+1項，其二項式系數(shù)為cF=cF

如：在二項式(x-l)”的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為(用數(shù)字

表示)

(Vn=ll

，共有12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第1絲7=6或第7項

2

由Chx?r(-l)r,...取r=5即第6項系數(shù)為負(fù)值為最小：

y=-C；]=-426

x2<)<,4

又如：(l-2x)""=a。+a]X+a?x2+....+a2(XMx(x€R),則

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+……+(a0+a2004)=(用數(shù)字作答)

(令x=0,得：a0=1

令x=l,得：a0+a2+...+a2004=1

二原式=2003a0+(a()+a1+...+a2004)=2003x1+1=2004)

52.你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

(1)必然事件Q,P(Q)=1,不可能事件。，P(<|))=0

(2)包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

(3)事件的和(并)：“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B

的和(并)。

(4)事件的積(交)：“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

(5)互斥事件(互不相容事件)：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

A,B=4)

(6)對立事件(互逆事件)：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立(逆)事件，A

AUA=Q,AQA=(j)

(7)獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立

事件。

A與B獨立，A與百，反與B,反與否也相互獨立。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

=A包含的等可能結(jié)果=m

，-一-次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)一片

(2)若A、B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互獨立，則P(A?B)=P(A)?P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生

k次的概率:P“(k)=C：pk(l-p)i

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品；

(2)從中任取5件恰有2件次品;

j一*:一10]

12一c：