第六章B單擺教案

4/44/4第六章B單擺在1581年，當(dāng)時(shí)年僅17歲的醫(yī)學(xué)院學(xué)生在進(jìn)行彌撒時(shí)，注意到了懸掛的蠟燭架在擺動(dòng)。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)被點(diǎn)燃的蠟燭被觸動(dòng)時(shí)，蠟燭架的擺幅會(huì)逐漸減小，最后停下來(lái)。伽利略心中產(chǎn)生了一個(gè)疑問(wèn)：蠟燭架每次擺動(dòng)所需的時(shí)間是否會(huì)越來(lái)越短？由于當(dāng)時(shí)還沒(méi)有秒表，他便通過(guò)數(shù)自己脈搏的方式來(lái)測(cè)量每次擺動(dòng)所花費(fèi)的時(shí)間。令他驚訝的是，盡管擺幅越來(lái)越小，但每次擺動(dòng)所需的時(shí)間基本保持不變。這種與擺動(dòng)幅度無(wú)關(guān)的周期特性被稱為擺的等時(shí)性。圖6-10展示了伽利略研究擺動(dòng)的比教堂(右側(cè)為比薩斜塔)。

回到家后，伽利略又將石頭系在繩子的一端，重復(fù)了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了相同的結(jié)果。后來(lái)，人們將這類擺稱為單擺。雖然有些科學(xué)史家認(rèn)為這個(gè)故事可能只是一個(gè)傳說(shuō)，但伽利略確實(shí)對(duì)單擺進(jìn)行了深入的研究。他還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的繩長(zhǎng)，無(wú)論是使用重石頭還是輕石頭，擺動(dòng)周期都是相同的。當(dāng)時(shí)，他正在學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)，因此根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)了一種脈搏儀，利用標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的單擺來(lái)測(cè)量患者的脈搏。這是他對(duì)醫(yī)學(xué)的最后一次貢獻(xiàn)。研究單擺和其他機(jī)械裝置徹底改變了他的興趣，使他改變了大學(xué)的學(xué)習(xí)方向，開(kāi)始研究數(shù)學(xué)和科學(xué)，從此走上了成為科學(xué)家的道路。一、單擺的振動(dòng)過(guò)程可以懸掛并擺動(dòng)的物體有很多種，其中最簡(jiǎn)單的一種是由一根輕柔的細(xì)線懸掛一個(gè)質(zhì)量遠(yuǎn)大于細(xì)線，但直徑卻比細(xì)線長(zhǎng)度小得多的小球。如圖6-11所示，當(dāng)細(xì)線的質(zhì)量和小球的尺寸可以被忽略不計(jì)時(shí)，我們就稱這樣的裝置為單擺。然而，需要指出的是，單擺只是一個(gè)理想的模型。單擺為何會(huì)發(fā)生振動(dòng)？我們首先對(duì)單擺進(jìn)行受力分析。當(dāng)質(zhì)量為m的擺球從平衡位置O移動(dòng)到B點(diǎn)(距離為一小段),此時(shí)懸線與豎直方向的夾角為α。放開(kāi)后，擺球始終受到重力mg和細(xì)線拉力T的作用。重力的一個(gè)分力F=mg*sinα沿著圓弧切線方向，指向平衡位置O;而在圓弧切線方向沒(méi)有分力。正是重力的分力F使擺球回到平衡位置，這個(gè)力就是使單擺振動(dòng)的回復(fù)力。在平衡位置O,回復(fù)力為零，擺球依靠慣性沿圓弧繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的回復(fù)力的作用。因此，單擺會(huì)在豎直平面內(nèi)不斷地沿著圓弧BC往復(fù)運(yùn)動(dòng)，完成振動(dòng)過(guò)程。單擺在振動(dòng)過(guò)程中，擺球的位移、速度、加速度、動(dòng)能、重力勢(shì)能都在不斷變化。擺球的位移由平衡位置指向擺球所在位置，加速度方向始終與位移方向相反，速度方向有時(shí)與位移方向相同，有時(shí)則相反。二、單擺的振動(dòng)圖象我們首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)展示單擺的振動(dòng)圖像。如圖6-12所示，將裝滿細(xì)沙的漏斗懸掛在支架上，在支架下方放置一塊硬紙板，其中心有一條直線OO?，漏斗處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)正好位于直線OO?的正上方。使漏斗在垂直于OO?的方向上自由擺動(dòng)，同時(shí)沿著OO?的方向勻速拉動(dòng)硬紙板。由于每個(gè)時(shí)刻都有細(xì)沙從漏斗中泄漏出來(lái)，因此落在硬紙板上的細(xì)沙會(huì)記錄下各個(gè)時(shí)刻漏斗的位置，形成一條曲線。裝有細(xì)沙的漏斗類似于單擺的擺球，這條由細(xì)沙繪制的曲線是通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接得到的單擺振動(dòng)圖像。在此基礎(chǔ)上，我們以橫軸t表示時(shí)間，縱軸x表示位移，可以繪制出更加抽象和詳細(xì)的單擺振動(dòng)圖像，如圖6-13所示。這就是單擺的位移-時(shí)間圖象，它描述了單擺運(yùn)動(dòng)中位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。圖6-12圖6-12圖6-13從單擺的振動(dòng)圖象中我們可以清楚地了解單擺振動(dòng)的振幅、周期、頻率以及任意時(shí)刻擺球的位移等。自主活動(dòng)在一個(gè)盛滿水的塑料瓶的底部開(kāi)一個(gè)小孔，讓細(xì)小水流從瓶中均勻漏出，用手中的繩吊起瓶，使其左右自由擺動(dòng)，同時(shí)勻速前進(jìn)，水流在地上留下的水跡也是振動(dòng)圖象。探究圖線形狀與瓶的擺動(dòng)快慢、人的前進(jìn)快慢有什么關(guān)系。三、單擺的振動(dòng)周期通過(guò)探索研究，我們還可以知道單擺只有在擺角很小的情況下，它的振動(dòng)周期才和振幅無(wú)關(guān)，如前所述，這種性質(zhì)我們叫做單擺的等時(shí)性，那么在擺角很小的情況下，單擺做怎樣的振動(dòng)呢？它的周期和哪些因素有關(guān)？自主活動(dòng)自制一個(gè)單擺，觀察單擺的振動(dòng)周期和振幅、擺球質(zhì)量是否有關(guān)。在圖6-11中，當(dāng)單擺的擺角很?。ú怀^(guò)5°）時(shí)，擺球的位移x和圓弧長(zhǎng)\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))”O(jiān)B很接近，設(shè)擺長(zhǎng)為l，則sinα≈α≈。于是，回復(fù)力F=mgsinα≈mgα≈mg=x。因?yàn)槭街校琺、g、l均為常數(shù)，可令k=。又因?yàn)榛貜?fù)力F的方向指向平衡位置，始終與位移x的方向相反，于是有因此在單擺擺角α小于5°，擺球所受回復(fù)力的大小與位移成正比，方向與位移相反，可知單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。荷蘭物理學(xué)家惠更斯（1629－1695）研究了單擺的振動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)單擺的振動(dòng)周期跟擺長(zhǎng)的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。并確定了如下單擺振動(dòng)的周期公式：T=2π。由于單擺的擺長(zhǎng)和周期比較容易測(cè)定，因此可以利用單擺周期公式比較精確地測(cè)出各地的重力加速度。大家談各種擺鐘的擺桿和擺錘是不是單擺？它為什么可以計(jì)時(shí)？如果擺鐘慢了，應(yīng)如何調(diào)節(jié)？學(xué)生實(shí)驗(yàn)用單擺測(cè)定重力加速度【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹坑脝螖[測(cè)出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取！緦?shí)驗(yàn)器材】單擺、停表、直尺、直徑已知的小球、鐵架臺(tái)等。【實(shí)驗(yàn)原理】由單擺周期公式可得g=4π2，測(cè)出l、T就可以計(jì)算重力加速度g?！緦?shí)驗(yàn)步驟】用單擺測(cè)定重力加速度的基本步驟如下：選取一個(gè)長(zhǎng)度約為的單擺，將擺線的上端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上，將鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌旁，使鐵夾伸出桌面，讓擺球自由下垂，如圖6-14所示。使用米尺測(cè)量懸線長(zhǎng)度l,精確到毫米，懸線長(zhǎng)度加上小球半徑即為擺長(zhǎng)；然后放開(kāi)小球讓它擺動(dòng)，使用停表測(cè)出單擺完成30～50次全振動(dòng)所用的時(shí)間。計(jì)算出平均擺動(dòng)一次所需的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間即為單擺的振動(dòng)周期。再根據(jù)單擺的周期公式，計(jì)算出重力加速度。改變擺長(zhǎng)，重復(fù)進(jìn)行幾次實(shí)驗(yàn)，計(jì)算出每次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的重力加速度。設(shè)計(jì)一個(gè)表格，將測(cè)得的數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果填入表格中。最后，計(jì)算幾次實(shí)驗(yàn)得到的重力加速度的平均值，即可作為本地區(qū)的重力加速度。圖6-14圖6-14圖6-15大家談在測(cè)定單擺周期時(shí)，可以從擺球通過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，也可以從擺球到達(dá)最大位移時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。你認(rèn)為哪一種方法好？為什么？本實(shí)驗(yàn)也可用DIS實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來(lái)做，其方法如下：通過(guò)使用DIS實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，我們可以將