專題提優(yōu)突破五　解析幾何

專題提優(yōu)突破五解析幾何解析幾何解答題考查的內(nèi)容包括:圓錐曲線的方程、直線與圓錐曲線等相關(guān)知識(shí),時(shí)常與三角、向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合,求解弦長(zhǎng)、面積等幾何特征量的最值和定值,知識(shí)點(diǎn)以綜合考查為主,不考單知識(shí)點(diǎn),注意模型識(shí)別,提高計(jì)算的速度與準(zhǔn)確率.考查的方法有:消元、換元、主元法,整體代換,等價(jià)替換,齊次變換,先猜后證,向量法,投影法,點(diǎn)差法等方法.還經(jīng)常運(yùn)用平面幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.考查的思想有:全面考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸思想;突出考查運(yùn)算能力,注重思維能力考查的同時(shí),更通過強(qiáng)化計(jì)算能力來區(qū)分不同水平的學(xué)生;全國(guó)卷一般不給圖形,需要自己畫圖,考查數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換能力.解析幾何解答題多為壓軸題,難度較大,考查的難點(diǎn)在于繁雜的運(yùn)算.解析幾何解答題的解題模式為:設(shè)參→聯(lián)立→消元→韋達(dá)定理→整體代入→求參(→用參).解題過程中,用到斜率時(shí)要注意斜率不存在或斜率為零情況的討論,不要遺漏特殊情形,不全會(huì)可以求特例,結(jié)果也很重要.求值問題求值問題一般是在給定條件下求弦長(zhǎng)、面積、斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何量或參數(shù)問題.求曲線方程與求值問題一般都比較簡(jiǎn)單或中檔難度,往往作為壓軸之前的鋪墊.典例1(2023·江蘇南通校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知A,B是橢圓C:x24+(1)若A為線段DM的中點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)設(shè)△DMN,△DAB的面積分別為S1,S2,若S1S2求值問題及處理策略(1)求值主要有求長(zhǎng)度、面積、角度、方程等類型;(2)方法是根據(jù)所給條件直接求解或列方程(組)求解,在解題過程中要注意幾何性質(zhì)的運(yùn)用.訓(xùn)練1已知橢圓C:x225+y2(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面積.定點(diǎn)問題典例2設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)且與橢圓C:x24+y2變式若例題中的其他條件不變,將“和為1”變?yōu)椤胺e為1”,直線l過定點(diǎn)嗎?訓(xùn)練2(2023·江蘇泰州統(tǒng)考一模)已知雙曲線C:x2a2y(1)求C的方程;(2)證明:以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).定值問題典例3已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程.(2)直線l:y=12x+t與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),已知點(diǎn)P(求解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題就是在“變”中尋求“不變”性,主要有兩大策略:(1)直接法:引入變量(設(shè)點(diǎn)或設(shè)直線等)法推理論證,選擇適當(dāng)?shù)淖兞?構(gòu)造要求值的函數(shù)(或方程),通過化簡(jiǎn)為定值(恒成立求出定值).(2)間接法:先找后證,即從特殊(或極端)入手→求出定值→證明這個(gè)值與變量無關(guān).訓(xùn)練3(2023·江蘇南通統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三個(gè)點(diǎn)在橢圓x22+y2=1上,橢圓外一點(diǎn)P滿足OP=2AO,BP=2(1)求x1x2+2y1y2的值;(2)證明:直線AC與OB斜率之積為定值.最值與范圍問題圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),主要涉及兩個(gè)類型:一是以圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)為背景的求最值問題;二是以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)、面積等知識(shí)為背景的求最值與范圍問題.典例4已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求AD·EB的最小值.求解圓錐曲線中最值與范圍問題的兩種方法圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:(1)代數(shù)法:把所求量表示成某個(gè)變量的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題;常轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)、分式函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù),然后利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、三角函數(shù)的有界性以及導(dǎo)數(shù)等方法求最值或范圍.一般會(huì)用到韋達(dá)定理整體代入、設(shè)而不求等思想方法.(2)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;根據(jù)所求量的幾何意義,運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值.訓(xùn)練4已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)M(2,0)的直線l(斜率不為零)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在點(diǎn)F,M之間),記λ=S△證明、探索性問題圓錐曲線中的證明問題,是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,主要有兩類:一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).探索性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型.若探究條件,則可先假設(shè)條件成立,再驗(yàn)證結(jié)論是否成立,若成立,則存在,否則不存在;若探究結(jié)論,則應(yīng)先寫出結(jié)論,再證明,往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.典例5(2023·江蘇無錫校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知曲線E:x26+(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),試問:△APB的內(nèi)心是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)求出該直線方程;若不是,請(qǐng)說明理由.證明與探索性問題的處理策略證明問題是恒成立問題,一般處理策略為:根據(jù)所給條件,運(yùn)用代數(shù)方法或相關(guān)的幾何性質(zhì),通過恒等變形或推理論證,得到確定的位置關(guān)系.探索性問題一般是存在性問題,處理策略為:(1)假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論在處理圓錐曲線中的探究問題時(shí),通常先假定所求的要素(點(diǎn)、線、圖形或是參數(shù))存在,并用代數(shù)形式進(jìn)行表示.再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析,若能求出相應(yīng)的要素,則假設(shè)成立;否則即判定不存在.(2)特殊化→找結(jié)論→再驗(yàn)證特殊化可以是特殊值、特殊點(diǎn)