福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分：考試時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前項(xiàng)和為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式,即可求解答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式:,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,是基礎(chǔ)題.2.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值是（）A.4 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】首先利用拋物線的定義，將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離解出p，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程即可解得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)镸到焦點(diǎn)距離為5，所以M到準(zhǔn)線的距離，即p=8，則拋物線方程為.將(1,m)代入得：，因?yàn)樗?故選：C.3.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.4.已知直線與直線，若直線與直線的夾角是60°，則k的值為（）A.或0 B.或0C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的傾斜角為120°，再求出直線的傾斜角為0°或60°，直接求斜率k.【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為120°.要使直線與直線的夾角是60°，只需直線的傾斜角為0°或60°，所以k的值為0或.故選：A5.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．6.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合的圖象即可求解．【詳解】解：由題意可知，函數(shù)是奇函數(shù)，令函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，函數(shù)的大致圖象如圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，使得成立的的取值范圍是，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7.已知橢圓與拋物線有相同焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，求得，設(shè)設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，利用勾股定理可求得，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】易知點(diǎn)或，所以，，即，將代入拋物線方程可得，則，設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，因?yàn)檩S，則，由橢圓的定義可得，所以，橢圓的離心率為.故選：C.8.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線方程可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，得到的軌跡方程為，即，可得，取，則，結(jié)合，可得，進(jìn)而求解.【詳解】由已知過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.以下四個(gè)命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)不同B.，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓上存在點(diǎn)滿足C.曲線的漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出雙曲線和橢圓方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或即可，根據(jù)橢圓上點(diǎn)的有界性判斷B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線漸近線方程公式求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)所在位置得到不等式，求出，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，雙曲線，即，焦點(diǎn)在軸上，由于，故其焦點(diǎn)為，，而橢圓，焦點(diǎn)在軸上，且，故焦點(diǎn)為，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，橢圓，則，，即，所以，，則，要使，則，即，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或即可，而橢圓上的點(diǎn)縱坐標(biāo)取值范圍為，則不存在點(diǎn)滿足，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；D選項(xiàng)，曲線，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列D.的前n項(xiàng)和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.存在唯一的點(diǎn)滿足D.存在點(diǎn)滿足【答案】AC【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點(diǎn)，可設(shè)，且，，進(jìn)而對(duì)BCD各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對(duì)于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然，只有時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共20分）13.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則_________.【答案】##【解析】【分析】借助等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】，由為正項(xiàng)數(shù)列，故，則，即，故，由，故，故.故答案為：.14.已知圓，若圓C與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，則__________．【答案】2【解析】【分析】首先通過的關(guān)系，得，然后根據(jù)圓的垂徑定理構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可求出半徑.【詳解】由題意知的圓心，半徑為r，圓心到y(tǒng)軸的距離為1，因?yàn)閳AC與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，，所以，由垂徑定理得，，即，解得．故答案為：2．15.長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)B到平面的距離為________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】解：在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為：，，令得：又點(diǎn)B到平面的距離為：.故答案：.16.圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：四、解答題17.設(shè)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；【答案】（1）；（2）極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別求解不等式和即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意知，，即切點(diǎn)為，又，所以，所以在處的切線方程為：，即；【小問2詳解】，令得；令得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為和，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，故函數(shù)有極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，.（1）求直線的方程；（2）記的外接圓為圓，求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）直線交軸于點(diǎn)，由題意可得為等邊三角形，故，可求直線的方程；（2）由可求的外接圓方程，幾何法求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【小問1詳解】（如圖）直線交軸于點(diǎn)，中，，所以，故，所以直線的方程為【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，即所以圓心半徑圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).注：方法二（2）設(shè)圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，可得，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).注：方法三（2）因?yàn)椋?，AB的中點(diǎn)為

所以的垂直平分線方程為：①，所以的垂直平分線方程為：②，由①②得，圓心為，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取計(jì)算得到，利用得到，得到通項(xiàng)公式.（2）確定，設(shè)，，相減計(jì)算得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，可得.故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】，則，兩邊都乘以，得，以上兩個(gè)式子相減，可得：，故.20.如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）證明：平面.（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在實(shí)數(shù)，理由見解析【解析】分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到，再由勾股定理逆定理得到，從而得到線面垂直；（2）作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由二面角的余弦值得到方程，求出答案.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)椋?，平面，且，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，平面，且，所以平?【小問2詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以為等邊三角形，故⊥，又平面，平面，所以，，故，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，故，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)面與面所成的銳二面角為，則，整理得，解得或（舍去）.故存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.21.已知橢圓：的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的中垂線與軸交于點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【解析】【分析】（1）由離心率，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最大值為和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)，與橢圓聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用弦長(zhǎng)公式可求得，并利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，由此可表示出方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，得到，化簡(jiǎn)可得定值；當(dāng)直線的斜率為時(shí)，易求得滿足所求定值；綜合兩種情況可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：，解得：，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，的中點(diǎn)為.聯(lián)立整理得：，由題意可知：，則，，.為的中點(diǎn)，，，即.直線的方程可設(shè)為，令得：，則，.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，，則.綜上所述：為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓