清單14 相似圖形基礎(chǔ)（3個(gè)考點(diǎn)梳理+14種題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單14相似圖形基礎(chǔ)（3個(gè)考點(diǎn)梳理+14種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點(diǎn)一比例線段比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比例的外項(xiàng)，b、c【補(bǔ)充】當(dāng)比例的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：第一條【考試題型1】理解成比例線段的概念1．（2023上·湖南衡陽·九年級衡陽市外國語學(xué)校?？计谥校┫铝懈鹘M線段中，是成比例線段的是（

）A．1cm,3cm,4cm,6cm． B．2cm,4cm,0.8cm,0.6cm．C．3cm,9cm,18cm,6cm． D．3cm,9cm,10cm,4cm．2．（2023上·陜西西安·九年級西安行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四組線段中，不成比例的是（

）A．3，9，2C．1，2，3．（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）已知線段b是線段a，c的比例中項(xiàng)，a=4cm，b=9cm，那么c=4．（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知線段a、b、c滿足a:b:c=2:3:4，且2a+b+c=22．(1)求a、b、c的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【考試題型2】圖上距離與實(shí)際距離1．（2023上·山西臨汾·九年級?？计谥校┰诒壤邽?:10000000的地圖上，A，B兩城市之間的距離為5cm，則這兩城市之間的A．0.5km B．5km C．50km2．（2023上·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期中）小紅的爸爸是汽車制造廠的工程師．他要將一個(gè)長4毫米、寬2毫米的零件畫在一張A3紙（42A．1∶80 B．80∶1 C．1∶800 D．800∶13．（2022下·九年級單元測試）在比例尺為1:100000的地圖上，若A，B兩地相距20km，則兩地的圖上距離為（

A．0.2cm B．2cm C．20cm4．（2022下·九年級單元測試）如圖，直線a是直線b沿著箭頭平移所得的像，如果直線a、b表示兩條公路，比例尺：1:16000，那么請你通過測量，判斷一下，公路a、b的實(shí)際距離約為（

）（精確到1m）A．224m B．208m C．240m【考試題型3】成比例線段的實(shí)際應(yīng)用1．（2023上·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，一塊矩形綢布的長AB=am，寬AD=2m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即AEAD=AD

2．（2021上·九年級課時(shí)練習(xí)）一塊三角形土地的一邊長為120m，在地圖上量得它的對應(yīng)邊長為0.06m，這邊上的高為0.04m，求這塊地的實(shí)際面積．考點(diǎn)二比例的性質(zhì)①基本性質(zhì)：a②變形：ab=③合、分比性質(zhì)：a【注意】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a④等比性質(zhì)：如果ab=⑤黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB【考試題型4】利用比例的性質(zhì)判斷式子變形正誤1．（2023上·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）已知ab=cA．a(chǎn)c=bd B．a(chǎn)+bb=2．（2023上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期中）下列比例式中(a、b、c、d都不等于0)，不能得到ad=bc的是（

）A．a(chǎn)b=cd B．dc=3．（2023上·安徽合肥·九年級階段練習(xí)）如果a2=bA．a(chǎn)+1b+1=34 B．b-ab=13 C．a(chǎn)b=23 D．a(chǎn)+bA．xy=45 B．xy=【考試題型5】利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值1．（2023上·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）已知四個(gè)數(shù)2，-3，4，x成比例，則x的值是（

）A．6 B．-6 C．32 D．2．（2023上·甘肅張掖·九年級?？茧A段練習(xí)）已知ab+c=ba+c=A．12 B．-1 C．12或-1 D．-3．（2023上·山西晉城·九年級統(tǒng)考期中）若線段a，b，c滿足ab=bc，且A．4 B．6 C．8 D．164．（2023上·山東青島·九年級山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校┮阎猘2=b3=c【考試題型6】利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值1．（2023上·四川巴中·九年級?？茧A段練習(xí)）如果x2=y3=z2．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┮阎猘b=cd=e3．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）已知xy=23，則4．（2023上·浙江·九年級期中）已知m-3nn=15．（2021上·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【考試題型7】理解黃金分割的概念1．（2023上·安徽六安·九年級?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP<BP，BP=10，則AP=．2．（2023上·上海楊浦·九年級期末）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么AP-BPBP的值為3.（2023上·山東青島·九年級青島大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，計(jì)算線段AB的黃金比ACAB

【考試題型8】黃金分割的實(shí)際應(yīng)用1．（2023上·安徽安慶·九年級校聯(lián)考期中）大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>PB），如果AP的長度為10cm，那么AB的長度是（

A．55+5 B．15-55 C．52．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）2023年第19屆杭州亞運(yùn)會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進(jìn)行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計(jì)借助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感．如圖，若點(diǎn)C可看做是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC<CB），AB=10cm，則BC=cm3．（2023上·四川成都·九年級石室中學(xué)校聯(lián)考期中）“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺的黃金分割點(diǎn)的位置會更自然得體．如圖，舞臺長AB=8米，C，D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若主持人從舞臺黃金分割點(diǎn)C走到另一個(gè)黃金分割點(diǎn)D，則主持人所走的路程CD的長為4．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在小提琴的設(shè)計(jì)中，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識，AC，BC，AB各部分長度的比滿足ACBC=BCAB=5-12，已知AB=565．（2023上·江西鷹潭·九年級統(tǒng)考期中）人體上半身長和下半身長的黃金比為0.618:1，這時(shí)人的身長比例看上去更美觀．某演員的身長情況如圖所示，她想通過穿高跟鞋使身長比例更美觀，于是她購買了一雙6厘米的高跟鞋．請依據(jù)“黃金比”判斷這雙高跟鞋的高度是偏高還是偏低？

考點(diǎn)三平行線分線的成比例平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似?！究荚囶}型9】由平行線分線段成比例判斷比例式正誤1．（2023上·安徽淮北·九年級淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，AB∥CD∥

A．ACCE=DFC．ACCE=AB2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考期中）如圖，△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC邊于點(diǎn)E，N是BC邊上一點(diǎn)，連接AN交DE于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AMAN=MECN B．ADBD=3．（2023上·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，DE∥BC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．ADAB=AEC．BDAB=ECAC D．ADAB=DE1．（2023上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖是一張橫格數(shù)學(xué)作業(yè)紙，紙中的橫線都平行，且相鄰兩條橫線間的距離都相等．線段AC在橫格紙上，與作業(yè)本的橫格交于點(diǎn)B．若AB=6，則AC的長是（

）A．9 B．12 C．14 D．152．（2023上·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，且DE∥BC，若AB=3BD，則CEACA．12 B．13 C．143．（2023上·浙江·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，已知AE=3,ADA．4 B．6 C．8 D．104．（2023上·甘肅張掖·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，若

【考試題型11】平行線分線段成比例（X型）1．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，直線a∥b∥c，直線AC分別交a，b，c于A，B，C；直線DF分別交a，b，c于D，E，F(xiàn)．若AB=2，AC=5，DE=3，則EF=（

）A．2 B．72 C．4 D．2．（2023上·海南儋州·九年級儋州市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=12，那么A．2 B．125 C．3 D．3．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:4，A．8 B．7 C．6 D．104．（2023上·山西長治·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD∥EF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，C，F(xiàn)和點(diǎn)B，D，E．若BDDE=2A．32 B．23 C．355．（2023上·河北邯鄲·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線a∥b∥c，另兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn).已知AB=3，BC=2，DE=6，則DF等于（A．10 B．11 C．8 D．46．（2023上·廣西·九年級?？计谥校┤鐖D，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、(1)如果EF=10，求DE、(2)如果AD=5,CF=12，求BE的長．【考試題型12】平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2021下·福建泉州·八年級泉州五中?？计谀窘滩某尸F(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊第77-78頁部分內(nèi)容：如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE//BC，且DE=1結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．證明：在ΔABC中，∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴AD∵∠A=∠A，∴ΔADE～ΔABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=【探究】如圖①，ΔABC中，點(diǎn)D、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、E在邊BC上．若DG//FE，求證：S四邊形【應(yīng)用】如圖②，ΔABC中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，D在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)H、G分別為線段DB、DC的中點(diǎn)，若SΔADC=5，則S【拓展提升】如圖③，在ΔABC中，D、E分別在邊BA、BC上．BDDA=BEEC=23，在線段DE上取一點(diǎn)F，（點(diǎn)F不與點(diǎn)D、E重合），連接BF并延長BF交AC于點(diǎn)G．點(diǎn)M、N在線段AC上，且AM=2EF2．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個(gè)定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個(gè)定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．求AFCF下面是該題的部分解題過程：解：如圖2，過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH=BDCD∵EF∥DH，…任務(wù)：(1)請補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過程．(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．分類思想

D．整體思想(3)請你換一種思路求AFCF【考試題型13】平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線4．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，CA上的點(diǎn)，且BD=CE，連接AD，BE交于點(diǎn)P(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)若AE:EC=5:3，求BP:PE的值；(3)若點(diǎn)P恰好落在以AC為直徑的圓上，求AE:EC的值．5．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？计谥校┤鐖D，已知D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，E為CB的延長線上的一點(diǎn)，且EFFD=AC

【考試題型14】平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線.1．（2023上·遼寧沈陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=15，BC=24．點(diǎn)P，Q分別為△ABC邊上的動點(diǎn)，動點(diǎn)P以每秒10個(gè)單位長度的速度，沿B-A-C路線向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，在邊CB上以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒t>0．

(1)AP=______，BQ=______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求時(shí)間t的值；(3)當(dāng)PQ=12時(shí)，請直接寫出此時(shí)時(shí)間t的值．2．（2021下·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．

(1)若CF=2，AE=3，求BE長；(2)證明：△EGC≌△DFC；(3)求證：∠CEG=1【提升練習(xí)】1．（2021下·廣東深圳·八年級深圳外國語學(xué)校?？计谀┮阎橇銓?shí)數(shù)a，b，c，d滿足abA．a(chǎn)d=cb B．a(chǎn)c=bd C2．（2020上·浙江寧波·九年級?？计谥校┮阎獂+2yy=125，則A．5:2 B．5:4 C．4:5 D．2:53．（2020下·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AB＜BC，若AC＝2，則BC的長為（）A．5+12 B．5-12 C．5+1 D4．如圖，已知AB?//?CD?//?EF，那么下列結(jié)論不正確的是（

）A．ADDF=BCCE B．BCCE=5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)G是△ABC的重心，過G的直線分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，則PBPA+QCQA6．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC的延長線上，AD為△ABC的外角的平分線，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，則AB的長為．7．（2011·云南曲靖·中考真題）已知△ABC中，DE//BC，EF//AB，AB＝3，BC＝6，AD:D