2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修1

PAGE函數(shù)模型的應(yīng)用舉例[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t改變的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．對(duì)數(shù)函數(shù)解析：由圖可知，該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型．答案：A2．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()答案：A3．用長(zhǎng)度為24m的材料圍成一個(gè)矩形家禽養(yǎng)殖場(chǎng)，中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，隔墻長(zhǎng)度應(yīng)為()A．3 B．4C．5 D．6解析：設(shè)隔墻長(zhǎng)度為xm，則矩形的一邊長(zhǎng)為xm，另一邊長(zhǎng)為eq\f(24－4x,2)m，∴S＝x·eq\f(24－4x,2)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18(0<x<6)∴當(dāng)x＝3時(shí)，S取最大值．故選A.答案：A4．某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費(fèi)用為P元，而賣出x噸的價(jià)格為每噸Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當(dāng)產(chǎn)量為150噸時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每噸的價(jià)格為40元，則有()A．a(chǎn)＝45，b＝－30 B．a(chǎn)＝30，b＝－45C．a(chǎn)＝－30，b＝45 D．a(chǎn)＝－45，b＝－30解析：設(shè)生產(chǎn)x噸產(chǎn)品全部賣出所獲利潤(rùn)為y元，則y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000，其中x∈(0，＋∞)．由題意知當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，此時(shí)Q＝40.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝35－\f(300,b)，,a＝40－\f(150,b)，))解得a＝45，b＝－30.答案：A5．生產(chǎn)某機(jī)器的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝x2－75x，若每臺(tái)機(jī)器售價(jià)為25萬元，則該廠獲利潤(rùn)最大時(shí)應(yīng)生產(chǎn)的機(jī)器臺(tái)數(shù)為__________臺(tái)．解析：設(shè)支配生產(chǎn)x臺(tái)，則獲得利潤(rùn)f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故當(dāng)x＝50臺(tái)時(shí)，獲利潤(rùn)最大．答案：506．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，則這兩個(gè)三角形面積之和的最小值為__________．解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4－x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)[(x－2)2＋4]≥2eq\r(3)cm2.當(dāng)x＝2cm時(shí)，Smin＝2eq\r(3)cm2.答案：2eq\r(3)cm27．某化工廠準(zhǔn)備投入一條新的生產(chǎn)線，但須要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)噸，但假如年產(chǎn)量超過150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．為愛護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是__________年．解析：由題意知，第一年產(chǎn)量為a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年產(chǎn)量分別為an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)－eq\f(1,2)n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5eq\r(2)?1≤n≤7，故生產(chǎn)期限最長(zhǎng)為7年．答案：78．為了愛護(hù)學(xué)生的視力，課桌椅的高度都是按肯定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的．探討表明：假設(shè)課桌的高度為ycm，椅子的高度為xcm，則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套其次套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)請(qǐng)你確定y與x的函數(shù)解析式(不必寫出x的取值范圍)；(2)現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？為什么？解析：(1)依據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)．將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝75，,37k＋b＝70.2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1.6，,b＝11，))所以y與x的函數(shù)解析式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入(1)中所求的函數(shù)解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以給出的這套桌椅是配套的．9．某種商品進(jìn)價(jià)每個(gè)80元，零售價(jià)每個(gè)100元，為了促銷擬實(shí)行買一個(gè)這種商品，贈(zèng)送一個(gè)小禮品的方法，實(shí)踐表明：禮品價(jià)值為1元時(shí)，銷售量增加10%，且在有盈利的條件下，禮品價(jià)值為n＋1元時(shí)，比禮品價(jià)值為n元(n∈N*)時(shí)的銷售量增加10%.(1)寫出禮品價(jià)值為n元時(shí)，利潤(rùn)yn(元)與n的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)禮品價(jià)值，以使商店獲得最大利潤(rùn)．解析：(1)設(shè)未贈(zèng)禮品時(shí)的銷售量為m，則當(dāng)禮品價(jià)值為n元時(shí)，銷售量為m(1＋10%)n.利潤(rùn)yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0<n<20，n∈N*)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解之得n≤9，所以y1<y2<y3<…<y9＝y(tǒng)10，令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8，所以y9＝y(tǒng)10>y11>…>y19，所以禮品價(jià)值為9元或10元時(shí)，商店獲得最大利潤(rùn)．[B組實(shí)力提升]1．某公司聘請(qǐng)員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,1.5x，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130解析：若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿意題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意．故擬錄用25人．答案：C2．“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時(shí)間，N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù)，則當(dāng)N＝40時(shí)，t＝__________.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)解析：當(dāng)N＝40時(shí)，則t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq\f(5,9)＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.答案：36.723．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震．地震專家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量．地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖可知a的值等于__________．(取lg2＝0.3進(jìn)行計(jì)算)解析：由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x＝1.6×1019時(shí)，y＝5.0，x＝3.2×1019時(shí)，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b①5．2＝alg(3.2×1019)＋b②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2024年初，新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民居?。捎谙掳肽晔芪飪r(jià)的影響，依據(jù)本地區(qū)的實(shí)際狀況，估計(jì)今后住房的年平均增長(zhǎng)率只能達(dá)到5%.(1)經(jīng)過x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬平方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并結(jié)合圖象，求經(jīng)過多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬平方米？解析：(1)經(jīng)過1年后，廉價(jià)住房面積為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過2年后為200(1＋5%)2；…經(jīng)