清單15 相似三角形的性質(zhì)與判定（3個考點梳理+17種題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單15相似三角形的性質(zhì)與判定（3個考點梳理+17種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一相似三角形的判定判斷定理一：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若ABA'B'【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運用勾股定理計算出三邊的長度，再看對應(yīng)邊的比例是否相等.判斷定理二：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似.即：若ACA'C'=BC判斷定理三：兩個角分別相等的兩個三角形相似.

即：若∠C=∠C'，∠B=∠判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.即：在Rt△若ABA'B則Rt【考試題型1】添加條件使兩個三角形相似1．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）在Rt△ABC和Rt△A'B'CA．∠A=∠A' B．ACA'C'2．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點P在△ABC的邊AC上，添加一個條件可判斷△ABP～△ACB，下列不滿足的條件是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APBP=AC3．（2023上·河北保定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，添加下列一個條件，不能判斷△ABD與△ABC相似的是（

）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．ABAC=AD4．（2023上·廣西百色·九年級統(tǒng)考期中）如圖示，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，能判定△ABC∽△ADE的是（請?zhí)顚懶蛱枺佟螪=∠B②∠C=∠AED③ABAD=5．（2019·黑龍江佳木斯·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，E,F,G是正方形ABCD邊上的點，添加一個條件，使ΔEBF∽ΔFCG(填一個即可)．【考試題型2】根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩個三角形相似1．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．

2．（2023上·北京通州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點O．

(1)寫出一個與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個三角形是______；(2)請任選一對進行證明．【考試題型3】確定相似三角形的對數(shù)1．（2021上·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD、CE分別是△ABC的邊BC、AB上的高，那么圖中相似三角形的對數(shù)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．62．（2022上·河南洛陽·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021下·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點D剛好落在BC上時，連接CE，設(shè)AC、DE相交于點F，則圖中相似三角形的對數(shù)是（

）．A．3對 B．4對 C．5對 D．6對4．（2023上·江蘇南通·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【考試題型4】證明兩個三角形相似1（2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點D在△ABC邊BC上，點E在△ABC外，∠BAD=(1)求證：△ABC∽△ADE．(2)若AD=4，AB=5，BC=8，求DE的長．2．（2023上·湖南常德·九年級校聯(lián)考期中）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，過點A作AE⊥AC交CB的延長線于點E，求證：∠E=∠ACD．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，（1）中的其它條件不變，點M，N分別是BD，EC的中點，連接AN，

①求證：AE=AC﹔②求證：△ABE∽△AMN．3．（2023上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上．求證：△ABC∽△DEF．

4．（2023上·廣西桂林·九年級校考期中）在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以點A為直角頂點作等腰Rt△ADE．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且(1)求證△ABD∽△DFE(2)若CE=5，求CD5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上．

(1)∠ABC=___________°；(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由．6．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，AB=3AD，AC=3AE．(1)求證：△ADE∽△ABC；(2)如果△ADE的面積為10，則四邊形BCDE的面積為______．【考試題型5】找網(wǎng)格中的相似三角形1．（2023上·陜西西安·九年級西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形的頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，則與△ABC相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023上·上海普陀·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），點D、E、F、

A．以點A、B、D為頂點的三角形C．以點A、B、F為頂點的三角形3．（2023上·河北保定·九年級保定市第十七中學(xué)校考期中）如圖是由40個邊長為1的等邊三角形組成的網(wǎng)格圖，△ABC的三個頂點和線段DE的兩個端點都在等邊三角形的頂點上，若點F也在等邊三角形的頂點上，能使△DEF與△ABC相似的點F有（

）個．

A．2 B．3 C．4 D．64．（2022上·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點二相似三角形的性質(zhì)1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.【考試題型6】利用相似三角形的性質(zhì)求解1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=4，則△ABC與△DEF的周長比值是（

）A．2 B．4 C．13 D．2．（2023上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期中）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三邊長分別為3、5、6，△DEF的最短邊長為9，那么△DEF的周長等于（

）A．4 B．1265 C．21 D．3．（2023上·廣東佛山·九年級校聯(lián)考期中）兩個相似三角形的相似比為1:2，較小的三角形的面積為4，則另一個三角形的面積為（

）A．2 B．8 C．16 D．14．（2023上·湖南常德·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，若點D，E分別是AB，AC的中點，則△ADE與四邊形BCED的面積比為（

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．3:45．（2023上·四川成都·九年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤簟鰽BC與△DEF相似，且對應(yīng)邊之比2:3，則△ABC與△DEF的面積比為（

）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:256．（2023上·福建莆田·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點O．若BOOC=2

7．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第二十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，連接AC，其中AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC，(1)求AB的長；(2)求CD的長；(3)求∠BAD的大小；【考試題型7】利用相似求坐標(biāo)1．（2023上·山東青島·九年級青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，點A、B、C、D的坐標(biāo)分別是1,0、5,0、①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④2．（2022上·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A-4,0，B0,2，連接AB并延長到點C，連接CO，若△COB∽△CAO，則點C的坐標(biāo)為3．（2022上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△OAB，點A的坐標(biāo)為a,a，點B的坐標(biāo)為b,0．若a，b的值是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，且(1)直接寫出a=___________，b=___________(2)若點P在y軸上，且△POA∽△AOB，求點P的坐標(biāo)．4．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）直線y＝kx+b與反比例函數(shù)y=6x（x＞0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點C和點（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是x軸上一動點，當(dāng)△COD與△ADP相似時，求點P的坐標(biāo)．5．（2023上·山西運城·九年級山西省運城市實驗中學(xué)?？计谥校┚C合與探究：如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=k2x交于A，B兩點，與兩坐標(biāo)軸分別交于C，D兩點，其中(1)求y1(2)反比例函數(shù)L是否存在一點P，使得3S△POD=(3)在y軸上是否存在一點M，使得△MDC與△ODB相似？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考試題型8】在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形1．（2023上·上海長寧·九年級上海市婁山中學(xué)?？计谥校┰诿總€小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知△ABC是4×6的網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與△ABC相似的格點三角形中，最大的三角形面積是．

2．（2023上·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，△ABC的頂點都在格點上．

(1)畫格點三角形△A'B'C'，(2)利用格點在邊AB上求作M、N兩點，使得CM、CN將3．（2023下·吉林長春·九年級校考開學(xué)考試）圖①、圖②為4×6的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在格點上，在圖①、圖②中各畫一個與△ABC相似的三角形，所畫三角形頂點都在格點上，且有一個頂點為點B：所畫三角形與△ABC不全等，且彼此之間也不全等．

考點三相似三角形性質(zhì)與判定綜合【考試題型9】尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運用1．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點D，使△ACD∽△CBD（

）A．B．C．D．2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以點A為頂點作三角形（陰影部分），使這個三角形與△ABC相似，且相似比為1:2，根據(jù)下列選項圖中標(biāo)注的條件，不符合要求的作圖是（

）A． B．C． D．3．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D．

(1)在斜邊BC上求作點E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB=6，BE=8，求DE的長．【考試題型10】三角板與相似三角形綜合運用1．（2023上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°），AD=BC，頂點A重合，將△ADE繞其頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（不添加輔助線），以下4種位置不存在相似三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊AC上，且AD=3，將含30°角的直角三角板∠F=30°繞直角頂點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交邊AB、BC于P、Q，連接PQ，當(dāng)EF∥PQ時，DQ的長為（

）

A．6 B．39 C．213 D．3．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）【問題背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動點，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）如圖1，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，以下結(jié)論正確的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP相似嗎？請說明理由；【用數(shù)學(xué)的語言表達】（3）在（2）的條件下，動點P運動到什么位置時，△BPE∽△PFE？說明理由．

4．（2023上·山西臨汾·九年級?？计谥校┚C合與探究問題解決如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，過點C作CD⊥AB于點D，小明把一個三角板的直角頂點放置在點D處，兩條直角邊分別交線段AC于點E，交線段BC于點F，在三角板繞著點D旋轉(zhuǎn)的過程中，若點E是AC的中點，則點F也是BC“陽光”小組的解答是：若點E是AC的中點，則點F也是BC的中點．理由如下：∵CD⊥AB于點D，∠ADC=90°．∵點E是AC的中點，∴ED=CE=EA．∵∠A=30°，∴∠ACD=60°．∴△CDE是等邊三角形．∴∠CDE=60°，∴∠CDF=∠DCF=90°-60°=30°．∴FC=FD．又∵∠B=∠FDB=90°-30°=60°，F(xiàn)B=FD．∴FC=BF．即若點E是AC的中點，則點F也是BC的中點．反思交流（1）“群星”小組認(rèn)為在這個題中，可以去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變（如圖2），若點E是AC的中點，則點F也是BC的中點．請你根據(jù)條件證明這個結(jié)論；拓廣探索（2）去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過程中，若DE⊥AC（如圖3），那么等式AEC（3）去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變．若點E是AC上任意一點（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．5．（2022上·安徽·九年級校聯(lián)考期中）已知：∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分線，點P在CD上，CP=2.將三角板的直角頂點放置在點P處，繞著點P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線CB交于點E，另一條直角邊與直線CA，直線CB分別交于點F，點G(1)如圖1，當(dāng)點F在射線CA上時，①求證：PF=PE；②設(shè)CF=a0<a<1，試求CG的值（用含a(2)如圖2，點F在AC延長線上，連接EF，當(dāng)△CEF與△EGP相似時，求EG的長.【考試題型11】裁剪與相似三角形綜合運用1．（2023下·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠A=68°,AB=8,AC=4，將△ABC沿圖中的線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①③④2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，將△ABC沿著DE剪成一個小三角形ADE和一個四邊形D'E'CB，若DE∥BC四邊形DA． B． C． D．3．（2022上·江西吉安·九年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AM，AN，連接1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點E，F(xiàn)，連接EF，如圖剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．(1)∠MAN=______°，寫出圖中兩個等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段BE，EF，(3)連接正方形對角線BD，若圖2中的∠EAF的邊AE，AF分別交對角線BD于點G、點H．如圖3，求【考試題型12】平移與相似三角形綜合運用1．（2022下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點的坐標(biāo)分別為A0,3，B-1,0，C4,0，D5,3，現(xiàn)將四邊形ABCD經(jīng)過平移后得到四邊形A'B'

(1)請直接寫點A'，C'，(2)求四邊形ABCD與四邊形A'(3)在y軸上是否存在點P，連接PB，PC，使S△PBC=S4．（2021上·湖北省直轄縣級單位·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，△ABC與△DEF是將△ACF沿過A點的某條直線剪開得到的（AB，DE是同一條剪切線）．平移△DEF使頂點E與AC的中點重合，再繞點E旋轉(zhuǎn)△DEF，使ED，EF分別與AB，BC交于M，N兩點．(1)如圖②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，則線段EM與EN有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；(2)如圖③，△ABC中，若AB＝BC，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由；(3)如圖④，△ABC中，若AB：BC＝m：n，探索線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考試題型13】折疊與相似三角形綜合運用1．（2023上·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．

(1)如圖1，若AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，求CE的長與(2)如圖2，將邊AC折疊，使得AC在AB邊上，折痕為AM，再將邊MB折疊，使得MB'與MC'重合，折痕為2．（2023上·陜西西安·九年級西安市第三中學(xué)校考期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．問題情境：在?ABCD中，點P是邊AD上一點，將△PDC沿直線PC折疊，點D的對應(yīng)點為E．?dāng)?shù)學(xué)思考：(1)“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點P與點A重合，過點E作EF∥AD，與PC交于點F，連接DF，則四邊形AEFD是拓展探究：(2)“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當(dāng)點P為AD的中點時，延長CE交AB于點F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說明理由；問題解決：(3)“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當(dāng)點E恰好落在AB邊上時，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的長．

3．（2023上·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內(nèi)部的點M處，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，請寫出圖中的一個45°角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕AE上的點N處，連接NF交AM于點P．①∠AEF=______度；②若AB=3，求線段PM(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE，AF折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為CD的三等分點，AB=3，AD=5，請直接寫出線段1．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一點，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．求圖22．（2023上·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是邊AC上一點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E①若AD=5，求線段DE的長度．②若點D是邊AC上任意一點，請判斷DEAD（2）如圖2，四邊形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，點D（3）如圖3，在（1）的條件下，AD=5，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，當(dāng)點AN⊥AC時，請直接寫出線段MC的長．【考試題型14】利用相似三角形性質(zhì)與判定求線段比值1．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一點，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．求圖22．（2023上·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是邊AC上一點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E①若AD=5，求線段DE的長度．②若點D是邊AC上任意一點，請判斷DEAD（2）如圖2，四邊形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，點D（3）如圖3，在（1）的條件下，AD=5，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，當(dāng)點AN⊥AC時，請直接寫出線段MC的長．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1D1O九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，PAPC=k（

【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N①填空：k=______；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM?△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN=45°，延長NP交邊CD于點E，若EN=kPN，求k的值．4．（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：(1)【圖形認(rèn)知】如圖①，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于點G，則AFDE=(2)【探究證明】如圖②，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點E、F，GH分別交AB、DC于點G、H，求證：EFGH(3)【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點B和點D重合，若AB=2，BC=3，則折痕EF的長；(4)【拓展運用】如圖④，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，點M、N分別在邊BC、AB上，則DNAM的值為【考試題型15】利用相似三角形性質(zhì)與判定求最值1．（2023上·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長為10，△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，點E是AD邊的動點，點F在AB邊上，當(dāng)點E在線段AD上移動時（點E不與A、D重合），設(shè)AE=x，△BCF的面積為y．

(1)當(dāng)點E在線段AD上移動時，△CDE與△EAF的關(guān)系會不會發(fā)生變化？請簡要說明理由；(2)用含有x的代數(shù)式表示y；(3)當(dāng)點E運動到什么位置時，△BCF的面積有最值？最值是多少？2．（2022上·四川攀枝花·九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題，閱讀材料，解決問題：配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，并在此基礎(chǔ)上得出了一元二次方程的求根公式．其實配方法還有很多重要的應(yīng)用，例如我們可以用配方法求函數(shù)的最值以及取得最值的條件，見下面的例子：例：求函數(shù)y=-x解：y=-∵x+322≥0，∴-x+∴y的最大值為174，此時x+32仿照上面的方法，請你解決下面的問題：(1)已知函數(shù)y=-2x2-8x+1，當(dāng)x=______(2)如圖，在△ABC中，BC=20，高AD=16，內(nèi)接矩形EFGH的頂點E、F在BC上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HG=x，矩形EFGH的面積為y，求：①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②矩形EFGH的面積的最大值．【考試題型16】利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點問題1．（2023下·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，OA=8cm,OC=6cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從點O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以4cm/s的速度勻速運動，Q在線段2．（2023上·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接(1)當(dāng)動點運動時間t=秒時，△BDE與△ABC(2)在運動過程中，當(dāng)CD⊥DE時，t為何值？請說明理由．3．（2020·四川綿陽·統(tǒng)考二模）△ABC中，BC=12，高AD=8，矩形EFGH的一邊GH在BC上，頂點E、F分別在AB、AC上，AD與EF交于點M．(1)求證：AMAD(2)矩形EFGH可以為正方形嗎?若能，請求出正方形的面積，若不能，請說明理由；(3)設(shè)EF=x，EH=y，設(shè)矩形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最值．【考試題型17】利用相似三角形性質(zhì)與判定解決存在性問題1．（2023上·海南儋州·九年級儋州市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，有兩動點P、Q分別在邊AB、BC上運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，它們分別從點A和點B同時出發(fā)，點P沿線段AB按A→B方向向終點B運動，點Q沿線段BC按B→C方向向終點C運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為(1)如圖1，當(dāng)t為何值時，PQ∥AC；(2)當(dāng)t為何值時，以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似；(3)點P、Q在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PCQ的面積等于4？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．2．（2022上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點P沿BA邊從點B開始向點A以1cm/s的速度移動；點Q沿AD邊從點交于點O．如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0≤t≤3).那么：(1)求證：△ABQ∽△BCP；(2)證明：在運動過程中，不論t取何值，總有CP⊥BQ；(3)連接CQ，PQ在運動過程中，是否存在某一時刻，使得SΔ【提升練習(xí)】1．（2023下·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知△ABC∽△A1B1C1，若S△ABCA．1 B．4 C．8 D．162．（2023上·廣東廣州·九年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學(xué)校?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在AB邊上由點A向點B運動（不與點A，點B重合），過點E作EF垂直AB交直角邊于F．設(shè)AE=x，△AEF面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B．C． D．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72°

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對4．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）根據(jù)下列條件，能判定△ABC和△DEF相似的個數(shù)是（）（1）∠ABC=35°，∠ACB=75°，∠EDF=80°，∠DEF=35°；（2）AB=3，BC=2，∠ABC=30°，DE=6，EF=4，∠EDF=30°；（3）AB=2，BC=3，AC=4，DE=12，EF=1（4）AB=6，CB=2，AC=2，DE=3，EF=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023下·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△A'B'C'由△ABC沿射線AB方向平移得到，A'C'與BC交于點G，已知△ABC的邊BC=4A．4 B．6 C．8 D．106．（2023·山東日照·日照市田家炳實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，AB=6，AE=13AB，點F在AD上運動（不與A，D重合）過點F作FG⊥EF交CD于點GA．4.5 B．4 C．3.5 D．37．（2023·遼寧遼陽·遼陽市第一中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，菱