廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三8月入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

高三數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合，則（）A．B．C．D．2．若,則（）A．B．13C．5D．253．若函數(shù)的最小正周期不小于，則（）A．的最小值為B．的最大值為C．的最小值為D．的最大值為4．若兩個等比數(shù)列的公比相等，且,則的前6項和為（）A．B．C．124D．2525．若離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為,右頂點為A,則（）A．B．C．D．6．若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則．為了解使用新技術(shù)后的某果園的畝收入（單位：萬元）情況，從該果園抽取樣本，得到使用新技術(shù)后畝收入的樣本均值,樣本方差．已知該果園使用新技術(shù)前的畝收入X（單位：萬元）服從正態(tài)分布,假設(shè)使用新技術(shù)后的畝收入Y服從正態(tài)分布,則（）A．B．C．D．7．曲線的周長為（）A．B．C．D．8．若,則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某部門30名員工一年中請假天數(shù)（未請假則請假天數(shù)為0）與對應(yīng)人數(shù)的柱形圖（圖中只有請假天數(shù)為0的未顯示）如圖所示，則（）A．該部門一年中請假天數(shù)為0的人數(shù)為10B．該部門一年中請假天數(shù)大于5的人數(shù)為10C．這30名員工一年中請假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4D．這30名員工一年中請假天數(shù)的平均數(shù)小于410．已知函數(shù),則（）A．為奇函數(shù)B．在上為增函數(shù)C．曲線的切線的斜率的最大值為2D．曲線上任意一點與兩點連線的斜率之和為定值11．若S,T為某空間幾何體表面上的任意兩點，則這兩點的距離的最大值稱為該幾何體的線長度．已知圓錐的底面直徑與線長度分別為2,4，正四棱臺的線長度為6,且,則（）A．圓錐的體積為B．與底面所成角的正切值為3C．圓錐內(nèi)切球的線長度為D．正四棱臺外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若,則__________．13．已知直線與橢圓相交，則C的長軸長的取值范圍是__________．14．如圖，現(xiàn)有兩排座位，第一排3個座位，第二排5個座位，將8人（含甲、乙、丙）隨機安排在這兩排座位上，則甲、乙、丙3人的座位互不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率為__________．15．（13分）在中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，且．（1）若,且的面積為，求A;（2）若,求．16．（15分）已知是拋物線上的兩點．（1）求C的準線方程；（2）若直線經(jīng)過C的焦點，且與C交于P,Q兩點，求的最小值．17．（15分）如圖，在直三棱柱中，D為的中點．（1）證明：平面．（2）若,求二面角的余弦值．18．（17分）在圖靈測試中，測試者提出一個問題，由機器和人各自獨立作答，測試者看不到回答者是人還是機器，只能通過回答的結(jié)果來判斷回答者是人還是機器．提出的問題是選擇題，有3個選項，且只有1個是正確選項，機器和人分別從這3個選項中選擇1個進行作答．當機器和人中只有一個回答正確時，則將對的一方判斷為人，另一方判斷為機器；當機器和人都回答正確或者都回答錯誤時，測試者將再問同一個問題（重復(fù)提問），若兩者都回答正確或者都回答錯誤，則測試者將從機器和人中隨機選擇一個判斷為人，若兩者僅一方回答正確，則判斷回答正確的一方為人．假設(shè)人作答時能排除一個明顯錯誤的選項，剩下每個選項被選的概率相等，而機器無法排除選項，每個選項被選的概率相等，當測試者重復(fù)提問時，人改變選項的概率為，機器改變選項的概率為．（1）求1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問的概率；（2）在測試者重復(fù)提問且機器改變選項的前提下，求測試者誤判的概率．19．（17分）已知二階行列式,三階行列式,其中分別為的余子式（某個數(shù)的余子式是指刪去那個數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計算．（2）設(shè)函數(shù)．（i）若的極值點恰為等差數(shù)列的前兩項，且的公差大于0，求;（ii）若且,函數(shù),證明：．

高三數(shù)學(xué)參考答案1．A【解析】本題考查集合的交集，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，因為,所以．2．C【解析】本題考查復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的模，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．由,得且,解得，則3．D【解析】本題考查三角函數(shù)的周期，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因為,所以，解得．4．B【解析】本題考查等比數(shù)列，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．由，得的公比，所以的公比為，則的前6項和為．5．C【解析】本題考查雙曲線的離心率與平面向量，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．依題意可得，所以．因為與同向，所以．6．D【解析】本題考查正態(tài)分布，考查應(yīng)用意識以及邏輯推理的核心素養(yǎng)．依題可知，,所以,故．因為,所以，所以．7．C【解析】本題考查圓的方程，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．由,得,即，即或,所以曲線C表示兩個同心圓，且這兩個圓的半徑分別為，所以曲線C的周長為．8．A【解析】本題考查兩角和與差的正切公式，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．因為，所以,故．9．ACD【解析】本題考查統(tǒng)計，考查數(shù)據(jù)處理能力．該部門一年中請假犬數(shù)為0的人數(shù)為，A正確．該部門一年中請假天數(shù)大于5的人數(shù)為，B錯誤．因為，且請假天數(shù)為0的人數(shù)為10,請假天數(shù)為4的人數(shù)為6，所以這30名員工一年中請假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4，C正確．這30名員工一年中請假天數(shù)的平均數(shù)為,D正確．10．ABD【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．因為的定義域為，且,所以為奇函數(shù)，A正確．在上為增函數(shù)，B正確．當時，，則曲線的切線的斜率小于2，C錯誤．設(shè)曲線上任意一點為,則,則,D正確．11．BC【解析】本題考查空間幾何體的新概念、體積、線面角以及外接球的表面積，考查空間想象能力與直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．因為圓錐的底直徑與線長度分別為2,4，所以圓錐的母線長為4，高為，則圓錐的體積為，A錯誤．設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為r,則，解得，所以圓錐內(nèi)切球的線長度為,C正確．因為,所以,所以．過A,C作的垂線，垂足分別為E,F,則,所以，則．與底面所成的角為,且,B正確．設(shè)正四棱臺外接球的半徑為R,球心為N,設(shè)正四棱臺上、下底面的中心分別為,則，且N在上．設(shè),由,得，解得，則正四棱臺外接球的表面積為，D錯誤．12．8【解析】本題考查對數(shù)的運算，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．因為,所以．13．【解析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓的長軸長，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．將代入，得,則,解得．因為C的長軸長為,所以C的長軸長的取值范圍是．14．【解析】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識與分類討論的數(shù)學(xué)思想．甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的情況分為三種：第一種，這3人都在第二排，共有種不同的安排方法；第二種，這3人中1人在第一排，2人在第二排，共有種不同的安排方法；第三種，這3人中2人在第一排，1人在第二排，若第二排的這1人安排在中間的位置，則有種不同的安排方法，若第二排的這1人不安排在中間的位置，則有種不同的安排方法．故甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的概率為．15．【解析】本題考查解三角形與平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．解：（1）因為,所以,2分又,所以，3分所以的面積，4分則，因為，所以或．6分（2）因為,所以,所以．7分由余弦定理得,8分因為,所以或,9分又,所以,所以,10分所以．13分評分細則：【1】第（1）間中，未寫“”,但得到或，不扣分；若得到后只寫了,扣1分．【2】第（2）問中，由及,得,不扣分．16．【解析】本題考查直線與拋物線、基本不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．解：（1）因為是拋物線上的兩點，所以2分則，整理得,解得．4分當時，,解得，不合題意；5分當時，,解得．6分故C的準線方程為．7分（2）由（1）知C的焦點為，8分聯(lián)立得．9分設(shè),則，10分所以，12分所以,13分當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為．15分評分細則：【1】第（1）問中，C的準線方程還可以寫為，第（2）問中，未寫取等條件扣1分．【2】第（2）問中，也可以用弦長公式求得，不扣分．17．【解析】本題考查立體幾何與空間向量的綜合，考查空間想象能力與數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．（1）證明：連接交于點E,1分則E為的中點．2分連接．因為D為的中點，所以,3分又平面平面,所以平面．5分（2）解：取的中點O,連接．因為,所以,且．7分以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則,8分所以．9分設(shè)平面的法向量為，則10分令,得．11分易知平面的一個法向量為．12分．13分由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．15分評分細則：【1】第（1）問還可以先證明平面平面,再證明平面,閱卷時，請按照步驟給分．【2】第（2）問中，兩個平面的法向量均不唯一，只要與對應(yīng)法向量共線即可．【3】第（2）問還可以用這樣的方法求解：取的中點O,連接．依題意可得四邊形為正方形．6分因為,所以,7分且．8分在直三棱柱中，底面,則．9分因為,所以平面．10分取的中點F,連接,則．11分易證,12分所以為二面角的補角．13分因為,所以，14分所以二面角的余弦值為．15分18．【解析】本題考查相互獨立事件的概率、條件概率、全概率，考查應(yīng)用意識與數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的核心素養(yǎng)．解：不妨設(shè)提出的問題的3個選項依次為1,2,3，且設(shè)正確選項為1，人作答時能排除的選項為3，記為人第一次答題時選擇的是第i個選項，為機器第一次答題時選擇的是第i個選項，記測試者重復(fù)提問，測試者誤判，機器改變選項．（1）1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問的概率為．6分（2）當機器重復(fù)回答問題改變選項時，測試者誤判的情況有三種：①若第一次答題時人和機器都選擇1，則當重復(fù)提問時，人選擇2，機器選擇2或3，且測試者隨機判斷機器為人，則；9分②若第一次答題時人和機器都選擇2，則當重復(fù)提問時，機器和人都選擇1且測試者隨機判斷機器為人，或人選擇2且機器選擇1，或人選擇2，機器選擇3且測試者隨機判斷機器為人，則；12分③若第一次答題時人選擇2，機器選擇3，則當重復(fù)提問時，人和機器都選擇1且測試者隨機判斷機器為人，或人選擇2，機器選擇1，或人選擇2，機器選擇2且測試者隨機判斷機器為人，則．15分又,所以．17分評分細則：【1】未寫“不妨設(shè)提出的問題的3個選項依次為1,2,3，且設(shè)正確選項為1，人作答時能排除的選項為3，記為人第一次答題時選擇的是第i個選項，為機器第一次答題時選擇的是第個選項，記測試者重復(fù)提問，測試者誤判，機器改變選項”，但是每一問的步驟都正確，不扣分．第（1）問中，“”寫為“”，不扣分．【2】本題還可以這樣解答：（1）由題意可知，第一次提問時人回答正確的概率為，機器回答正確的概率為，2分設(shè)“1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問”為事件A,則．6分（2）設(shè)“第一次提問機器和人均回答正確，測試者重復(fù)提問且機器改變選項”為事件B,“第一次提問機器和人均回答錯誤，測試者重復(fù)提問且機器改變選項”為事件C,“測試者誤判”為事件D,“測試者重復(fù)提問且機器改變選項”為事件E,B與C互斥，且．，9分，12分,15分則，所以在測試