廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三8月入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，則（）A．B．C．D．2．若,則（）A．B．13C．5D．253．若函數(shù)的最小正周期不小于，則（）A．的最小值為B．的最大值為C．的最小值為D．的最大值為4．若兩個(gè)等比數(shù)列的公比相等，且,則的前6項(xiàng)和為（）A．B．C．124D．2525．若離心率為的雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為A,則（）A．B．C．D．6．若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則．為了解使用新技術(shù)后的某果園的畝收入（單位：萬元）情況，從該果園抽取樣本，得到使用新技術(shù)后畝收入的樣本均值,樣本方差．已知該果園使用新技術(shù)前的畝收入X（單位：萬元）服從正態(tài)分布,假設(shè)使用新技術(shù)后的畝收入Y服從正態(tài)分布,則（）A．B．C．D．7．曲線的周長為（）A．B．C．D．8．若,則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某部門30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)（未請(qǐng)假則請(qǐng)假天數(shù)為0）與對(duì)應(yīng)人數(shù)的柱形圖（圖中只有請(qǐng)假天數(shù)為0的未顯示）如圖所示，則（）A．該部門一年中請(qǐng)假天數(shù)為0的人數(shù)為10B．該部門一年中請(qǐng)假天數(shù)大于5的人數(shù)為10C．這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4D．這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的平均數(shù)小于410．已知函數(shù),則（）A．為奇函數(shù)B．在上為增函數(shù)C．曲線的切線的斜率的最大值為2D．曲線上任意一點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率之和為定值11．若S,T為某空間幾何體表面上的任意兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的距離的最大值稱為該幾何體的線長度．已知圓錐的底面直徑與線長度分別為2,4，正四棱臺(tái)的線長度為6,且,則（）A．圓錐的體積為B．與底面所成角的正切值為3C．圓錐內(nèi)切球的線長度為D．正四棱臺(tái)外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若,則__________．13．已知直線與橢圓相交，則C的長軸長的取值范圍是__________．14．如圖，現(xiàn)有兩排座位，第一排3個(gè)座位，第二排5個(gè)座位，將8人（含甲、乙、丙）隨機(jī)安排在這兩排座位上，則甲、乙、丙3人的座位互不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率為__________．15．（13分）在中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且．（1）若,且的面積為，求A;（2）若,求．16．（15分）已知是拋物線上的兩點(diǎn)．（1）求C的準(zhǔn)線方程；（2）若直線經(jīng)過C的焦點(diǎn)，且與C交于P,Q兩點(diǎn)，求的最小值．17．（15分）如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若,求二面角的余弦值．18．（17分）在圖靈測試中，測試者提出一個(gè)問題，由機(jī)器和人各自獨(dú)立作答，測試者看不到回答者是人還是機(jī)器，只能通過回答的結(jié)果來判斷回答者是人還是機(jī)器．提出的問題是選擇題，有3個(gè)選項(xiàng)，且只有1個(gè)是正確選項(xiàng)，機(jī)器和人分別從這3個(gè)選項(xiàng)中選擇1個(gè)進(jìn)行作答．當(dāng)機(jī)器和人中只有一個(gè)回答正確時(shí)，則將對(duì)的一方判斷為人，另一方判斷為機(jī)器；當(dāng)機(jī)器和人都回答正確或者都回答錯(cuò)誤時(shí)，測試者將再問同一個(gè)問題（重復(fù)提問），若兩者都回答正確或者都回答錯(cuò)誤，則測試者將從機(jī)器和人中隨機(jī)選擇一個(gè)判斷為人，若兩者僅一方回答正確，則判斷回答正確的一方為人．假設(shè)人作答時(shí)能排除一個(gè)明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)，剩下每個(gè)選項(xiàng)被選的概率相等，而機(jī)器無法排除選項(xiàng)，每個(gè)選項(xiàng)被選的概率相等，當(dāng)測試者重復(fù)提問時(shí)，人改變選項(xiàng)的概率為，機(jī)器改變選項(xiàng)的概率為．（1）求1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問的概率；（2）在測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項(xiàng)的前提下，求測試者誤判的概率．19．（17分）已知二階行列式,三階行列式,其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計(jì)算．（2）設(shè)函數(shù)．（i）若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求;（ii）若且,函數(shù),證明：．

高三數(shù)學(xué)參考答案1．A【解析】本題考查集合的交集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，因?yàn)?所以．2．C【解析】本題考查復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的模，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由,得且,解得，則3．D【解析】本題考查三角函數(shù)的周期，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因?yàn)?所以，解得．4．B【解析】本題考查等比數(shù)列，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由，得的公比，所以的公比為，則的前6項(xiàng)和為．5．C【解析】本題考查雙曲線的離心率與平面向量，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．依題意可得，所以．因?yàn)榕c同向，所以．6．D【解析】本題考查正態(tài)分布，考查應(yīng)用意識(shí)以及邏輯推理的核心素養(yǎng)．依題可知，,所以,故．因?yàn)?所以，所以．7．C【解析】本題考查圓的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．由,得,即，即或,所以曲線C表示兩個(gè)同心圓，且這兩個(gè)圓的半徑分別為，所以曲線C的周長為．8．A【解析】本題考查兩角和與差的正切公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所?故．9．ACD【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)，考查數(shù)據(jù)處理能力．該部門一年中請(qǐng)假犬?dāng)?shù)為0的人數(shù)為，A正確．該部門一年中請(qǐng)假天數(shù)大于5的人數(shù)為，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，且?qǐng)假天數(shù)為0的人數(shù)為10,請(qǐng)假天數(shù)為4的人數(shù)為6，所以這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4，C正確．這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的平均數(shù)為,D正確．10．ABD【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?所以為奇函數(shù)，A正確．在上為增函數(shù)，B正確．當(dāng)時(shí)，，則曲線的切線的斜率小于2，C錯(cuò)誤．設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為,則,則,D正確．11．BC【解析】本題考查空間幾何體的新概念、體積、線面角以及外接球的表面積，考查空間想象能力與直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)閳A錐的底直徑與線長度分別為2,4，所以圓錐的母線長為4，高為，則圓錐的體積為，A錯(cuò)誤．設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為r,則，解得，所以圓錐內(nèi)切球的線長度為,C正確．因?yàn)?所以,所以．過A,C作的垂線，垂足分別為E,F,則,所以，則．與底面所成的角為,且,B正確．設(shè)正四棱臺(tái)外接球的半徑為R,球心為N,設(shè)正四棱臺(tái)上、下底面的中心分別為,則，且N在上．設(shè),由,得，解得，則正四棱臺(tái)外接球的表面積為，D錯(cuò)誤．12．8【解析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?所以．13．【解析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓的長軸長，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．將代入，得,則,解得．因?yàn)镃的長軸長為,所以C的長軸長的取值范圍是．14．【解析】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)與分類討論的數(shù)學(xué)思想．甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的情況分為三種：第一種，這3人都在第二排，共有種不同的安排方法；第二種，這3人中1人在第一排，2人在第二排，共有種不同的安排方法；第三種，這3人中2人在第一排，1人在第二排，若第二排的這1人安排在中間的位置，則有種不同的安排方法，若第二排的這1人不安排在中間的位置，則有種不同的安排方法．故甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的概率為．15．【解析】本題考查解三角形與平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．解：（1）因?yàn)?所以,2分又,所以，3分所以的面積，4分則，因?yàn)椋曰颍?分（2）因?yàn)?所以,所以．7分由余弦定理得,8分因?yàn)?所以或,9分又,所以,所以,10分所以．13分評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）間中，未寫“”,但得到或，不扣分；若得到后只寫了,扣1分．【2】第（2）問中，由及,得,不扣分．16．【解析】本題考查直線與拋物線、基本不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．解：（1）因?yàn)槭菕佄锞€上的兩點(diǎn)，所以2分則，整理得,解得．4分當(dāng)時(shí)，,解得，不合題意；5分當(dāng)時(shí)，,解得．6分故C的準(zhǔn)線方程為．7分（2）由（1）知C的焦點(diǎn)為，8分聯(lián)立得．9分設(shè),則，10分所以，12分所以,13分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．15分評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問中，C的準(zhǔn)線方程還可以寫為，第（2）問中，未寫取等條件扣1分．【2】第（2）問中，也可以用弦長公式求得，不扣分．17．【解析】本題考查立體幾何與空間向量的綜合，考查空間想象能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．（1）證明：連接交于點(diǎn)E,1分則E為的中點(diǎn)．2分連接．因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以,3分又平面平面,所以平面．5分（2）解：取的中點(diǎn)O,連接．因?yàn)?所以,且．7分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,8分所以．9分設(shè)平面的法向量為，則10分令,得．11分易知平面的一個(gè)法向量為．12分．13分由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．15分評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問還可以先證明平面平面,再證明平面,閱卷時(shí)，請(qǐng)按照步驟給分．【2】第（2）問中，兩個(gè)平面的法向量均不唯一，只要與對(duì)應(yīng)法向量共線即可．【3】第（2）問還可以用這樣的方法求解：取的中點(diǎn)O,連接．依題意可得四邊形為正方形．6分因?yàn)?所以,7分且．8分在直三棱柱中，底面,則．9分因?yàn)?所以平面．10分取的中點(diǎn)F,連接,則．11分易證,12分所以為二面角的補(bǔ)角．13分因?yàn)?所以，14分所以二面角的余弦值為．15分18．【解析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、全概率，考查應(yīng)用意識(shí)與數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的核心素養(yǎng)．解：不妨設(shè)提出的問題的3個(gè)選項(xiàng)依次為1,2,3，且設(shè)正確選項(xiàng)為1，人作答時(shí)能排除的選項(xiàng)為3，記為人第一次答題時(shí)選擇的是第i個(gè)選項(xiàng)，為機(jī)器第一次答題時(shí)選擇的是第i個(gè)選項(xiàng)，記測試者重復(fù)提問，測試者誤判，機(jī)器改變選項(xiàng)．（1）1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問的概率為．6分（2）當(dāng)機(jī)器重復(fù)回答問題改變選項(xiàng)時(shí)，測試者誤判的情況有三種：①若第一次答題時(shí)人和機(jī)器都選擇1，則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，人選擇2，機(jī)器選擇2或3，且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，則；9分②若第一次答題時(shí)人和機(jī)器都選擇2，則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，機(jī)器和人都選擇1且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，或人選擇2且機(jī)器選擇1，或人選擇2，機(jī)器選擇3且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，則；12分③若第一次答題時(shí)人選擇2，機(jī)器選擇3，則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，人和機(jī)器都選擇1且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，或人選擇2，機(jī)器選擇1，或人選擇2，機(jī)器選擇2且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，則．15分又,所以．17分評(píng)分細(xì)則：【1】未寫“不妨設(shè)提出的問題的3個(gè)選項(xiàng)依次為1,2,3，且設(shè)正確選項(xiàng)為1，人作答時(shí)能排除的選項(xiàng)為3，記為人第一次答題時(shí)選擇的是第i個(gè)選項(xiàng)，為機(jī)器第一次答題時(shí)選擇的是第個(gè)選項(xiàng)，記測試者重復(fù)提問，測試者誤判，機(jī)器改變選項(xiàng)”，但是每一問的步驟都正確，不扣分．第（1）問中，“”寫為“”，不扣分．【2】本題還可以這樣解答：（1）由題意可知，第一次提問時(shí)人回答正確的概率為，機(jī)器回答正確的概率為，2分設(shè)“1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問”為事件A,則．6分（2）設(shè)“第一次提問機(jī)器和人均回答正確，測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項(xiàng)”為事件B,“第一次提問機(jī)器和人均回答錯(cuò)誤，測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項(xiàng)”為事件C,“測試者誤判”為事件D,“測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項(xiàng)”為事件E,B與C互斥，且．，9分，12分,15分則，所以在測試