2023九年級數(shù)學上冊 第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教案 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學上冊第二章一元二次方程5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教案（新版）北師大版主備人備課成員教學內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為北師大版2023九年級數(shù)學上冊第二章“一元二次方程”第5節(jié)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”。內(nèi)容包括理解一元二次方程的根的判別式，掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系，如韋達定理，并能運用此定理解決相關(guān)問題。

2.教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：學生在前面的學習中，已經(jīng)掌握了一元二次方程的基本概念和求解方法，能夠解一元二次方程，并理解判別式的概念。本節(jié)課將在此基礎上，引導學生探索一元二次方程的根與系數(shù)之間的定量關(guān)系，加深對一元二次方程性質(zhì)的理解，并與之前學過的二次函數(shù)圖像知識相聯(lián)系，形成知識體系。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標為：培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算的能力。通過探索一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，讓學生在實踐中提高邏輯推理能力，學會運用數(shù)學語言表述問題，構(gòu)建數(shù)學模型，并利用所學知識解決實際問題。同時，培養(yǎng)學生對數(shù)學符號的敏感性和運用能力，提升數(shù)學運算的速度和準確性，為后續(xù)高中階段數(shù)學學習打下堅實基礎。這一目標與新教材強調(diào)的學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求相契合。學習者分析1.學生已掌握了北師大版九年級數(shù)學上冊第二章前四節(jié)的內(nèi)容，包括一元二次方程的定義、解法、判別式的概念及其應用，能夠求解一元二次方程并判斷其根的情況。此外，學生還具備了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像的基礎知識，為理解一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系奠定了基礎。

2.學生在興趣方面，對于數(shù)學問題的探究和解決具有一定的熱情，喜歡通過實際例子來理解和掌握數(shù)學概念。在能力上，學生的邏輯思維能力、問題解決能力和合作交流能力較強。在學習風格上，學生傾向于通過直觀感知和操作實踐來學習數(shù)學知識。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：理解根與系數(shù)關(guān)系的推導過程，尤其是韋達定理的證明和應用；在實際問題中靈活運用根與系數(shù)關(guān)系建立方程模型；以及在進行符號運算時出現(xiàn)的錯誤和困惑。此外，對于部分學生來說，將理論知識與實際應用有效結(jié)合仍是一大挑戰(zhàn)。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源1.硬件資源：

-投影儀

-電腦

-白板

-數(shù)學教具（直尺、圓規(guī)等）

2.軟件資源：

-教學課件（含動畫演示根與系數(shù)關(guān)系的推導過程）

-數(shù)學軟件（用于演示一元二次方程的圖像和計算）

3.課程平臺：

-學校教學管理系統(tǒng)（發(fā)布預習資料、作業(yè)等）

-課堂互動平臺（實時反饋、投票、小組討論等）

4.信息化資源：

-電子教材

-在線數(shù)學題庫

-視頻講解資料（一元二次方程相關(guān)知識點）

5.教學手段：

-探究式學習

-小組合作學習

-案例分析

-課堂提問與討論

-課后在線輔導與答疑

教學過程首先，我會通過一個簡單的實際問題引入今天的學習內(nèi)容。比如說，我們有一個拋物線y=x^2-2x-3，我想知道這個拋物線與x軸的交點情況，也就是這個一元二次方程x^2-2x-3=0的根的情況。

1.溫故知新（5分鐘）

首先，我們來復習一下判別式的概念。同學們，誰能告訴我判別式是什么？很好，判別式是b^2-4ac。那么，判別式能告訴我們什么？對，它可以告訴我們方程的根的情況。如果判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；如果等于0，有兩個相等的實數(shù)根；如果小于0，則沒有實數(shù)根。

2.探索新知（20分鐘）

現(xiàn)在，我們來探討一下一元二次方程的根與系數(shù)之間有什么關(guān)系。請同學們打開書本，翻到第二章第5節(jié)。我們以方程ax^2+bx+c=0為例，一起來找出根與系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）首先，我們通過配方法將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，即(x-m)^2=n，這里m和n是與a、b、c有關(guān)的表達式。

（2）然后，我們展開這個式子，得到x^2-2mx+m^2=n，比較系數(shù)，我們可以得到什么關(guān)系？對，b=-2m，c=m^2-n。

（3）接下來，我們?nèi)绾螐倪@兩個關(guān)系式中找到根與系數(shù)的關(guān)系？我們可以利用求根公式，將m和n代入公式中，得到x1和x2的表達式。

（4）通過觀察和推導，我們可以發(fā)現(xiàn)，x1+x2=2m，x1*x2=m^2-n。這不就是我們要求的根與系數(shù)的關(guān)系嗎？

3.實例演示（15分鐘）

現(xiàn)在，我們用剛才找到的根與系數(shù)關(guān)系來解決我們一開始提出的問題。拋物線y=x^2-2x-3，我們可以看出a=1,b=-2,c=-3。那么，根據(jù)我們剛才推導的公式，x1+x2=?對，是2，x1*x2=?是-3。這樣我們就可以得出這個方程的根是x1=3,x2=-1。

4.課堂練習（15分鐘）

（1）y=x^2+4x+3

（2）y=2x^2-4x-6

（3）y=-x^2+3x+2

請同學們分組討論，然后我會請一些小組來分享他們的答案。

5.知識拓展（10分鐘）

我們已經(jīng)知道了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，那么這個關(guān)系在現(xiàn)實生活中的應用有哪些呢？我們來看一個例子。假設我們要制作一個矩形，它的面積是固定的，我們?nèi)绾握业介L和寬的組合，使得周長最?。?/p>

6.總結(jié)反思（5分鐘）

今天我們學習了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，這個關(guān)系對于我們理解方程的性質(zhì)和解決實際問題非常有幫助。我們通過實際例子的探究，學會了如何運用這個關(guān)系來解決問題。希望同學們在課后能繼續(xù)鞏固這個知識點，并嘗試解決一些生活中的實際問題。學生學習效果1.知識掌握：學生掌握了北師大版九年級數(shù)學上冊第二章第5節(jié)中關(guān)于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的相關(guān)知識點，如判別式的概念、根與系數(shù)關(guān)系的推導過程以及在實際問題中的應用。他們能夠熟練運用根與系數(shù)關(guān)系求解一元二次方程的根，并判斷根的性質(zhì)。

2.能力提升：學生在邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算方面得到了鍛煉。通過探究根與系數(shù)關(guān)系的過程，學生提高了自己的邏輯推理能力，學會了如何運用數(shù)學語言表述問題，構(gòu)建數(shù)學模型，并利用所學知識解決實際問題。

3.學習興趣：本節(jié)課通過實際例子和課堂練習，激發(fā)了學生對一元二次方程的興趣，使他們更加愿意投入到數(shù)學學習中去。學生在解決實際問題的過程中，體驗到了數(shù)學學習的樂趣。

4.合作交流：學生在小組討論和分享答案的過程中，提高了自己的合作交流能力。他們學會了傾聽他人的意見，表達自己的觀點，并共同解決問題。

1.學生能夠迅速判斷一元二次方程的根的情況，如判別式大于0、等于0或小于0時，對應的根的性質(zhì)。

2.學生能夠運用根與系數(shù)關(guān)系，快速求解一元二次方程的根，并了解根與系數(shù)之間的關(guān)系。

3.學生能夠?qū)⒁辉畏匠痰母c系數(shù)關(guān)系應用于實際問題，如解決與幾何圖形、實際測量等相關(guān)的問題。

4.學生能夠在解決實際問題的過程中，運用數(shù)學符號進行推理和運算，提高了解題的準確性和速度。

5.學生通過本節(jié)課的學習，對數(shù)學學科產(chǎn)生了更濃厚的興趣，為后續(xù)學習奠定了基礎。

6.學生在課堂上的積極參與和互動，使得他們在合作交流方面取得了明顯進步，有助于提高他們在未來學習和工作中的團隊協(xié)作能力。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

（1）完成課本第68頁的練習題2、3、4，要求學生在解答過程中明確一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并能夠運用此關(guān)系解決相關(guān)問題。

（2）從以下題目中選擇兩題進行解答，要求步驟清晰，邏輯嚴謹：

a.求解方程x^2-5x+6=0，并說明其根的性質(zhì)。

b.證明：對于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果其判別式D=b^2-4ac>0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根。

c.某商店銷售一種商品，售價為每件x元，銷售量為y件。已知銷售總額為2000元，求售價與銷售量的關(guān)系，并解釋其意義。

（3）結(jié)合所學知識，嘗試解決以下實際問題：

d.一個長方形的面積為20平方厘米，長和寬的和為8厘米，求長方形的長和寬。

2.作業(yè)反饋：

（1）在批改作業(yè)時，關(guān)注學生在解答過程中對一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的理解和運用。對于存在的問題，如概念混淆、運算錯誤等，及時指出并給出改進建議。

（2）對于作業(yè)中出現(xiàn)的典型錯誤，進行分類整理，并在課堂上進行講解和討論，幫助學生找到錯誤原因，提高解題能力。

（3）在作業(yè)批改后，針對學生的表現(xiàn)給予積極的評價和鼓勵，提高學生的學習自信心。

（4）針對作業(yè)中反映出的學生薄弱環(huán)節(jié)，設計針對性的輔導和練習，幫助學生鞏固所學知識，提高能力。

（5）鼓勵學生主動參與作業(yè)反饋過程，發(fā)現(xiàn)自己的不足，積極向老師和同學請教，形成良好的學習氛圍。教學反思與改進在上完這節(jié)課后，我認真思考了整個教學過程，發(fā)現(xiàn)了一些值得反思的地方。首先，我注意到在講解一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，部分學生對于推導過程的理解還不夠深入。這可能是因為我在講解時過于注重結(jié)果，而忽略了過程中的細節(jié)。因此，我計劃在未來的教學中，更加注重引導學生逐步推導，讓他們參與到整個發(fā)現(xiàn)過程中來。

其次，我發(fā)現(xiàn)課堂練習的難度設置還有待調(diào)整。有些題目對學生來說可能過于簡單，無法充分鍛煉他們的思維能力；而有些題目則可能過于復雜，讓學生感到困惑。為了更好地滿足不同學生的需求，我打算對練習題進行分層設計，使難度更加合理。

此外，在課堂互動方面，我發(fā)現(xiàn)有些學生參與度不高，這可能是因為我提問的方式不夠多樣化，或者沒有給予學生足夠的思考時間。針對這個問題，我計劃在未來的教學中，增加提問的技巧，鼓勵更多學生參與到課堂討論中來。

1.設計反思活動：在課后，我會讓學生填寫一份關(guān)于本節(jié)課的反饋問卷，了解他們對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的掌握程度，以及對課堂教學的滿意度。通過分析問卷結(jié)果，找出教學中需要改進的地方。

2.改進措施：

a.在講解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系時，增加推導過程的詳細講解，讓學生更好地理解公式背后的原理。

b.對課堂練習進行分層設計，分為基礎題、提高題和挑戰(zhàn)題，以滿足不同層次學生的需求。

c.提高課堂互動質(zhì)