應變梯度理論

應變梯度理論

應變梯度理論是近解釋材料在微米尺度下的尺寸效應現(xiàn)象而發(fā)展起來的一種新理論。Fleek等[6]于1994年在細銅絲的扭轉(zhuǎn)實驗中觀測到微尺度下應變梯度的硬化，其中直徑12的無量綱扭轉(zhuǎn)硬化約為直徑170的三倍。通過對12.5、25和50三種厚度純鎳薄片的彎曲測試，Stolken和Evanslv[7]于1998年發(fā)現(xiàn)鎳的無量綱彎曲硬化隨著薄片厚度的減小而明顯增大，然而在拉伸試驗中并未發(fā)現(xiàn)這種微尺度現(xiàn)象。Chong和Lam[8]于1999年通過壓痕實驗觀察到熱固性環(huán)氧樹脂和熱塑性聚碳酸酷的無量綱硬化與應變梯度有關(guān)，材料的塑性具有微尺度效應。McFarland和Colton[9J于2005年通過對不同厚度聚丙烯懸臂微梁的彎曲測試，同樣觀測到無量綱彎曲剛度隨梁厚減小而增大。與宏觀尺度相比，微尺度下結(jié)構(gòu)的力學特性及行為研究主要考慮到以下兩個方面(1)尺度效應。材料不是無限可分。因此材料顆粒的固有屬性將影響到微結(jié)構(gòu)的力學特性。(2)表面和界面效應。一些在宏觀尺度下常被忽略的力和現(xiàn)象，在微尺度下起著重要的作用;而一些在宏觀領(lǐng)域作用顯著的力和現(xiàn)象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，與特征尺寸L的高次方成比例的慣性力、電磁力(L3)等的作用相對減小，而與尺寸的低次方成比例的粘性力、彈性力(L2)、表面張力(Ll)、靜電力(L0)等的作用相對增大。隨著尺寸的減小，表面積(L2)與體積(L3)之比相對增大，表面力學和物理效應將起主導作用。理論模型建立(1)偶應力理論早在一個多世紀前，voigt[12]便提出了體力偶和面力偶的概念，并建議構(gòu)建考慮作用在材料微粒表面或邊界上的力偶的連續(xù)模型。隨后Cosserat兄弟[14]根據(jù)的假設建立了相關(guān)的Cosserat理論，對應的運動方程中出現(xiàn)了偶應力。直到20世紀60年代左右，一些學者才開始嘗試Cosserat理論的改進擴展工作，他們對Cosserat連續(xù)體物質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)施加一定約束，并逐漸發(fā)展了一種更為普遍的理論—偶應力理論。相比其它非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論，偶應力理論是一種相對簡單的理論。如應變梯度理論考慮旋轉(zhuǎn)梯度、拉伸和膨脹梯度的影響，而偶應力理論僅考慮了旋轉(zhuǎn)梯度(與偶應力共軛)。Ashby[22]指出幾何必需位錯和統(tǒng)計儲存位錯是材料的塑性硬化來源，而幾何必需位錯產(chǎn)生于塑性剪切應變梯度。據(jù)此，F(xiàn)leek和Hutchinson[23]及Fleek等[6]在偶應力理論框架上發(fā)展了一種應變梯度塑性理論(通常稱為CS應變梯度塑性理論)，它是經(jīng)典的形變或流動理論的推廣。在理論中為了考慮旋轉(zhuǎn)梯度的影響，引入了偶應力，并且服從二階變形梯度本構(gòu)率的Clausius-Duhem熱力學限制條件[24]。這種理論不僅在模擬裂紋擴展時能消除裂紋尖端的應力奇異性[25],還能成功預測微結(jié)構(gòu)力學行為中的微尺度效應。例如，F(xiàn)leck等[6]銅絲的扭轉(zhuǎn)實驗中證實了應變梯度硬化的存在，并應用提出的CS應變梯度塑性理論成功解釋了這種微尺度現(xiàn)象。經(jīng)典牛頓力學框架下，連續(xù)變形體的材料顆粒僅在力的作用下作平動;在TouPin和Mindiin等學者[18-21]建立的傳統(tǒng)偶應力彈性理論中，材料顆粒不僅在力的作用下作平動，還在力偶的作用下作轉(zhuǎn)動。因此，偶應力理論中的系統(tǒng)能量包括應力對應變和偶應力對旋轉(zhuǎn)形變做的功，其中旋轉(zhuǎn)形變是二階變形梯度的反對稱部分，含有8個獨立分量。對于各向同性線彈性材料而言，系統(tǒng)本構(gòu)方程中除了兩個經(jīng)典的拉梅系數(shù)外，還包含兩個與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加常數(shù)。在上述偶應力理論構(gòu)建中，僅用到傳統(tǒng)的力和力矩的平衡關(guān)系，對力偶并沒有施加約束。Yang等[28]從引入高階平衡關(guān)系角度出發(fā)，提出一種修正偶應力理論。在添加力偶矩平衡關(guān)系后，偶應力張量被約束成對稱量，它對與之共軛張量的曲率張量的對稱部分做功，并與應力對應變做的功一起轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)能量。這種理論下的本構(gòu)方程僅包含一個附加常數(shù)，從而大大降低了非經(jīng)典常數(shù)的確定難度。Park和Gao[29]曾使用這種新理論計算Bemoulli-Euler微梁的彎曲，發(fā)現(xiàn)微梁厚度與材料內(nèi)察長度相當時，呈現(xiàn)出明顯的尺度效應，所求得的無量綱彎曲剛度與彎曲實驗測量值[28]吻合得較好。(2)應變梯度理論應變梯度理論的基本思想是通過將高階應變梯度和/或位錯密度納入支配材料行為的本構(gòu)或演化方程，來引入尺度對結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的彈、塑性變形和位錯運動等力學行為的影響。這種理論最早由Mindlin[30]提出，他將彈性體的應變能密度視為應變和它的第一、二階導數(shù)的函數(shù)。同時，他也給出了一種更常用的僅包含應變和其一階導數(shù)的簡化理論，簡化后的附加變形包含了二階變形梯度的所有18個獨立分量。比較而言，偶應力理論僅包含了二階變形梯度中的8個獨立分量，而應變梯度理論是一個完整的二階梯度理論。Mindlin為非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學研究提供了一種新的思路，后人針對各種應用對其理論進行了改進和擴充。除了彈性材料外，不少學者致力建立了塑性[31-33]、彈塑性[34]、熱彈性135]等材料的應變梯度模型。例如，通過使用等效應變的一次和二次拉普拉斯算子表示附加的應變梯度，Aifantis等[32]建立了應變梯度塑性理論。Fleek等[31]和Gao等[33l則發(fā)展了另一種基于幾何必需位錯的應變梯度塑性理論。Aifantis為應變梯度理論的發(fā)展和應用做出了卓越的貢獻。他和他的合作者們建立并逐步發(fā)展了模擬物體彈性、塑性和位錯動力行為的各種應變梯度理論，并就相關(guān)理論的發(fā)展、應用及數(shù)學表述給出了綜述[36]。另外，黃克智等[37]也在他們的綜述性文章中綜合介紹了偶應力和應變梯度塑性理論。除了用于描述位錯組態(tài)、材料軟化和裂紋尖端附近的變形場等問題外[36]，應變梯度理論也廣泛應用在微尺度效應研究中。例如，Aifantis[38]討論了應變梯度彈性、塑性理論在解釋不常見微結(jié)構(gòu)的標準尺寸試件或普通微結(jié)構(gòu)的小尺寸試件的扭轉(zhuǎn)和彎曲中的微尺度現(xiàn)象上的能力。在Mindlin[30]建立的傳統(tǒng)應變梯度彈性理論中，附加變形即引入的二階變形梯度，它包括了8個獨立分量的反對稱部分和10個獨立分量的對稱部分在內(nèi)的所有18個獨立分量。對于各向同性材料而言，二階變形梯度對應有七個線性彈性常數(shù)，即兩個拉梅系數(shù)和五個與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的非經(jīng)典常數(shù)。應用虛功原理得到的控制方程和邊界條件也包含五個附加常數(shù)，從而能捕捉到微結(jié)構(gòu)中的尺度效應。后來，F(xiàn)leck和Hutchinson[31，39]重新表述了Mindlin的應變梯度理論，他們將二階變形梯度張量分解成兩個獨立部分，即拉伸梯度張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量。與Mindiin的工作類似，F(xiàn)leck和Hutchinson僅使用了傳統(tǒng)平衡關(guān)系—力和力矩平衡來支配高階應力行為。受Yang等[28]的工作啟發(fā)，Lam等[40]嘗試將新的高階平衡關(guān)系應用在本構(gòu)關(guān)系及控制方程的推導中。在施加附加的力偶矩平衡關(guān)系后，Lam等重新定義了高階應變張量及與之共扼的高階應力張量，并推導了相應的本構(gòu)關(guān)系和應變能表述。由于高階平衡關(guān)系的引入，旋轉(zhuǎn)梯度的反對稱部分不出現(xiàn)在變形能中，與微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加材料常數(shù)的個數(shù)由五個減少到三個?；谒岢龅男吕碚摚琇am等[40]研究了微懸臂梁的彎曲問題，發(fā)現(xiàn)微梁的無量綱剛度與梁厚呈二次方反比關(guān)系，這與微梁的彎曲實驗觀測結(jié)果相吻合。

(3)微態(tài)理論微態(tài)理論是由連續(xù)介質(zhì)力學大師Eringen建立。在1964年，Eringen[41]、Eringen和Suhubi[42]分別提出了簡單微流體和簡單微彈性體理論，他們的模型中分別考慮了微流體的局部微運動和微固體的微變形和微旋轉(zhuǎn)，并推導了對應的基本場方程、邊界條件和本構(gòu)方程。到1966年，Eringen[43]綜合闡述了這類理論，并將之正式命名為微態(tài)連續(xù)統(tǒng)力學。這種理論把材料體看作無數(shù)變形物質(zhì)點的連續(xù)集合，每個物質(zhì)點都具有有限的尺寸和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。除了經(jīng)典的三個平動自由度外，每個材料物質(zhì)點還具有獨立的拉伸和旋轉(zhuǎn)自由度，即允許物質(zhì)點作剛