應(yīng)變梯度理論

應(yīng)變梯度理論

應(yīng)變梯度理論是近解釋材料在微米尺度下的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的一種新理論。Fleek等[6]于1994年在細(xì)銅絲的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到微尺度下應(yīng)變梯度的硬化，其中直徑12的無(wú)量綱扭轉(zhuǎn)硬化約為直徑170的三倍。通過(guò)對(duì)12.5、25和50三種厚度純鎳薄片的彎曲測(cè)試，Stolken和Evanslv[7]于1998年發(fā)現(xiàn)鎳的無(wú)量綱彎曲硬化隨著薄片厚度的減小而明顯增大，然而在拉伸試驗(yàn)中并未發(fā)現(xiàn)這種微尺度現(xiàn)象。Chong和Lam[8]于1999年通過(guò)壓痕實(shí)驗(yàn)觀察到熱固性環(huán)氧樹(shù)脂和熱塑性聚碳酸酷的無(wú)量綱硬化與應(yīng)變梯度有關(guān)，材料的塑性具有微尺度效應(yīng)。McFarland和Colton[9J于2005年通過(guò)對(duì)不同厚度聚丙烯懸臂微梁的彎曲測(cè)試，同樣觀測(cè)到無(wú)量綱彎曲剛度隨梁厚減小而增大。與宏觀尺度相比，微尺度下結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性及行為研究主要考慮到以下兩個(gè)方面(1)尺度效應(yīng)。材料不是無(wú)限可分。因此材料顆粒的固有屬性將影響到微結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。(2)表面和界面效應(yīng)。一些在宏觀尺度下常被忽略的力和現(xiàn)象，在微尺度下起著重要的作用;而一些在宏觀領(lǐng)域作用顯著的力和現(xiàn)象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，與特征尺寸L的高次方成比例的慣性力、電磁力(L3)等的作用相對(duì)減小，而與尺寸的低次方成比例的粘性力、彈性力(L2)、表面張力(Ll)、靜電力(L0)等的作用相對(duì)增大。隨著尺寸的減小，表面積(L2)與體積(L3)之比相對(duì)增大，表面力學(xué)和物理效應(yīng)將起主導(dǎo)作用。理論模型建立(1)偶應(yīng)力理論早在一個(gè)多世紀(jì)前，voigt[12]便提出了體力偶和面力偶的概念，并建議構(gòu)建考慮作用在材料微粒表面或邊界上的力偶的連續(xù)模型。隨后Cosserat兄弟[14]根據(jù)的假設(shè)建立了相關(guān)的Cosserat理論，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)了偶應(yīng)力。直到20世紀(jì)60年代左右，一些學(xué)者才開(kāi)始嘗試Cosserat理論的改進(jìn)擴(kuò)展工作，他們對(duì)Cosserat連續(xù)體物質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)施加一定約束，并逐漸發(fā)展了一種更為普遍的理論—偶應(yīng)力理論。相比其它非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論，偶應(yīng)力理論是一種相對(duì)簡(jiǎn)單的理論。如應(yīng)變梯度理論考慮旋轉(zhuǎn)梯度、拉伸和膨脹梯度的影響，而偶應(yīng)力理論僅考慮了旋轉(zhuǎn)梯度(與偶應(yīng)力共軛)。Ashby[22]指出幾何必需位錯(cuò)和統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)是材料的塑性硬化來(lái)源，而幾何必需位錯(cuò)產(chǎn)生于塑性剪切應(yīng)變梯度。據(jù)此，F(xiàn)leek和Hutchinson[23]及Fleek等[6]在偶應(yīng)力理論框架上發(fā)展了一種應(yīng)變梯度塑性理論(通常稱為CS應(yīng)變梯度塑性理論)，它是經(jīng)典的形變或流動(dòng)理論的推廣。在理論中為了考慮旋轉(zhuǎn)梯度的影響，引入了偶應(yīng)力，并且服從二階變形梯度本構(gòu)率的Clausius-Duhem熱力學(xué)限制條件[24]。這種理論不僅在模擬裂紋擴(kuò)展時(shí)能消除裂紋尖端的應(yīng)力奇異性[25],還能成功預(yù)測(cè)微結(jié)構(gòu)力學(xué)行為中的微尺度效應(yīng)。例如，F(xiàn)leck等[6]銅絲的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了應(yīng)變梯度硬化的存在，并應(yīng)用提出的CS應(yīng)變梯度塑性理論成功解釋了這種微尺度現(xiàn)象。經(jīng)典牛頓力學(xué)框架下，連續(xù)變形體的材料顆粒僅在力的作用下作平動(dòng);在TouPin和Mindiin等學(xué)者[18-21]建立的傳統(tǒng)偶應(yīng)力彈性理論中，材料顆粒不僅在力的作用下作平動(dòng)，還在力偶的作用下作轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，偶應(yīng)力理論中的系統(tǒng)能量包括應(yīng)力對(duì)應(yīng)變和偶應(yīng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)形變做的功，其中旋轉(zhuǎn)形變是二階變形梯度的反對(duì)稱部分，含有8個(gè)獨(dú)立分量。對(duì)于各向同性線彈性材料而言，系統(tǒng)本構(gòu)方程中除了兩個(gè)經(jīng)典的拉梅系數(shù)外，還包含兩個(gè)與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加常數(shù)。在上述偶應(yīng)力理論構(gòu)建中，僅用到傳統(tǒng)的力和力矩的平衡關(guān)系，對(duì)力偶并沒(méi)有施加約束。Yang等[28]從引入高階平衡關(guān)系角度出發(fā)，提出一種修正偶應(yīng)力理論。在添加力偶矩平衡關(guān)系后，偶應(yīng)力張量被約束成對(duì)稱量，它對(duì)與之共軛張量的曲率張量的對(duì)稱部分做功，并與應(yīng)力對(duì)應(yīng)變做的功一起轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)能量。這種理論下的本構(gòu)方程僅包含一個(gè)附加常數(shù)，從而大大降低了非經(jīng)典常數(shù)的確定難度。Park和Gao[29]曾使用這種新理論計(jì)算Bemoulli-Euler微梁的彎曲，發(fā)現(xiàn)微梁厚度與材料內(nèi)察長(zhǎng)度相當(dāng)時(shí)，呈現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，所求得的無(wú)量綱彎曲剛度與彎曲實(shí)驗(yàn)測(cè)量值[28]吻合得較好。(2)應(yīng)變梯度理論應(yīng)變梯度理論的基本思想是通過(guò)將高階應(yīng)變梯度和/或位錯(cuò)密度納入支配材料行為的本構(gòu)或演化方程，來(lái)引入尺度對(duì)結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的彈、塑性變形和位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)等力學(xué)行為的影響。這種理論最早由Mindlin[30]提出，他將彈性體的應(yīng)變能密度視為應(yīng)變和它的第一、二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。同時(shí)，他也給出了一種更常用的僅包含應(yīng)變和其一階導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)化理論，簡(jiǎn)化后的附加變形包含了二階變形梯度的所有18個(gè)獨(dú)立分量。比較而言，偶應(yīng)力理論僅包含了二階變形梯度中的8個(gè)獨(dú)立分量，而應(yīng)變梯度理論是一個(gè)完整的二階梯度理論。Mindlin為非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究提供了一種新的思路，后人針對(duì)各種應(yīng)用對(duì)其理論進(jìn)行了改進(jìn)和擴(kuò)充。除了彈性材料外，不少學(xué)者致力建立了塑性[31-33]、彈塑性[34]、熱彈性135]等材料的應(yīng)變梯度模型。例如，通過(guò)使用等效應(yīng)變的一次和二次拉普拉斯算子表示附加的應(yīng)變梯度，Aifantis等[32]建立了應(yīng)變梯度塑性理論。Fleek等[31]和Gao等[33l則發(fā)展了另一種基于幾何必需位錯(cuò)的應(yīng)變梯度塑性理論。Aifantis為應(yīng)變梯度理論的發(fā)展和應(yīng)用做出了卓越的貢獻(xiàn)。他和他的合作者們建立并逐步發(fā)展了模擬物體彈性、塑性和位錯(cuò)動(dòng)力行為的各種應(yīng)變梯度理論，并就相關(guān)理論的發(fā)展、應(yīng)用及數(shù)學(xué)表述給出了綜述[36]。另外，黃克智等[37]也在他們的綜述性文章中綜合介紹了偶應(yīng)力和應(yīng)變梯度塑性理論。除了用于描述位錯(cuò)組態(tài)、材料軟化和裂紋尖端附近的變形場(chǎng)等問(wèn)題外[36]，應(yīng)變梯度理論也廣泛應(yīng)用在微尺度效應(yīng)研究中。例如，Aifantis[38]討論了應(yīng)變梯度彈性、塑性理論在解釋不常見(jiàn)微結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸試件或普通微結(jié)構(gòu)的小尺寸試件的扭轉(zhuǎn)和彎曲中的微尺度現(xiàn)象上的能力。在Mindlin[30]建立的傳統(tǒng)應(yīng)變梯度彈性理論中，附加變形即引入的二階變形梯度，它包括了8個(gè)獨(dú)立分量的反對(duì)稱部分和10個(gè)獨(dú)立分量的對(duì)稱部分在內(nèi)的所有18個(gè)獨(dú)立分量。對(duì)于各向同性材料而言，二階變形梯度對(duì)應(yīng)有七個(gè)線性彈性常數(shù)，即兩個(gè)拉梅系數(shù)和五個(gè)與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的非經(jīng)典常數(shù)。應(yīng)用虛功原理得到的控制方程和邊界條件也包含五個(gè)附加常數(shù)，從而能捕捉到微結(jié)構(gòu)中的尺度效應(yīng)。后來(lái)，F(xiàn)leck和Hutchinson[31，39]重新表述了Mindlin的應(yīng)變梯度理論，他們將二階變形梯度張量分解成兩個(gè)獨(dú)立部分，即拉伸梯度張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量。與Mindiin的工作類似，F(xiàn)leck和Hutchinson僅使用了傳統(tǒng)平衡關(guān)系—力和力矩平衡來(lái)支配高階應(yīng)力行為。受Yang等[28]的工作啟發(fā)，Lam等[40]嘗試將新的高階平衡關(guān)系應(yīng)用在本構(gòu)關(guān)系及控制方程的推導(dǎo)中。在施加附加的力偶矩平衡關(guān)系后，Lam等重新定義了高階應(yīng)變張量及與之共扼的高階應(yīng)力張量，并推導(dǎo)了相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變能表述。由于高階平衡關(guān)系的引入，旋轉(zhuǎn)梯度的反對(duì)稱部分不出現(xiàn)在變形能中，與微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加材料常數(shù)的個(gè)數(shù)由五個(gè)減少到三個(gè)?；谒岢龅男吕碚摚琇am等[40]研究了微懸臂梁的彎曲問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)微梁的無(wú)量綱剛度與梁厚呈二次方反比關(guān)系，這與微梁的彎曲實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果相吻合。

(3)微態(tài)理論微態(tài)理論是由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)大師Eringen建立。在1964年，Eringen[41]、Eringen和Suhubi[42]分別提出了簡(jiǎn)單微流體和簡(jiǎn)單微彈性體理論，他們的模型中分別考慮了微流體的局部微運(yùn)動(dòng)和微固體的微變形和微旋轉(zhuǎn)，并推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)的基本場(chǎng)方程、邊界條件和本構(gòu)方程。到1966年，Eringen[43]綜合闡述了這類理論，并將之正式命名為微態(tài)連續(xù)統(tǒng)力學(xué)。這種理論把材料體看作無(wú)數(shù)變形物質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)集合，每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)都具有有限的尺寸和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。除了經(jīng)典的三個(gè)平動(dòng)自由度外，每個(gè)材料物質(zhì)點(diǎn)還具有獨(dú)立的拉伸和旋轉(zhuǎn)自由度，即允許物質(zhì)點(diǎn)作剛