2022-2023學(xué)年安徽省宣城市高一下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2安徽省宣城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.某單位有職工500人，青年職工300人，中年職工150人，老年職工50人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣從中抽取樣本，若抽出的中年職工為15人，則抽出的老年職工的人數(shù)為（）A.5 B.15 C.30 D.50〖答案〗A〖解析〗設(shè)抽出的樣本總?cè)藬?shù)為人，則由題意可得，解得，所以抽出的老年職工的人數(shù)為人.故選：A.2.已知點E為平行四邊形對角線上一點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因，又，所以.故選：A.3.小明同學(xué)統(tǒng)計了他最近次的數(shù)學(xué)考試成績，得到的數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將次的數(shù)學(xué)考試成績由小到大排序依次為：、、、、、、、、、，因為，因此，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是.故選：B.4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以由正弦定理得，得，因為，，所以，所以或，則或．故選：D．5.盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯”四個字，有放回地從中任取一張卡片，直到“紙”“硯"兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1，2，3，4代表“筆墨紙硯”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：343432314134234132243331112324342241244342124431233214344434由此可以估計，恰好第三次結(jié)束時就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，其中恰好第三次結(jié)束時就停止的隨機數(shù)有：314，134，234，243，324，共5個，由此可以估計，恰好第三次結(jié)束時就停止的概率為．故選：C．6.《九章算術(shù)》作為古代中國的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”．今有圓亭，上下底面圓直徑分別為18寸，30寸，圓亭母線長為10寸(取)，則該圓亭的表面積和體積分別約為（）A.1368平方寸3528立方寸 B.1638平方寸4410立方寸C.1638平方寸3528立方寸 D.1368平方寸4410立方寸〖答案〗C〖解析〗由題意圓亭的上、下底面圓半徑分別為9寸，15寸，圓亭圓臺母線長為10寸，則該圓亭的高寸，故該圓亭的表面積平方寸，體積為立方寸．故選：C．7.已知是邊長為a的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE并延長到點M，使得，連接DF并延長到點N，使得，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，又點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，即，，，.故選：B.8.已知矩形，，，將沿折起到．若點在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在矩形中，，，過點作于，交邊于，如圖，，，所以，，，所以，，則，則，把沿折起到的過程中，，，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，點在平面上的射影在直線上，因為點在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則當(dāng)平面時，點到平面的距離最大，于是，當(dāng)平面時，點到平面的距離最小，如圖，此時，于是，從而，而，所以，.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限B.記的共軛復(fù)數(shù)為，則C.若，則D.若，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，(O為坐標(biāo)原點)，則〖答案〗BC〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故A錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則，故B正確；由，得，故C正確；若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為為坐標(biāo)原點），則，故，故D錯誤．故選：BC．10.從裝有3個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，則下列敘述正確的是（）A.取出的兩個球同為紅色和同為黑色是兩個互斥而不對立的事件B.至多有一個黑球與至少有一個紅球是兩個對立的事件C.事件A＝“兩個球同色”，則D.事件B＝“至少有一個紅球”，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，兩球同時為紅球和為黑球不可能同時發(fā)生，并且除了這兩個事件，實驗還會發(fā)生一個事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時為紅球和為黑球的事件為互斥而不對立事件，A正確；對于B，至多有一個黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對立事件為兩黑球，B錯誤；對于C，記3個紅球為a，b，c，2個黑球為d，e，則任取2個球的結(jié)果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個，事件A發(fā)生的結(jié)果有ab，ac，bc，de，共4個，所以，C正確；對于D，事件的對立事件的結(jié)果有de，共1個，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.已知的內(nèi)角A，B，C所的對邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個命題中正確的是（）A.是鈍角三角形 B.面積為C.外接圓面積為 D.若D為AB中點，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，，，所以，所以，因為，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確；對于B，由選項A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確；對于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯誤；對于D，因為D為AB中點，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點，點Р為線段上的動點，則（）A.兩條異面直線和所成的角為 B.不存在點P，使得平面BEPC.對任意點Р，平面平面BEP D.點到直線的距離為4〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A正確；對于B，當(dāng)點P與點重合時，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B錯誤；對于C，連接，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對任意點，平面平面，所以C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，又，所以，所以點到直線的距離，所以D正確．故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程()的一個根，則__________．〖答案〗4〖解析〗將代入方程，得，即，所以，得，，所以．故〖答案〗為：4．14.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)3，5，7，則此時方差_________．〖答案〗2.9〖解析〗設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以，當(dāng)加入新數(shù)據(jù)3，5，7后，平均數(shù)，方差．故〖答案〗為：2.9．15.在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為_________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故〖答案〗為：．16.已知中，，，，M是AB的中點，P為線段DC上的動點，則的取值范圍是__________；延長DC至，使，若T為線段上的動點，且恒成立．則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：中，2，，所以，即，，設(shè)，則，所以，由，得，所以的取值范圍是；設(shè)，則，所以，所以不等式化為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取“＝”，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．）17.已知平面向量滿足，，且．（1）求在方向上的投影向量；（2）若，求實數(shù)的值．解：（1）由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.（2）因為，所以，化簡得，所以，解得.18.甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場時，該隊獲勝，比賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.8，客場取勝的概率為0.4，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）求前2場比賽，甲至少贏得一場的概率；（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時，求甲獲勝的概率．解：（1）設(shè)前2場比賽，甲至少贏一場為事件A，，或者.（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時，設(shè)甲獲勝為事件B，甲獲勝的比分可以是4∶2或者4∶3，若是4∶2，第五場和第六場，甲連贏兩場，則甲獲勝概率為：，若是4∶3，第五場和第六場，甲乙各贏一次，第七場甲贏了，則甲獲勝概率為：，所以，當(dāng)雙方總比分為2∶2時，甲獲勝的概率.19.某校舉行了一次高一年級數(shù)學(xué)競賽，筆試成績在分以上（包括分，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績低于分的學(xué)生中，通過分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．解：（1）由，解得，這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．（2）分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分?jǐn)?shù)都在的概率為.20.如圖，在正四棱柱中，，∥平面MAC．（1）證明：M是的中點；（2）若正四棱柱的外接球的體積是，求該正四棱柱的表面積．解：（1）連接BD，交AC于N，連接MN，因為∥面MAC，面，且面MAC∩面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，，在正四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，所以N是BD的中點，所以M是的中點．（2）設(shè)，正四棱柱的外接球的半徑為，因為正四棱柱的外接球的體積，解得，由題意為正四棱柱的外接球的直徑，由，得，解得或(舍)，即，所以正四棱柱的表面積為．21.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，且滿足．（1）求角A大?。唬?）求周長的取值范圍．解：（1）由可得，即，由正弦定理得，故，整理得到，因為C是的內(nèi)角，所以，，因為，所以．（2）因為且，，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以且，則，所以，，，即，故周長的取值范圍為．22.如圖，在三棱錐中，平面ABD平面BCD，，O為BD的中點，△OCD是邊長為2的等邊三角形．（1）若，求直線AB和CD所成角余弦值；（2）若點E在棱AD上，且三棱錐的體積為4，求二面角平面角大小的正弦值．解：（1）分別取BC、AC的中點M、N，連接OM，ON，MN，因為О為BD中點，所以MO∥CD，MN∥AB且，所以異面直線AB和CD所成角(或為鄰補角)即為∠OMN，因為，O為BD中點，所以AO⊥BD，因為△OCD是邊長為2的等邊三角形，所以BODO2，MNAB，MOCD1，又因為平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD平面BCD，平面ABD，所以AO平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥OC，由OCOD，得△AOC≌△AOD，得ACADAB，在直角三角形△AOC中，則ONAC，在△MON中，根據(jù)余弦定理得，，或，所以直線AB和CD所成角的余弦值為．（2）過點E作EN∥AO交BD于N．過點N作NM∥CD交BC于點M，連接ME，因為EN∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD，平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因為BC平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因為OBODOC，所以BC⊥CD，因為NM∥CD，所以MN⊥BC，因為，平面，所以BC⊥平面MNE，因為平面MNE，所以BC⊥ME，所以∠EMN為所求的二面角的平面角，因為，因為，所以，又因AE=AD，EN∥AO，所以，得，因為NM∥CD，所以，因為CD2，所以MN，又，所以MNEN．所以，所以，得，因為，，所以解得，所以二面角平面角大小的正弦值為.安徽省宣城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.某單位有職工500人，青年職工300人，中年職工150人，老年職工50人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣從中抽取樣本，若抽出的中年職工為15人，則抽出的老年職工的人數(shù)為（）A.5 B.15 C.30 D.50〖答案〗A〖解析〗設(shè)抽出的樣本總?cè)藬?shù)為人，則由題意可得，解得，所以抽出的老年職工的人數(shù)為人.故選：A.2.已知點E為平行四邊形對角線上一點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因，又，所以.故選：A.3.小明同學(xué)統(tǒng)計了他最近次的數(shù)學(xué)考試成績，得到的數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將次的數(shù)學(xué)考試成績由小到大排序依次為：、、、、、、、、、，因為，因此，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是.故選：B.4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以由正弦定理得，得，因為，，所以，所以或，則或．故選：D．5.盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯”四個字，有放回地從中任取一張卡片，直到“紙”“硯"兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1，2，3，4代表“筆墨紙硯”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：343432314134234132243331112324342241244342124431233214344434由此可以估計，恰好第三次結(jié)束時就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，其中恰好第三次結(jié)束時就停止的隨機數(shù)有：314，134，234，243，324，共5個，由此可以估計，恰好第三次結(jié)束時就停止的概率為．故選：C．6.《九章算術(shù)》作為古代中國的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”．今有圓亭，上下底面圓直徑分別為18寸，30寸，圓亭母線長為10寸(取)，則該圓亭的表面積和體積分別約為（）A.1368平方寸3528立方寸 B.1638平方寸4410立方寸C.1638平方寸3528立方寸 D.1368平方寸4410立方寸〖答案〗C〖解析〗由題意圓亭的上、下底面圓半徑分別為9寸，15寸，圓亭圓臺母線長為10寸，則該圓亭的高寸，故該圓亭的表面積平方寸，體積為立方寸．故選：C．7.已知是邊長為a的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE并延長到點M，使得，連接DF并延長到點N，使得，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，又點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，即，，，.故選：B.8.已知矩形，，，將沿折起到．若點在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在矩形中，，，過點作于，交邊于，如圖，，，所以，，，所以，，則，則，把沿折起到的過程中，，，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，點在平面上的射影在直線上，因為點在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則當(dāng)平面時，點到平面的距離最大，于是，當(dāng)平面時，點到平面的距離最小，如圖，此時，于是，從而，而，所以，.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限B.記的共軛復(fù)數(shù)為，則C.若，則D.若，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，(O為坐標(biāo)原點)，則〖答案〗BC〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故A錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則，故B正確；由，得，故C正確；若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為為坐標(biāo)原點），則，故，故D錯誤．故選：BC．10.從裝有3個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，則下列敘述正確的是（）A.取出的兩個球同為紅色和同為黑色是兩個互斥而不對立的事件B.至多有一個黑球與至少有一個紅球是兩個對立的事件C.事件A＝“兩個球同色”，則D.事件B＝“至少有一個紅球”，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，兩球同時為紅球和為黑球不可能同時發(fā)生，并且除了這兩個事件，實驗還會發(fā)生一個事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時為紅球和為黑球的事件為互斥而不對立事件，A正確；對于B，至多有一個黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對立事件為兩黑球，B錯誤；對于C，記3個紅球為a，b，c，2個黑球為d，e，則任取2個球的結(jié)果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個，事件A發(fā)生的結(jié)果有ab，ac，bc，de，共4個，所以，C正確；對于D，事件的對立事件的結(jié)果有de，共1個，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.已知的內(nèi)角A，B，C所的對邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個命題中正確的是（）A.是鈍角三角形 B.面積為C.外接圓面積為 D.若D為AB中點，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，，，所以，所以，因為，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確；對于B，由選項A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確；對于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯誤；對于D，因為D為AB中點，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點，點Р為線段上的動點，則（）A.兩條異面直線和所成的角為 B.不存在點P，使得平面BEPC.對任意點Р，平面平面BEP D.點到直線的距離為4〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A正確；對于B，當(dāng)點P與點重合時，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B錯誤；對于C，連接，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對任意點，平面平面，所以C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，又，所以，所以點到直線的距離，所以D正確．故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程()的一個根，則__________．〖答案〗4〖解析〗將代入方程，得，即，所以，得，，所以．故〖答案〗為：4．14.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)3，5，7，則此時方差_________．〖答案〗2.9〖解析〗設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以，當(dāng)加入新數(shù)據(jù)3，5，7后，平均數(shù)，方差．故〖答案〗為：2.9．15.在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為_________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故〖答案〗為：．16.已知中，，，，M是AB的中點，P為線段DC上的動點，則的取值范圍是__________；延長DC至，使，若T為線段上的動點，且恒成立．則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：中，2，，所以，即，，設(shè)，則，所以，由，得，所以的取值范圍是；設(shè)，則，所以，所以不等式化為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取“＝”，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．）17.已知平面向量滿足，，且．（1）求在方向上的投影向量；（2）若，求實數(shù)的值．解：（1）由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.（2）因為，所以，化簡得，所以，解得.18.甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場時，該隊獲勝，比賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.8，客場取勝的概率為0.4，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）求前2場比賽，甲至少贏得一場的概率；（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時，求甲獲勝的概率．解：（1）設(shè)前2場比賽，甲至少贏一場為事件A，，或者.（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時，設(shè)甲獲勝為事件B，甲獲勝的比分可以是4∶2或者4∶3，若是4∶2，第五場和第六場，甲連贏兩場，則甲獲勝概率為：，若是4∶3，第五場和第六場，甲乙各贏一次，第七場甲贏了，則甲獲勝概率為：，所以，當(dāng)雙方總比分為2∶2時，甲獲勝的概率.19.某校舉行了一次高一年級數(shù)學(xué)競賽，筆試成績在分以上（包括分，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績低于分的學(xué)生中，通過分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．解：（1）由，解得，這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．（2）分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分