2024屆廣東省廣州市高三上學期調研測試數(shù)學試題及答案

2024屆廣州市高三年級調研測試數(shù)學本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.zzz2，zz，則（）z1.已知復數(shù)滿足A1B.2C.5D.25，xMxy12xNyyeMN2已知集合，則（）121212,,A.B.C.D.a4，btaj3.已知向量，若與b共線，則向量ab在向量上的投影向量為（）A.j4.已知函數(shù)B.jC.2jD.2jbab0是奇函數(shù)，則（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0D.ab05.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數(shù)構成數(shù)列，且anan1a為等n1的前100項和為（差數(shù)列，則數(shù)列）an第1頁/共5頁9950200101A.B.C.D.6.直線l:y2與圓C:xy6x70交于A，B兩點，則的取值范圍為（）22D.23,87,427,83,4A.B.C.π15350，sin7.已知，，則的值為（）2351AB.C.D.22531fxx3ax2x1在區(qū)間2上存在極小值點，則a的取值范圍為（8.若函數(shù)）354554,2D.A.B.C.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機調查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h圖，則（）A.圖中a的值為0.015B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為198.4第2頁/共5頁D.在被調查的用戶中，用電量落在230內的戶數(shù)為108x22y21a0的左、右焦點別為F1FF，過點的直線l與雙曲線E的右支相2210.已知雙曲線E:，a2P,Q交于兩點，則（）A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a2B.若E的離心率為3，則E的實軸長為1FPF90PFPF412C若，則121周長的最小值為82aD.當變化時，3π,1π4fxsin）Px的圖象的一個對稱中心，則（b011.已知點是函數(shù)83π8fx1是奇函數(shù)A.B.28k，kN*333ππ88C.若在區(qū)間fx,上有且僅有2條對稱軸，則2π2π55143D.若在區(qū)間上單調遞減，則2或fx,ABCDCDAABC，，的中11112.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱1111點，Q為平面PMN上的動點，且直線與直線1的夾角為，則（）1DB1A.平面PMN第3頁/共5頁B.平面PMN截正方體所得的截面面積為33πC.點Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為332三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線C:y點）的面積為2，則22pxp0的焦點為F，點M在C上，x軸，若（O為坐標原p______.514.2x2xy的展開式中x5y2的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.PABC平面，，615.已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，6AB26，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.6fxe2x2ax2e16.已知函數(shù)xa2x2a0恰有兩個零點，則a______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．的前項和為，且Sn1.aSn2an17.設數(shù)列nn（1）求數(shù)列的通項公式；ana,為奇數(shù)（2）若數(shù)列滿足bn2n，求數(shù)列的前2n項和bn.b2nna,為偶數(shù)n18.如圖，在四棱錐P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱錐42B的體積為.3（1）求點P到平面ABCD的距離；PADABCDNAN2NPNCD，求平面與平面（2）若PAPD，平面平面，點在線段AP上，ABCD夾角的余弦值.第4頁/共5頁bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知πC.2πBA（1）求證：；2（2）求AsinBsinC的取值范圍.20.已知函數(shù)fxx2xax.yfx在點f0（1）當a0時，求曲線處的切線方程；fx0，求a的取值范圍.1x0（2）當時，21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．甲同學可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開．當甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應一次性購買多少個盲盒？Px,y是平面內的動點.若以PF為直徑的圓與圓F3,022.在平面直角坐標系4內切，記點P的軌跡為曲線E．（1）求E的方程；中，點，點O:x2y2（2）設點，，，直線A0,1Mt,0N4t,0t2AM，AN分別與曲線E交于點S，T（S，T異于A，垂足為H，求的最小值．第5頁/共5頁2024屆廣州市高三年級調研測試數(shù)學本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.zzz2，zz，則（）z1.已知復數(shù)滿足A.1B.2C.5D.25【答案】C【解析】z【分析】由條件求得，即可計算模長.【詳解】∵zz2，zz，∴，2z2，z1iz12(2)25.∴故選：C.，xMxy12xNyyeMN2.已知集合，則（）121212,,D.A.B.C.【答案】A【解析】M,NMN.【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域求得，進而求得第1頁/共25頁1212【詳解】由12x0，解得x，所以Mx|x，y|y0，而y=ex0，所以N1MN.所以2故選：Aa4，btaj3.已知向量，若與b共線，則向量ab在向量上的投影向量為（）A.jB.jC.2jD.2j【答案】C【解析】j【分析】根據(jù)a與b共線，可得t40，求得t2，再利用向量ab在向量上的投影向(ab)jj量為，計算即可得解.jja2,4，bt，【詳解】由向量若a與b共線，則t40，所以t2，ab(2)，j0,1上的投影向量為：所以向量ab在向量(ab)jj(1,2)j2j，jj1故選：C4.已知函數(shù)bab0是奇函數(shù)，則（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0ab0D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得正確答案.x|x，【詳解】的定義域為fx第2頁/共25頁由于是奇函數(shù)，所以fxfx0，fxbbb3xb所以aa2axx13x13x131b13x2a2ab0.x31故選：B5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數(shù)構成數(shù)列，且anan1a為等n1的前100項和為（差數(shù)列，則數(shù)列）an9950200101A.B.C.D.【答案】D【解析】an【分析】根據(jù)累加法求得，利用裂項求和法求得正確答案.aaa6aaaa3【詳解】，，1232132an12n11n1，n由于aa為等差數(shù)列，所以n1nann1a1aaaaaan所以21321n123nna，也符合，12nn11211an,2所以，2nnn1nn11111111200101101的前1002121所以數(shù)列項和為.an223100101故選：D6.直線l:y2與圓C:xy6x70交于A，B兩點，則的取值范圍為（）22第3頁/共25頁D.23,87,427,83,4A.B.C.【答案】D【解析】【分析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，即可求出的取值范圍.【詳解】由題易知直線l:y2恒過，M22y26x70化為標準方程得C:x32y216，圓C:x即圓心為，半徑r4，C3,0M2距離CM22134，圓心到3002M2在圓C所以內，則直線l與圓C交點弦最大值為直徑即8，最小時即為圓心到直線距離最大，即CMl時，此時2421323，23,8所以的取值范圍為.故選：Dπ130，sintan，則7.已知，的值為（）255351A.B.C.D.2253【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.1cossinsin【詳解】，5第4頁/共25頁35sinsinsin，cossinsinsincossin1，分子分母同時除以得：31tantan13①，0πππ000，所以由于，所以，222π022345所以cos，15sin34tan所以，tantan1tantan333,tantantantan即，代入①得：4441tantan13tantan33.3，解得tantan544故選：B1fxx3ax2x1在區(qū)間2上存在極小值點，則a的取值范圍為（8.若函數(shù)）354554,2D.A.B.C.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的零點、的極值點的情況列不等式，由此求得的取值范圍.fxfxa1fxx3ax2x1fxx22ax1，，【詳解】3fxx22ax1xay，與軸的交點為，的開口向上，對稱軸為當a0時，在區(qū)間上，￠，單調遞增，f(x)>0fxa0沒有極值點，所以，第5頁/共25頁要使在區(qū)間2上存在極小值點，則x22ax10在2有兩個不等的正根，fxfxa0Δ4a240541a則需，解得，0a2f254a05所以a的取值范圍是.4故選：A1）確定2）計算導數(shù)fx3）求出fx0fx4）用fx的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內的符號，進fx0的根將fx而確定5）根據(jù)單調區(qū)間求得的極值點.fxfx二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機調查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h圖，則（）A.圖中a的值為0.015B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為198.4D.在被調查的用戶中，用電量落在230內的戶數(shù)為108【答案】AC【解析】第6頁/共25頁【分析】根據(jù)頻率直方圖，結合各個統(tǒng)計量的含義，逐項分析判斷即可.20(0.0060.0070.010.012a)1，【詳解】對A，所以a，故A正確；對B設樣本的第25百分位數(shù)約為b則200.0070.140.2520(0.0070.012)0.380.25，b170,190，故B錯誤；所以0.0071800.0122000.0152200.012400.006)198.4對C，樣本平均數(shù)為：故C正確；，對D，用電量落在230內的戶數(shù)為：20(0.0120.015200148，故D錯誤.故選：ACx22y21a0的左、右焦點別為F1FF，過點的直線l與雙曲線E的右支相2210.已知雙曲線E:，a2P,Q交于兩點，則（）A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a2B.若E的離心率為3，則E的實軸長為1FPF90PFPF412C.若，則121周長的最小值為82aD.當變化時，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，b2，bab2A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；a222cc22a2b2bB選項，若E的離心率為e113，aaaa2a第7頁/共25頁解得a1，所以實軸長2a2，故B錯誤；PF22a1FPF90C選項，若，則，1222PFPF4c21224c24a2b24整理得，故C正確；1212PFPF2a12D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，2a12PFPQ4a,PF4aPQ兩式相加得所以1，11114a2周長為，b24PQ1FPQ當時，取得最小值，2aa88所以4a2PQ4a24a82，aa84a當且僅當，即a2時，等號成立，a所以1周長的最小值為82，故D正確.故選：ACD3π,1π4fxsin）Px的圖象的一個對稱中心，則（b011.已知點是函數(shù)83π8fx1A.B.28k，kN*333ππ88C.若在區(qū)間fx,上有且僅有2條對稱軸，則2π2π55143D.若在區(qū)間上單調遞減，則2或fx,【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)的對稱中心求得,，根據(jù)奇偶性、對稱性、單調性等知識確定正確答案.fx第8頁/共25頁3π,1π4fxsinPx的圖象的一個對稱中心，b0【詳解】依題意，點是函數(shù)83π8π43ππ28所以b1，且sinπ,k,kN*①，B選項正確.84332833πfxsinkx則kN，*43π828333ππ84fx1sinkx所以28πsinkx12k，3323π82833π由于12k是奇數(shù)，所以fx1sinkx12k是偶函數(shù)，2A選項錯誤.3π11π3πππ11ππx,xC選項，，888448428k,kN*將代入得：333π28π28833433π11π28πkkkx，483342833π8π2ππkxπ整理得，4333ππ由于在區(qū)間fx,上有且僅有2條對稱軸，883π8π2π5π13161916kN*，所以k1，所以對應，解得，由于k2332282，所以C選項正確.33π2πD選項，在區(qū)間fx,上單調遞減，552ππ2πππππ2ππx,x,x，55528554454k,kN*將代入得：33π28π28kkxπ2π28πk，53343345334第9頁/共25頁8π7π28kxπ16ππkk整理得，1560334156016ππ8π7π60178kkπ，解得1kk2，則，而kN，所以k1或*1560158π7π16ππ37π21π606020k,k,k1時，，符合單調性，1560158π7π16ππ71π127π606060k2時，15k,k,k2，不符合單調性，所以舍去60152812所以，所以D選項錯誤.33故選：BCABCDCDAABC，，的中11112.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱1111點，Q為平面PMN上的動點，且直線與直線1的夾角為，則（）1DB1A.平面PMNB.平面PMN截正方體所得的截面面積為33πC.點Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為332【答案】ABD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面PMN的法向量，得到線面垂直；B選項，作出輔助線，找到平面PMN截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到點Q的軌跡，并求出軌跡長度；D選項，由對稱性得到平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在第10頁/共25頁，由1DRt,t,tRSt得到方程，求出半徑的最大值上，設球心為.,DC,x,y,z【詳解】A選項，以D為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，1，P2,0,M2,N0,1,D0,0,0,B2,2,212,2,2,PM1,2,PN2,1故.1，設平面PMN的法向量為mx,y,zmx,y,z1,2xy2z0則，mx,y,z2,1x2yz01，xy1m令z1得，，故DB2m1因為，故平面PMN，A正確；1AD,AB,CCE,F,QMQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,1B,CD，連接，1B選項，取的中點111CDAABC的中點，因為M，N，P分別是棱，，111NF//1B,//CDCD//EP//AB所以所以，又，111NF////EPPMN截正方體所得的截面為正六邊形，，所以平面32233，B正確；其中邊長為2，故面積為64第11頁/共25頁C選項，Q為平面PMN上的動點，直線與直線1的夾角為，13DB1PMN又平面，設垂足為S，以S為圓心，r1S為半徑作圓，3即為點Q的軌跡，1BDBD44423BSBD3其中，由對稱性可知，，111123故半徑r31，3故點Q的軌跡長度為2π，C錯誤；CDAABCD選項，因為M，N，P分別是棱，，的中點，111所以平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，不妨求能放入含有頂點D的空間幾何體的球的半徑最大值，1A1D該球與平面PMN切與點S，與平面，平面ADCB，平面相切，11Rt,t,t上，設球心為，則半徑為，tBD1由對稱性可知，球心在第12頁/共25頁33，故t，即，解得31tt，SRSt233故球的半徑的最大值為，D正確.2故選：ABD【點睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線C:y點）的面積為2，則【答案】2222pxp0的焦點為F，點M在C上，x軸，若（O為坐標原p______.【解析】ppp2pF(,0)xy，帶入面積公式S【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，計算即可224得解.ppF(,0)xyp，【詳解】由，令得221pp2所以Sy2，2242p8，p22.所以故答案為：22514.2x2xy的展開式中x52y的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】120【解析】第13頁/共25頁【分析】根據(jù)二項式展開式有關知識求得正確答案.2x5y2x2xy2，【詳解】由于所以2x2所以2x2xy的展開式中含x5225y2的項為C522x2C13x1C22y120xy2，55xy的展開式中x5y2的系數(shù)為120.故答案為：12015.已知三棱錐PABC平面，，6的四個頂點均在同一球面上，6AB26，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.6【答案】36π【解析】16外接圓圓心OO作OO1OO1PC平面O為三棱錐1122PABC的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.【詳解】如圖根據(jù)題意，平面，6PAC所成角，則sinPAC所以即為與平面，6又因為6，AB26，6PC所以sinPACAP6，則ACAP2PC230,6AP又AC230AB2BC2ABBC，即三角形為直角三角形，AC中點O，則O取為三角形1外接圓圓心，1PC6取AP中點O，則OOPC，且OO1，122第14頁/共25頁所以，即O為三棱錐PABC的外接球球心，226302其半徑R22O21A29，2PABC4R36π.所以三棱錐的外接球的表面積為2故答案為：36πfxe2x2ax2e16.已知函數(shù)xa2x2a0恰有兩個零點，則a______.e2【答案】2【解析】【分析】利用導數(shù)，求出的單調區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的fxfxfx交點，從而建立等量關系求解可得.fxe2x2ax2e【詳解】因為xa2x2a0，所以fx2e2x2aexx2x2eaxeaxx2e2axy0axyxax，則yexa，令令，xay0yex故當時，函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，0ye，函數(shù)xayxax當時即當xa時函數(shù)yx，ax有最小值a1aa1a0若0aefx時0fx，此時函數(shù)，即，即在R上為增函數(shù)，與題意不符；yeax,a0與x軸有兩個不同交點，a1a0若aex時，此時函數(shù)1e1x2設交點為x,0,x,0，且01，即，12e22xxxxy0f(x)>0，即，此時函數(shù)fx為增函數(shù)，所以當或時21當1，即fx0，此時函數(shù)fx為減函數(shù)，x2時y0依題意，函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即或，fxfxf10fx02所以2120或e222a22e2a220，e212ax2e1a21第15頁/共25頁e1e2x2化簡得12或，所以a，212e2故答案為：.2【點睛】根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：設Fxfxgx方法一：轉化為函數(shù)與x軸交點個數(shù)問題，通過求解單調性構造不等式求解；FxFxyfx,ygx的交點個數(shù)問題求解.方法二：轉化為函數(shù)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．的前項和為，且Sn1.aSn2an17.設數(shù)列nn（1）求數(shù)列的通項公式；ana,為奇數(shù)（2）若數(shù)列滿足bn2n，求數(shù)列的前2n項和bn.b2nna,為偶數(shù)n2n1an【答案】（1）123（2）2n22n12nn3【解析】1,n1ana.n1）根據(jù)求得SS,n2nn1（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【小問1詳解】S2a1依題意，，nn當n1時，a2aa1，111當n2時，S2n11，n1aSS2a2a,a2an2，n1所以nnn1nn1n所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an2n1a，也符合.1an所以第16頁/共25頁2n1an所以.【小問2詳解】n為奇數(shù)b由（1）得，所以n2n,為偶數(shù)122n12n0242n2223214142n02n2n224nn2n313222n1n2n.3318.如圖，在四棱錐P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱錐42B的體積為.3（1）求點P到平面ABCD的距離；PADABCDNAN2NPNCD，求平面與平面（2）若PAPD，平面平面，點在線段AP上，ABCD.夾角的余弦值【答案】（1）26（2）3【解析】1）根據(jù)等體積法求得點P到平面（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面【小問1詳解】ABCD的距離；NCDABCD夾角的余弦值.與平面設點P到平面ABCDh，第17頁/共25頁13423則BPhS，12SABBC4由題可知，PABDSABD42h2，所以4所以點P到平面【小問2詳解】ABCD的距離為2.PAPD,PMAD取AD的中點M，連接，因為，又平面PAD平面ABCD且交線為，由（1）知PMAD，PM平面PAD，PMAD，所以平面ABCD2.4222222，由題意可得BD22,AD2BD2AB2，所以ADBD.所以AD以D點為坐標原點，DA為x軸，DB為y軸，過點D作，z的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角A22,0,0,P2,2,C2,2,0坐標系，則232232232,2,0,AP2,2,ANAP,0,，依題意423223DAAN,0,所以.x,y,zNCDn設平面的法向量為，1111n2x2y01112232，n則，故可設4231n1101平面的一個法向量為n0,1，ABCD2NCDABCD的夾角為設平面與平面，nn26cosn,n12則，1261nn3126NCDABCD夾角的余弦值為所以平面與平面.3第18頁/共25頁bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知πC.2πBA（1）求證：；2（2）求AsinBsinC的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）2,3【解析】cosAsinB1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設中的邊角關系化簡為，結合誘導公式及ππCBA可證.22πBAcosAsinB，結合誘導公式和二倍角余弦公式將（2）根據(jù)及2π2π221232AsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A化為2A，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質求解即可.【小問1詳解】因為bsinBcsinCasinAbsinBsinC，由正弦定理得，b2c2a2bcsinB，由余弦定理得b2c2a2bcAbcsinB，πcosAsinBAsin()，所以sin()sinB所以，又.22ππ又0Aπ，0Bπ，所以AB或ABπ，22ππABBA所以或，22πππ又C，所以ABπCBA，所以，得證.222第19頁/共25頁【小問2詳解】ππBA，所以CπAB2A由（1）知，22π2π2cosAsinBAsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A又，所以212322cosAcos2A2cos2A2cosA12A，Aπ0ππ20BAπcosA10A因為，所以，所以，242π0C2Aπ212232A,1單調遞增，因為函數(shù)y2A在22222213123123所以222A213，22222所以AsinBsinC的取值范圍為2,3.20.已知函數(shù)fxx2xax.yfx在點處的切線方程；f0（1）當a0時，求曲線fx0，求a的取值范圍.1x0（2）當時，【答案】（1）（2）,2.【解析】2xy0；x2x1f(x)ln(x處的切yf(x)在1線方程．x2x111xf(x)ln(xag(x)f(x)(x(0)g(x)0，（2x1(x2(x2故f(x)在(0)上為減函數(shù)，討論a2和a2時函數(shù)的單調性，即可得解.【小問1詳解】第20頁/共25頁因為a0，所以f(x)(x2)x，f(0)(02)ln10x2，，由切點為0201f(x)ln(xf(0)ln(02，，所以x1yf(x)在處的切線方程為y02(x0)，所以曲線即2xy0．【小問2詳解】x2x1f(x)ln(xag(x)f(x)(x(0))，令由則11xg(x)20，x1(x(x2故f(x)在x(0)上為減函數(shù)．又f2a，f(x)f(0)0f(x)(0)在①當a2時，，故上為增函數(shù)，f(x)f(0)0所以恒成立，故a2符合題意；f(0)2a0②當a2時，由于，1a1ea2fe時aaae2a10a由1ea10且當，，t(0)ft)0根據(jù)零點存在定理，必存在，使得由于f(x)在(0)上為減函數(shù)，x(t)f(x)0xt,0)f(x)0，時故當時，，x(t)故f(x)在上為增函數(shù)，xt,0)上為減函數(shù)f(x)在所以當xt,0)時，f(x)f(0)0，故上不恒成立，f(x)0在(0)所以a2不符合題意．,2．a(chǎn)綜上所述，實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查導數(shù)的幾何意義，同時考查恒成立問題，是難題．本題的關鍵有：第21頁/共25頁（1）二次求導，利用二次求導得出導函數(shù)的單調性；（2）分類討論，找到討論點是關鍵，本題討論點為a2和a2.21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．甲同學可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開．當甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應一次性購買多少個盲盒？【答案】（1）分布列詳見解析（2）買2個【解析】1）根據(jù)獨立重復試驗概率計算公式、排列組合數(shù)的計算公式求得X的分布列.（2.【小問1詳解】由題意可知X所有可能取值為2,3,4，313A233C1249A33329234PX,PX,PX,3233所以X的分布列如下：X234134929P【小問2詳解】x設甲一次性購買個吉祥物盲盒，集齊