中考數(shù)學二輪復習幾何模型歸納講練專題22 解直角三角形模型之實際應用模型（教師版）

專題22解直角三角形模型之實際應用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線,構造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應用模型。模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關鍵.【重要關系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考數(shù)學真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為SKIPIF1<0，看底部C的俯角為SKIPIF1<0，無人機A到該建筑物SKIPIF1<0的水平距離SKIPIF1<0為10米，求該建筑物SKIPIF1<0的高度．（結果精確到SKIPIF1<0米；參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

【答案】該建筑物SKIPIF1<0的高度約為SKIPIF1<0米【分析】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊的性質(zhì)，得到SKIPIF1<0米，再利用銳角三角函數(shù)，求出SKIPIF1<0米，即可得到該建筑物SKIPIF1<0的高度．【詳解】解：由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，答：該建筑物BC的高度約為SKIPIF1<0米．

【點睛】本題考查的是解直角三角形——仰俯角問題，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握直角三角形的特征關鍵．例2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓SKIPIF1<0的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部SKIPIF1<0米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓SKIPIF1<0的頂部B處的俯角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0米．已知目高SKIPIF1<0為SKIPIF1<0米．

(1)求教學樓SKIPIF1<0的高度．(2)若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于SKIPIF1<0的方向，以SKIPIF1<0米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線SKIPIF1<0．【答案】(1)教學樓SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0米(2)無人機剛好離開視線SKIPIF1<0的時間為12秒【分析】（1）過點B作SKIPIF1<0于點G，根據(jù)題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，通過證明四邊形SKIPIF1<0為矩形，得出SKIPIF1<0米，進而得出SKIPIF1<0米，最后根據(jù)線段之間的和差關系可得SKIPIF1<0，即可求解；（2）連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0于點H，先求出SKIPIF1<0米，進而得出SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0米，即可求解．【詳解】（1）解：過點B作SKIPIF1<0于點G，根據(jù)題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），答：教學樓SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0米．（2）解：連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0于點H，∵SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），∵無人機以SKIPIF1<0米/秒的速度飛行，∴離開視線SKIPIF1<0的時間為：SKIPIF1<0（秒），答：無人機剛好離開視線SKIPIF1<0的時間為12秒．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．例3．（2023年湖北中考數(shù)學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形SKIPIF1<0，斜面坡度SKIPIF1<0是指坡面的鉛直高度SKIPIF1<0與水平寬度SKIPIF1<0的比．已知斜坡SKIPIF1<0長度為20米，SKIPIF1<0，求斜坡SKIPIF1<0的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）

【答案】斜坡SKIPIF1<0的長約為10米【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用正弦函數(shù)求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米）．答：斜坡SKIPIF1<0的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學真題）無人機在實際生活中的應用廣泛，如圖所示，某人利用無人機測最大樓的高度SKIPIF1<0，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80米，點A處俯角為SKIPIF1<0，樓頂C點處的俯角為SKIPIF1<0，已知點A與大樓的距離SKIPIF1<0為70米（點A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度SKIPIF1<0（結果保留根號）

【答案】大樓的高度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0．【分析】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．【詳解】解：如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，

則四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴大樓的高度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關鍵．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心SKIPIF1<0處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達樹的最高點SKIPIF1<0．

(1)在圖1中，過點SKIPIF1<0畫出水平線，并標記觀測SKIPIF1<0的仰角SKIPIF1<0．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地SKIPIF1<0米，站在SKIPIF1<0處觀測SKIPIF1<0的仰角為（1）中的SKIPIF1<0，向前走SKIPIF1<0米到達SKIPIF1<0處，此時觀測點SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，求樹SKIPIF1<0的高度．（注：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)樹SKIPIF1<0的高度為5.25米【分析】(1)根據(jù)互余的性質(zhì)計算即可．(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0米．設SKIPIF1<0米．解直角三角形求解即可．【詳解】（1）如圖1；SKIPIF1<0；

（2）如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0米．設SKIPIF1<0米．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米），SKIPIF1<0（米），解得SKIPIF1<0．答：樹SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0米．【點睛】本題考查了仰角的解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的基本步驟是解題的關鍵．例2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點作于點，分別解、即可．【詳解】解：過點作于點．則四邊形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點睛】本題考查了關于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構造直角三角形是解題關鍵．例3．（2023年山東省青島市中考數(shù)學真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為SKIPIF1<0，點O是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．該校學生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為SKIPIF1<0，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為SKIPIF1<0．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬SKIPIF1<0的長度．（結果精確到SKIPIF1<0．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

【答案】SKIPIF1<0【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由此解出SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0的長．【詳解】解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，如圖，

依題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，檢驗：SKIPIF1<0是原方程的根．SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，答：太陽能電池板寬SKIPIF1<0的長度約為SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查了解直角三角形，理解題意，正確的作出輔助線構造直角三角形的，靈活運用銳角三角函數(shù)及勾股定理進行計算是解答此題的關鍵．例4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題）某中學依山而建，校門A處有一坡角SKIPIF1<0的斜坡SKIPIF1<0，長度為30米，在坡頂B處測得教學樓SKIPIF1<0的樓頂C的仰角SKIPIF1<0，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處測得C的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交水平線SKIPIF1<0于點D，求SKIPIF1<0的長（結果保留根號）．

【答案】SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0米【分析】作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，首先根據(jù)坡度求出SKIPIF1<0，并通過矩形的判定確定出SKIPIF1<0，然后通過解三角形求出SKIPIF1<0，即可相加得出結論．【詳解】解：如圖所示，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則由題意，四邊形SKIPIF1<0為矩形，

∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗，SKIPIF1<0是上述方程的解，且符合題意，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，準確構造出直角三角形并求解是解題關鍵．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的底部B點且俯角α為30°，從教學樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的頂部A點，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學樓AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由題意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的長約為4.5米，教學樓AB的高度約為19.8米．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）某數(shù)學興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架SKIPIF1<0放在離樹SKIPIF1<0適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架SKIPIF1<0上的點E處，然后沿著直線SKIPIF1<0后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，觀測者目高SKIPIF1<0的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0于點F，SKIPIF1<0于點B，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，則這棵樹的高度（SKIPIF1<0的長）是米．

【答案】4.1【分析】過點SKIPIF1<0作水平線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，再根據(jù)對應邊成比例解答即可．【詳解】過點SKIPIF1<0作水平線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，如圖，

∵SKIPIF1<0是水平線，SKIPIF1<0都是鉛垂線．∴SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），又根據(jù)題意，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0(米)．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，通過作輔助線構造相似三角形，并利用相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．例4．（2023年天津市中考數(shù)學真題）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔SKIPIF1<0前有一座高為SKIPIF1<0的觀景臺，已知SKIPIF1<0，點E，C，A在同一條水平直線上．某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為SKIPIF1<0，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的長；(2)設塔SKIPIF1<0的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段SKIPIF1<0的長（結果保留根號）；②求塔SKIPIF1<0的高度（SKIPIF1<0取0.5，SKIPIF1<0取1.7，結果取整數(shù)）．

【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用銳角三角函數(shù)定義求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而可求解；②過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．可證明四邊形SKIPIF1<0是矩形，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，利用銳角三角函數(shù)定義得到SKIPIF1<0，然后求解即可．【詳解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0．（2）解：①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0．②如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．根據(jù)題意，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．答：塔SKIPIF1<0的高度約為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構造直角三角形解決問題是解答的關鍵．課后專項訓練1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大仰角為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，則點SKIPIF1<0到桌面的最大高度是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，利用解直角三角形可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)點SKIPIF1<0到桌面的最大高度SKIPIF1<0，即可求得答案．【詳解】如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0到桌面的最大高度SKIPIF1<0，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是添加輔助線，構造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．2．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則房頂A離地面SKIPIF1<0的高度為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個軸對稱圖形，∴SKIPIF1<0m，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0房頂A離地面SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0，故選B．【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關鍵．3．（2023年山東省日照市中考數(shù)學真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角SKIPIF1<0，再沿SKIPIF1<0方向前進至C處測得最高點A的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則燈塔的高度SKIPIF1<0大約是（

）（結果精確到SKIPIF1<0，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0中，得出SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)正切得出SKIPIF1<0，求解即可得出答案．【詳解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0燈塔的高度AD大約是SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關鍵是弄清有關的直角三角形中的有關角的度數(shù)．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250SKIPIF1<0)米B．(600SKIPIF1<0－250)米C．(350＋350SKIPIF1<0)米D．500SKIPIF1<0米【答案】B【詳解】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即SKIPIF1<0，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．設EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=SKIPIF1<0x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=SKIPIF1<0CD．∴1200+x=SKIPIF1<0（500+SKIPIF1<0x），解得x=600﹣250SKIPIF1<0．∴DF=SKIPIF1<0x=600SKIPIF1<0﹣750．∴CD=DF+CF=600SKIPIF1<0﹣250（米）．∴山高CD為（600SKIPIF1<0﹣250）米．故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用（仰角俯角和坡度坡角問題）；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；待定系數(shù)法的應用．5．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高SKIPIF1<0的天橋，已知天橋斜面SKIPIF1<0的坡度為SKIPIF1<0，則斜坡SKIPIF1<0的長度為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】直接利用坡度的定義得出SKIPIF1<0的長，再利用勾股定理得出SKIPIF1<0的長．【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實際應用．由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關鍵．6．（2023·云南昆明·?？寄M預測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門SKIPIF1<0高6.5米，學生SKIPIF1<0身高1.5米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為SKIPIF1<0，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域SKIPIF1<0段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為SKIPIF1<0，則體溫檢測有效識別區(qū)域SKIPIF1<0段的長為（）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．10米 D．5SKIPIF1<0米【答案】B【分析】由題意得SKIPIF1<0米，分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用三角函數(shù)求出SKIPIF1<0，即可得解．【詳解】解：由題意得，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米．故選B．【點睛】此題考查解直角三角形的應用：仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．7．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，某飛機于空中SKIPIF1<0處探測到某地面目標在點SKIPIF1<0處，此時飛行高度SKIPIF1<0米，從飛機上看到點SKIPIF1<0的俯角為SKIPIF1<0飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行SKIPIF1<0米到達點SKIPIF1<0時，地面目標此時運動到點SKIPIF1<0處，從點SKIPIF1<0看到點SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，則地面目標運動的距離SKIPIF1<0約為米．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）

【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所述，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)正切的計算方法可求出SKIPIF1<0的值，在SKIPIF1<0中根據(jù)角的正切值可求出SKIPIF1<0的值，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴如圖所述，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查運用仰俯角的正切值計算邊的長度，掌握構成直角三角形，三角函數(shù)的計算方法是解題的關鍵．8．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學真題）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面SKIPIF1<0的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為SKIPIF1<0，尚美樓頂部F的俯角為SKIPIF1<0，已知博雅樓高度SKIPIF1<0為15米，則尚美樓高度SKIPIF1<0為米．（結果保留根號）

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】過點E作SKIPIF1<0于點M，過點F作SKIPIF1<0于點N，首先證明出四邊形SKIPIF1<0是矩形，得到SKIPIF1<0，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】如圖所示，過點E作SKIPIF1<0于點M，過點F作SKIPIF1<0于點N，

由題意可得，四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵博雅樓頂部E的俯角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點A是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，由題意可得四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵尚美樓頂部F的俯角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用構建方程的思想思考問題．9．（2023·浙江·校考三模）如圖1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD，BC是可轉(zhuǎn)動門寬，且AB＝2AD＝2BC．現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中SKIPIF1<0，且點A，C，D在一條直線上，測得A，C間的距離為SKIPIF1<0cm，則門寬AD＝_______．如圖3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，點P在AB上，且AP＝54cm，點M是AD上一動點，將點M繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°至M′，則CM′的最小距離是_______cm．【答案】

90cm

SKIPIF1<0【分析】（1）過點C作CE⊥AB，根據(jù)SKIPIF1<0，設CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三邊表示出來，再根據(jù)勾股定理可求出x，即可求解；（2）根據(jù)垂線段最短，可以連接CD，連接SKIPIF1<0，判斷當AP＝MP時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最小，通過解直角三角形即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，∵SKIPIF1<0，∴設CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，∴SKIPIF1<0，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案為：90cm；（2）如圖，連接CD，可知∠ACB＝90°，當AP＝MP時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最小，∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在AB邊上，連接SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，解題的關鍵是構造出直角三角形進行求解．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱SKIPIF1<0垂直地面SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0平行地面SKIPIF1<0，籃筺SKIPIF1<0與支架SKIPIF1<0在同一直線上，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的度數(shù)．(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面SKIPIF1<0米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；（2）延長SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，根據(jù)題意得出SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0比較即可求解．【詳解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴該運動員能掛上籃網(wǎng)．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．11．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發(fā)射塔的高度SKIPIF1<0（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發(fā)射塔的高度．問題解決任務1分析規(guī)劃選擇兩個觀測位置：點_________和點_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．任務2推理計算計算發(fā)射塔的圖上高度SKIPIF1<0．任務3換算高度樓房實際寬度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0米，請通過測量換算發(fā)射塔的實際高度．注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1SKIPIF1<0．【答案】規(guī)劃一：[任務1]選擇點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，測得圖上SKIPIF1<0；[任務2]SKIPIF1<0；[任務3]發(fā)射塔的實際高度為SKIPIF1<0米；規(guī)劃二：[任務1]選擇點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0．[任務2]SKIPIF1<0；[任務3]發(fā)射塔的實際高度為SKIPIF1<0米；【分析】規(guī)劃一：[任務1]選擇點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0,根據(jù)正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上SKIPIF1<0[任務2]如圖1，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0．根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可求解；[任務3]測得圖上SKIPIF1<0，設發(fā)射塔的實際高度為SKIPIF1<0米．由題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，規(guī)劃二：[任務1]選擇點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0．根據(jù)正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上SKIPIF1<0；[任務2]如圖2，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0．根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，然后根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，進而即可求解．[任務3]測得圖上SKIPIF1<0，設發(fā)射塔的實際高度為SKIPIF1<0米．由題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：有以下兩種規(guī)劃，任選一種作答即可．規(guī)劃一：