2024年中考數(shù)學壓軸題型（廣東專用）專題06 圓中證切線、求弧長面積、并與幾何綜合問題（含解析）

PAGE專題06圓中證切線、求弧長面積、并與幾何綜合問題通用的解題思路：1.圓與相似對于圓與相似相結合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構造基本圖形.2.圓與全等對于圓與全等相結合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構造基本圖形.3.圓的計算對于圓的計算的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構造基本圖形.1．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作圓．①如圖2，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，求證：SKIPIF1<0；②如圖3，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）由點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0可知點E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，繼而得到SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0；（2）①過點O作SKIPIF1<0于點F，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，先證明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，得到SKIPIF1<0，繼而得到SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，利用直角三角形兩銳角互余得到SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，最后利用含SKIPIF1<0度角的直角三角形的性質得出SKIPIF1<0；②先證明四邊形SKIPIF1<0是正方形，得到SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線得到SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用平行線的性質得到SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．【詳解】（1）∵點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，∴點E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，又∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴O是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）①過點O作SKIPIF1<0于點F，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，則SKIPIF1<0，

∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0為半徑，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②過點O作SKIPIF1<0于點H，

∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，又∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的面積為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查矩形的性質，圓的切線的性質，含SKIPIF1<0度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質與判定，中位線的性質定理，角平分線的判定定理等知識，掌握相關知識并正確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網格中，點O，A，B均在格點上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以O為圓心，SKIPIF1<0為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（點C在A的上方）；②連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D；③連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0交于點E．(1)求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線；(2)求SKIPIF1<0的長度．【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據題意作圖，首先根據勾股定理得到SKIPIF1<0，然后證明出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可證明出SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線；（2）首先根據全等三角形的性質得到SKIPIF1<0，然后證明出SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）如圖所示，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點D在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴解得SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．3．（2022·廣東深圳·中考真題）一個玻璃球體近似半圓SKIPIF1<0為直徑，半圓SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0處有個吊燈SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0(1)如圖①，SKIPIF1<0為一條拉線，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長度．(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0為切點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為入射光線，SKIPIF1<0為反射光線，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長度．(3)如圖③，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0為入射光線，SKIPIF1<0為反射光線交圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0從SKIPIF1<0運動到SKIPIF1<0的過程中，求SKIPIF1<0點的運動路徑長．【答案】(1)2(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，可得出D為SKIPIF1<0中點，即可得出SKIPIF1<0的長度；（2）過N點作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D，可得出SKIPIF1<0為等腰直角三角形，根據SKIPIF1<0,可得出SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0，再根據勾股定理即可得出答案；（3）依題意得出點N路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，推導得出SKIPIF1<0，即可計算給出SKIPIF1<0，即可得出答案．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線∴D為SKIPIF1<0的中點∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）過N點作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；（3）如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合．當點M運動至點A時，點N運動至點T，故點N路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴N點的運動路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓的性質，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運用是解題的關鍵．題型一圓中作圖問題1．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧SKIPIF1<0于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】(1)作圖見解析；(2)點O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是SKIPIF1<0【分析】(1)作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理推論可知該垂直平分線必經過點O；(2)由垂徑定理得到AF=CF，進而得到OF是△ACB的中位線，由此得到點O到AC的距離OF=SKIPIF1<0BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=SKIPIF1<0，最后在Rt△CDF中由SKIPIF1<0即得答案．【詳解】（1）解：①分別以A，C為圓心，適當長(大于AC長度的一半)為半徑作弧，記兩弧的交點為E；②作直線OE，記OE與SKIPIF1<0交點為D；③連結CD，則線段AC的垂線DE、線段CD為所求圖形，如下圖所示；（2）解：記OD與AC的交點為F，如下圖所示：∵OD⊥AC，∴F為AC中點，∴OF是△ABC的中位線，∴OF=SKIPIF1<0BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的長就是點O到AC的距離；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=SKIPIF1<0AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F為AC中點，∴CF=SKIPIF1<0AC=4，

Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴點O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓的基本性質、垂徑定理及其推論、勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等，屬于綜合題，欲求某角的某三角函數(shù)值，首先想到的應該是能否在直角三角形中進行，如果沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需要設法構造(作輔助圖形)．2．（2024·廣東廣州·一模）如圖，SKIPIF1<0為經過圓心SKIPIF1<0的一條線段，且與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點．(1)過SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的上方作SKIPIF1<0的切線，切點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點．請尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細步驟．(2)求證：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑．【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析；(3)SKIPIF1<0．【分析】（SKIPIF1<0）作線段SKIPIF1<0的垂直平分線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑畫圓，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作射線SKIPIF1<0，由直徑所對的圓周角是直角可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線，再根據過直線外一點作已知直線的垂線的方法可作出SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）證明SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，即可求證；（SKIPIF1<0）連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由根據SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可求解；本題考查了過圓外一點作圓的切線，過直線外一點作已知直線的垂線，圓周角定理，平行線的判定和性質，等腰三角形的性質，切線的性質，相似三角形的判定和性質，三角函數(shù)，正確畫出圖形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，SKIPIF1<0即為所求；（2）證明：如圖，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0（3）解：連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0直徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0切線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．3.（2024·廣東清遠·二模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0，點P在優(yōu)弧SKIPIF1<0上．(1)利用尺規(guī)作圖，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D．（不寫作法，但要求保留作圖痕跡）．(2)在（1）中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】本題考查了平行線做圖，平行線的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，熟練掌握相關圖形的性質并靈活運用是解題的關鍵．（1）運用尺規(guī)作出SKIPIF1<0即可；（2）根據平行線的性質和等腰三角形的性質即可得到SKIPIF1<0的度數(shù)，最后根據圓周角定理即可求出SKIPIF1<0的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖，點D即為所求；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4．（2024·廣東廣州·一模）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是圓上一點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點．(1)尺規(guī)作圖：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，交半圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交線段直徑SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0（保留作圖痕跡，不寫做法）；(2)點SKIPIF1<0是弧SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的值；②若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關鍵．（1）在半圓SKIPIF1<0上取點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，根據垂徑定理的推論可知SKIPIF1<0，由此即可完成作圖；（2）①連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，設的半徑為SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；②過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0是等腰直角三角形，解直角三角形得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可求解．【詳解】（1）解：如圖，在半圓SKIPIF1<0上取點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）解：①連接SKIPIF1<0，

∵D是SKIPIF1<0的中點∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經檢驗，SKIPIF1<0是方程的解，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．題型二圓與三角形的綜合問題1．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0內接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0．(1)試判斷SKIPIF1<0的形狀，并給出證明；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)SKIPIF1<0；【分析】（1）根據圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=SKIPIF1<0，∴AC=SKIPIF1<0，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=SKIPIF1<0，∴CD=SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關鍵．2．（2024·廣東惠州·一模）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，點C平分弧SKIPIF1<0，點D為弧SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點F，過C作射線SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0相交于點E，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）連接SKIPIF1<0，根據圓周角定理和切線的判定定理以及等腰三角形的性質即可得到結論；（2）利用已知條件和勾股定理可以得到SKIPIF1<0，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，切線的判定，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵．3．（2024·廣東廣州·一模）如圖，SKIPIF1<0內接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長．【答案】(1)證明見詳解；(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【分析】（1）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的垂直平分線上，得出SKIPIF1<0，再由等腰三角形的性質即可得出結論；（2）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，可得SKIPIF1<0，由圓周角定理得出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的長，由勾股定理求出SKIPIF1<0，利用平行線判定出SKIPIF1<0，由相似三角形的比值關系求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；由三角形的中位線定理求出SKIPIF1<0的長，再通過勾股定理求SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖所示：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的垂直平分線上，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；（2）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖所示：∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質及判定，三角函數(shù)等知識點，合理作出輔助線是解題的關鍵．4．（2024·廣東東莞·一模）如圖所示，在SKIPIF1<0的內接SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點P，交SKIPIF1<0于另一點B，點C是弧SKIPIF1<0上的一個動點（不與A，M重合），射線SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0的延長線于點D，分別連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點E．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求BC的長．【答案】(1)詳見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用圓周角定理得到SKIPIF1<0，再利用兩角分別相等即可證明相似；（2）連接SKIPIF1<0，先證明SKIPIF1<0是直徑，再求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長，接著證明，利用相似三角形的性質求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直徑，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓的相關知識、相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)、勾股定理等知識，涉及到了動點問題，解題關鍵是構造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系．5．（2024·廣東·一模）綜合探究：如圖，已知SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑作半圓O，半徑SKIPIF1<0繞點O順時針旋轉得到SKIPIF1<0，點A的對應點為C，當點C與點B重合時停止．連接SKIPIF1<0并延長到點D，使得SKIPIF1<0，過點D作SKIPIF1<0于點E，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當點E與點O重合時，判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；(2)如圖2，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的長；(3)如圖3，若點P是線段SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與半圓O相切時，判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關系，并說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0是等邊三角形，理由見解析(2)SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．理由見解析【分析】（1）由圓周角定理得到SKIPIF1<0，結合已知條件SKIPIF1<0和等腰三角形“三線合一”性質推知SKIPIF1<0，再由等腰“三線合一”性質得到SKIPIF1<0，即可得到結論；（2）分類討論：點E在線段SKIPIF1<0和線段SKIPIF1<0上，借助勾股定理求得SKIPIF1<0的長度；（3）由三角形中位線定理知SKIPIF1<0，又由切線的性質知SKIPIF1<0，根據平行線的性質即可得到答案．【詳解】（1）SKIPIF1<0是等邊三角形，理由如下：如圖1，SKIPIF1<0是圓O的直徑，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點E與點O重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當點E在SKIPIF1<0上時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當點E在SKIPIF1<0上時，同理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；綜上所述，BC的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．理由如下：如圖3，連接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0點C是SKIPIF1<0的中點，點O是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0與半圓O相切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定，等腰三角形三線合一性質，勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質等知識，根據點E的位置正確分類是解題的關鍵．題型三圓與平行四邊形的綜合問題1．（2024·廣東江門·一模）如圖，等腰SKIPIF1<0內接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的中線，過點C作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0的延長線于點E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．(2)求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線；(3)若SKIPIF1<0的半徑為5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)SKIPIF1<0．【分析】（1）證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質知SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．得出SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂直平分線．則SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，即可得證；（3）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．垂徑定理得出SKIPIF1<0，勾股定理得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據相似三角形的性質得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后求得SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；∴SKIPIF1<0．作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．

又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂直平分線．∴點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線；（3）解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂直平分線，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，切線的判定，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．2．（2024·廣東江門·模擬預測）綜合探究如圖，在扇形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．(2)當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上運動時，在SKIPIF1<0中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不存在，請說明理由．(3)求證：SKIPIF1<0是定值．【答案】(1)見解析；(2)存在，1；(3)見解析．【分析】本題主要考查圓的基本性質以及勾股定理：（1）道德證明四邊形SKIPIF1<0是矩形，得SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，得出四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（2）根據點A是SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0；（3）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，計算出SKIPIF1<0，進一步可得出結論【詳解】（1）證明：如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（2）解：存在，線段SKIPIF1<0的長度不變．∵點A是SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0