數(shù)學(xué)物理串講

復(fù)數(shù)的三種表示：代數(shù)表示，三角表示與指數(shù)表示幾個初等函數(shù)的定義式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0§SKIPIF1<0Cauchy-Riemann方程§1.4解析函數(shù)1．定義若復(fù)變函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0及其鄰域上處處可導(dǎo)，則稱SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點解析。注意：如果只在一點導(dǎo)數(shù)存在，而在其他點不存在，那么也不能說函數(shù)在該點解析。例如：函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點是否可導(dǎo)？是否解析？解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可見，僅在SKIPIF1<0，u、v可微且滿足C-R條件，即SKIPIF1<0僅于SKIPIF1<0點可導(dǎo)，但在SKIPIF1<0點不解析。在其他點不可導(dǎo)，則它在SKIPIF1<0點及整個復(fù)平面上處處不解析。某一點，函數(shù)解析SKIPIF1<0可導(dǎo)某一區(qū)域SKIPIF1<0，函數(shù)解析SKIPIF1<0可導(dǎo)2．解析函數(shù)的性質(zhì)（?。缀涡再|(zhì)（ⅱ）調(diào)和性（ⅲ）共軛性例已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0看書上例題§2.1復(fù)變函數(shù)的積分SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個實函數(shù)的線積分。因此復(fù)變函數(shù)積分也具有實變函數(shù)積分的某些性質(zhì)。一般說來，積分值不僅依賴于起點、終點。積分路線不同，其結(jié)果也不同?！?.2柯西定理的應(yīng)用§2.3不定積分§2.4柯西公式均屬于考試內(nèi)容！第三章冪級數(shù)展開SKIPIF1<0（1）比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法,D’Alember）引入收斂圓半徑：SKIPIF1<0 （3.2.3）（2）根值判別法（柯西判別法）引入收斂半徑：SKIPIF1<0 （3.2.6）§3.3泰勒級數(shù)的展開其他展開法可用任何方法展開，只要SKIPIF1<0項相同，那么展開結(jié)果一定相同（根據(jù)Taylor展開的唯一性）如利用SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0等等！例6將SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點鄰域展開（SKIPIF1<0）解：利用SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0例7SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點的鄰域展開解：SKIPIF1<0§3.5洛朗（Laurent）級數(shù)展開（1）展開中心z0不一定是函數(shù)的奇點；3展開方法的唯一性間接展開方法：利用熟知公式的展開法較常用例2將函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)展開為Laurent級數(shù)解：因為SKIPIF1<0內(nèi)展開，展開形式應(yīng)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0得到：SKIPIF1<0例3函數(shù)SKIPIF1<0在下列圓環(huán)域內(nèi)都是處處解析的，將SKIPIF1<0在這些區(qū)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0解：①SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)果中不含負(fù)冪次項，原因在于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)解析的。②由于SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0④由于SKIPIF1<0可知展開的級數(shù)形式為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0其他例子見書第四章留數(shù)定理（殘數(shù)，Residue）4.2應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分本章沒重點，但是考點在這節(jié)！第五章傅里葉變換§5.1Fourier級數(shù)（一）周期函數(shù)的Fourier展開若函數(shù)f(x)以2l為周期，即SKIPIF1<0，則可取三角函數(shù)族SKIPIF1<0（5.1.2）（其中函數(shù)都以2l為周期）

作為基本函數(shù)族，將f(x)展開為傅里葉級數(shù)SKIPIF1<0奇函數(shù)和偶函數(shù)的Fourier展開§5.2Fourier積分與Fourier變換記住基本的，最重要的公式，能理解即可！5.3SKIPIF1<0函數(shù)(又叫狄拉克函數(shù))SKIPIF1<0函數(shù)的性質(zhì)（見書,挑選性）第六章Laplace變換Laplace變換的應(yīng)用本章沒重點，但是考點在這節(jié)！第七章數(shù)學(xué)物理定解問題（1）依據(jù)物理規(guī)律（同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律），將具體的物理問題化為數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)物理方程，稱此方程為泛定方程（共性，一般規(guī)律）。（2）列出具體問題的初始條件（歷史狀態(tài)）和邊界條件（所處環(huán)境）稱為定解條件（個性）。（3）泛定方程提供解決問題的依據(jù)，定解條件提出具體的物理問題，作為一個整體，叫做定解問題?！尽ń鈼l件：邊界條件與初始條件——物理規(guī)律用偏微分方程表達(dá)出來，叫做數(shù)學(xué)物理方程——泛定方程（不帶定解條件的數(shù)學(xué)物理方程）——定解問題：在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程】§——本小結(jié)導(dǎo)出的偏微分方程主要分為三類（?。┮圆▌臃匠蹋?-6，14）為代表的雙曲型方程；齊次方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，就是振動在弦上傳播的速度。上式也稱為弦不受外力的橫振動方程（自由振動方程）比如弦在振動過程中還受到外加橫向力SKIPIF1<0（與SKIPIF1<0同方向）的作用，引入力密度SKIPIF1<0（7）修改為SKIPIF1<0 （8）

（7）稱為弦的自由振動方程，（8）稱為弦的受迫振動方程。再比如考慮重力，作用在此段上的重力為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，重力與SKIPIF1<0同向。則有：SKIPIF1<0。（ⅱ）以輸運(yùn)方程（擴(kuò)散，熱傳導(dǎo)，7，8）為代表的拋物型方程；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 （7.1.25）

如果僅在x方向有擴(kuò)散，則一維擴(kuò)散方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 （7.1.26）

（iii）穩(wěn)定場問題（PoissonandLaplaceequations）（九）穩(wěn)定的濃度分布見P147-148濃度在空間的分布構(gòu)成一個標(biāo)量場，在一般情況下，濃度分布SKIPIF1<0是時間的函數(shù)，遵從擴(kuò)散方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

如果擴(kuò)散源強(qiáng)度SKIPIF1<0不隨時間變化，擴(kuò)散運(yùn)動將持續(xù)進(jìn)行下去，最終將達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)?？臻g中各點的濃度不再隨時間變化，即SKIPIF1<0，則上式變?yōu)椴此煞匠蘏KIPIF1<0 （7.1.39）為泊松（Poisson）方程如果源與匯不存在，則得到Laplace方程：SKIPIF1<0。 （7.1.40）為Laplace方程?！?.2定解條件泛定方程表達(dá)同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律。從物理的角度看，僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動，因為物體的運(yùn)動還與起始狀態(tài)以及通過邊界所受到的外界作用有關(guān)。另外，從數(shù)學(xué)的角度看，一個微分方程的通解中往往含有若干個任意常數(shù)或任意函數(shù)，這就使得其解不能唯一確定，為了得到唯一確定的合理解，我們必須根據(jù)不同的實際問題加上相應(yīng)的條件——定解條件來確定這些任意常數(shù)的數(shù)值和任意函數(shù)的形式。定解條件即是初始條件和邊界條件的統(tǒng)稱，求解一個數(shù)理方程且滿足一定定解條件的解的問題稱為“定解問題”。初始條件某時刻，通常取t=0時，作為初始條件。波動方程的初始條件初始條件表示如下：SKIPIF1<0t=0時刻系統(tǒng)中各點“位移”SKIPIF1<0t=0時刻各點的“速度”輸運(yùn)方程的初始條件（如濃度溫度等）SKIPIF1<0——沒有初始條件的問題見P154-155——穩(wěn)定場方程無需提初始條件邊界條件第一類邊界條件SKIPIF1<0或常數(shù)弦的橫振動：如果弦的兩端固定，其邊界條件為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。第二類邊界條件SKIPIF1<0或常數(shù)即u在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)值.SKIPIF1<0表示外法線方向的單位矢量。SKIPIF1<0在一維問題中常以SKIPIF1<0代替。兩端壓力/拉力、自由等情況下的邊界條件講解！——熱傳導(dǎo)舉例設(shè)流入物體內(nèi)的熱流（單位時間通過單位截面積的熱量）為f(t),則邊界條件為：SKIPIF1<0流出：則有SKIPIF1<0具體到細(xì)長桿的熱傳導(dǎo)問題，如一端面x=0流入熱流為SKIPIF1<0，另一端(x=l)流出熱流為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例考慮長為SKIPIF1<0的均勻桿的導(dǎo)熱問題，若（1）桿的兩端溫度保持零度；（2）桿的兩端絕熱；(3)桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；試寫出該導(dǎo)熱問題在以上三種情況下的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為u(x,t)則（1）SKIPIF1<0（2）因為當(dāng)沿著桿長方向有熱量流動時由Fourier實驗定律（2.1.7）有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中q為熱流強(qiáng)度，而桿的兩端絕熱，就意味著桿的兩端與外界沒有熱交換亦即沒有熱量的流動（q=0），故有SKIPIF1<0（3）顯然，此時有SKIPIF1<0銜接條件也屬于考試范圍。定解問題的表述所謂定解問題，就是根據(jù)物理規(guī)律，分析問題的性質(zhì)、條件等導(dǎo)出相應(yīng)的方程（泛定方程）和應(yīng)滿足的初始條件，邊界條件等（定解條件）。SKIPIF1<0解的適定性：有解，唯一性，穩(wěn)定性?！?.4達(dá)朗內(nèi)爾公式（又叫行波法，定解問題）本節(jié)只要求掌握：在無界的情況下一維波動方程初值問題的Dalembert公式及其物理意義。（一）定解問題我們研究弦、桿、傳輸線等是“無限長的”，即在不存在邊界條件，只存在初始條件。研究這樣的定解問題SKIPIF1<0或?qū)懗蒘KIPIF1<0（此為雙曲型波動方程，見P164-165）求通解SKIPIF1<0此即一維無界波動方程的d’Alembert公式/解。例1求定解問題SKIPIF1<0解：由d’Alembert公式SKIPIF1<0數(shù)學(xué)物理定解的定解問題的求解方法行波法分離變量法冪級數(shù)的解法Green函數(shù)法積分變換法保角變換法變分法數(shù)值計算法第八章分離變數(shù)法（Fourier級數(shù)法）——基本思想：把偏微分方程分解為幾個常微分方程。其中有的常微分方程帶有附加條件而構(gòu)成本征值問題。本征值問題是分離變數(shù)法的核心?！菊聝H限于本征函數(shù)為三角函數(shù)的情況。主要介紹：一維波動方程、熱傳導(dǎo)方程和二維穩(wěn)態(tài)場方程的解法。（8.1）本小節(jié)總結(jié)一.分離變數(shù)法的思想、步驟

1.SKIPIF1<02.本征值問題==>本征值本征函數(shù)本征解3.疊加（得到一般解）用初始條件或非齊次邊界條件確定系數(shù)二.本征值問題（1）SKIPIF1<0見P143介紹部分（2）SKIPIF1<0見P147例1（3）SKIPIF1<0見P150例2（4）SKIPIF1<0未講（5）SKIPIF1<0未講（6）SKIPIF1<0三.研究內(nèi)容本節(jié)主要研究了齊次方程的定解問題，求本征值問題中用到（且限于）齊次邊界條件，具體包括：一維波動和一維熱傳導(dǎo)（有界，含時），二維穩(wěn)定場（有界，不含時）四.矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題（例3）疊加原理：（思想）SKIPIF1<0即SKIPIF1<0五.（以上所有求解均是在直角坐標(biāo)系下的討論）曲線正交坐標(biāo)系中的SKIPIF1<0表達(dá)式（1）柱坐標(biāo)系SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0（2）在平面極坐標(biāo)系中SKIPIF1<0SKIPIF1<0重點研究了：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0處理了圓域穩(wěn)定場問題的分離變數(shù)法。（3）在球坐標(biāo)系中SKIPIF1<0SKIPIF1<08.2非齊次振動方程和輸運(yùn)方程本節(jié)：非齊次振動方程和輸運(yùn)方程的定解問題的解法(僅限于齊次的邊界條件)（一）（Fourier級數(shù)法）本征函數(shù)法強(qiáng)迫振動是一個非齊次方程。設(shè)弦長為SKIPIF1<0，兩端固定。垂直方向受的外力分布為：SKIPIF1<0。起始位移為SKIPIF1<0，初始速度為SKIPIF1<0，則定解問題的表述為：SKIPIF1<0現(xiàn)用本征函數(shù)法求解：Step（1）：確定本征函數(shù)（要點：根據(jù)定解問題確定相應(yīng)的本征函數(shù)）根據(jù)相應(yīng)的齊次方程SKIPIF1<0在分離變量后（SKIPIF1<0）與相應(yīng)的齊次邊界條件（2）式構(gòu)成本征值問題SKIPIF1<0Step（2）：按本征函數(shù)展開將SKIPIF1<0，非齊次項SKIPIF1<0皆按本征函數(shù)（4）展開，即：SKIPIF1<0（5）（即Fourier系數(shù)不是常數(shù)，而是t的函數(shù)，記為SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（6）f（x，t）是給定的，故SKIPIF1<0同理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0要求u，實際就是求SKIPIF1<0。（看（5）式）Step（3）：求SKIPIF1<0。將（5）~（8）式代入定解問題有：SKIPIF1<0用laplace變換求解此常微分方程（見P120、P122、P128）。如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（利用導(dǎo)數(shù)定理：SKIPIF1<0）又因為：SKIPIF1<0（又利用卷積定理：P121SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）由卷積定理，對(9)做反演：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入（5）式中就得：SKIPIF1<0【第二部分是齊次方程的解見P184：SKIPIF1<0SKIPIF1<0第一部分則是由于外力引起的貢獻(xiàn)?！浚ǘ┙忸}思想和步驟（本征函數(shù)法）總結(jié)思想：通過引入按本征函數(shù)展開的試探解，將非齊次的偏微分方程定解問題的求解，轉(zhuǎn)化為非齊次的常微分方程的求解。（說明：齊次方程+齊次邊界條件也可用Fourier級數(shù)法）（二）沖量定理法例如，初始條件不為零的兩端固定弦的受迫振動，定解問題可表述為：SKIPIF1<0既可用本征函數(shù)法直接求解。也可：則可用疊加原理把它分解為兩個定解問題，即SKIPIF1<0并且uI，uII分別滿足：SKIPIF1<0（8.1節(jié)分離變量法）（沖量定理法）（沖量定量法的前提：其它定解條件都是齊次的，否則就按疊加原理進(jìn)行分解。邊界條件可為第一、二、三類齊次邊界條件。）沖量定理法要求SKIPIF1<0下面以受迫振動問題為例討論沖量定理法：SKIPIF1<0非齊次項SKIPIF1<0表示作用力（單位長度、單位質(zhì)量），因此SKIPIF1<0對時間t的累積表示沖量。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…如：SKIPIF1<0表示在SKIPIF1<0時間內(nèi)的沖量（陰影面積）。這個沖量使系統(tǒng)的速度有一改變量。因SKIPIF1<0是單位質(zhì)量受的外力，由SKIPIF1<0，知道SKIPIF1<0表現(xiàn)為速度的改變量?，F(xiàn)在把SKIPIF1<0內(nèi)速度的改變量認(rèn)為是在SKIPIF1<0時刻瞬間得到的，而SKIPIF1<0的其余時間則認(rèn)為沒有沖量作用（即沒力的作用），故方程應(yīng)是齊次方程。在SKIPIF1<0時刻集中得到的速度可置于初始條件中。故在SKIPIF1<0的時間內(nèi)，SKIPIF1<0滿足的定解問題：SKIPIF1<0易看出，SKIPIF1<0理解為“來不及”產(chǎn)生位移；SKIPIF1<0必含有因子SKIPIF1<0，若設(shè)SKIPIF1<0，則上述定解問題變?yōu)椋篠KIPIF1<0因SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0內(nèi)的解，在從SKIPIF1<0的解應(yīng)是所有SKIPIF1<0的疊加。當(dāng)SKIPIF1<0時有：SKIPIF1<0即把持續(xù)作用力SKIPIF1<0看作是所有“瞬時力SKIPIF1<0”引起的振動的疊加。小結(jié)：沖量定理法物理內(nèi)涵：把連續(xù)的沖量作用視作許多不連續(xù)的集中沖量作用（即分解為許多脈沖）。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。。。。。。SKIPIF1<0SKIPIF1<0的非齊次方程定解問題SKIPIF1<0的齊次方程定解問題分離變數(shù)法本征函數(shù)法把解中的SKIPIF1<0更換為SKIPIF1<0,因為這里的時間起點是SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：應(yīng)用沖量定理法，變?yōu)関的定解問題：SKIPIF1<0參見P168例2，分離變數(shù)法求解齊次方程的定解問題，得到本征解：SKIPIF1<0所有本征振動的疊加成為一般解，即SKIPIF1<0再由初始條件定出積分常數(shù)為：SKIPIF1<0于是，SKIPIF1<0再由（7）式得：（易看出，此解有共振的性質(zhì)。當(dāng)強(qiáng)迫力SKIPIF1<0的頻率SKIPIF1<0等于本征頻率SKIPIF1<0時，振幅無限大。）沖量法亦可用于求解非齊次的輸運(yùn)方程（證明略：可參見書上P212-P213）即有：SKIPIF1<0“瞬時熱源”變?yōu)椋篠KIPIF1<0求出v后，再由SKIPIF1<0得到u。例2（見書P214例3）（講簡要過程）SKIPIF1<0解：定解問題轉(zhuǎn)化為：SKIPIF1<0由本征值問題SKIPIF1<0SKIPIF1<0再由初始條件定積分常數(shù)，最后：SKIPIF1<0總之，對齊次方程及齊次邊界條件的定解問題，可直接用分離變量法或用傅里葉級數(shù)法；對于非齊次方程及齊次邊界條件的定解問題，可用傅里葉級數(shù)法（若初始條件同時為零，可用沖量定理法）；對非齊次邊界條件的定解問題，首先要將非齊次邊界條件齊次化，然后用傅里葉級數(shù)法。第九章二階常微分方程的級數(shù)解法與本征值問題要求解帶初始條件的線性二階常微分方程：SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0為任意指定點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為常數(shù)。級數(shù)解法：就是在某個任選點SKIPIF1<0的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)待定的級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)。（一）方程的常點和奇點常點：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在選定的點SKIPIF1<0的鄰域中是解析的，則SKIPIF1<0是方程（2）的常點奇點：如SKIPIF1<0點是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的奇點，則SKIPIF1<0點是方程（2）的奇點（二）常點鄰域上的級數(shù)解把此唯一的解析解表示成SKIPIF1<0點鄰域上的Taylor級數(shù)形式：SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0為待定系數(shù)?！?一)奇點鄰域上的級數(shù)解見P195（略講）SKIPIF1<0SKIPIF1<0①設(shè)SKIPIF1<0點是q(z)或p(z)的奇點，則亦是方程①的奇點。解在點SKIPIF1<0鄰域上的展開式不是Taylor級數(shù)，而應(yīng)含有負(fù)冪項。（略去證明）：在點SKIPIF1<0的鄰域SKIPIF1<0上，給出的兩個線性無關(guān)解的級數(shù)形式為：SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③或SKIPIF1<0④其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（k=0,±1,±2,±3…）為待定常數(shù)?？梢钥闯?，②、③這兩個解均有無窮多的負(fù)冪項，難求系數(shù)。如果是正則奇點，則這兩個級數(shù)解變成有限負(fù)冪項。這種解稱為正則解。(二)正則奇點鄰域上的級數(shù)解1）若SKIPIF1<0是方程①的奇點，且SKIPIF1<0最多是SKIPIF1<0的一階極點，SKIPIF1<0的二階極點，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 （9.3.5）

則SKIPIF1<0稱為方程的正則奇點。2）在SKIPIF1<0的鄰域SKIPIF1<0上，方程①的兩個線性無關(guān)解的級數(shù)表達(dá)式：（只含有限個負(fù)冪項）SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③或SKIPIF1<0④其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是“判定方程”：SKIPIF1<0的兩個根。且SKIPIF1<0其中系數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0等由把上述解代入原方程逐個確定。舉例：第十章球函數(shù)軸對稱球函數(shù)球函數(shù)方程SKIPIF1<0（9.1.37）

的解SKIPIF1<0稱為球函數(shù)。把（9.1.37）進(jìn)一步分離變數(shù)SKIPIF1<0

分解為兩個常微分方程SKIPIF1<0， （9.1.5）SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0） （9.1.11）

（9.1.5）式的解為SKIPIF1<0 （9.1.8）

（9.1.11）式叫做l階連帶勒讓德（Legendre）方程。此時球函數(shù)分離變量形式的解為SKIPIF1<0若問題具有軸對稱性（指該物理系統(tǒng)繞對稱軸旋轉(zhuǎn)時，待求函數(shù)不變），若選z軸為對稱軸，則Y與SKIPIF1<0無關(guān)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無關(guān)，可取SKIPIF1<0，由（9.1.8）式可見，SKIPIF1<0。方程（9.1.11）即簡化為勒讓德（Legendre）方程（10.1.1），SKIPIF1<0 （10.1.1）

其解為l階勒讓德多項式SKIPIF1<0——軸對稱函數(shù)，本節(jié)即研究這種SKIPIF1<0的特例。勒讓德多項式勒讓德方程已在§9.2解出，l階勒讓德方程和自然邊界條件“解在SKIPIF1<0保持有限”構(gòu)成本征值問題。本征值是SKIPIF1<0（l為零或正整數(shù)） （9.2.12）本征函數(shù)則是l階勒讓德多項式。l階勒讓德多項式SKIPIF1<0的具體表達(dá)式為SKIPIF1<0 （10.1.4）

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0勒讓德多項式圖像見圖10-1（P276）。勒讓德多項式的正交完備性正交關(guān)系SKIPIF1<0廣義傅里葉級數(shù) SKIPIF1<0的完備性根據(jù)施圖姆-劉維爾本征問題的性質(zhì)，勒讓德多項式SKIPIF1<0是完備的，可作為廣義傅里葉級數(shù)展開的基，把定義在x的區(qū)間[-1，+1]上的函數(shù)SKIPIF1<0或定義在SKIPIF1<0的區(qū)間SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0展開為廣義傅里葉級數(shù)。SKIPIF1<0 （10.1.18）

或SKIPIF1<0 （10.1.19）例：以勒讓德多項式為基，在SKIPIF1<0上把SKIPIF1<0展開為廣義傅里葉級數(shù)。解：SKIPIF1<0中最高出現(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0

比較兩邊系數(shù)，得SKIPIF1<0 解得SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0拉普拉斯方程的軸對稱定解問題Laplace方程SKIPIF1<0在球坐標(biāo)系下分離變數(shù)后SKIPIF1<0，得到如下的兩個方程SKIPIF1<0 （9.1.2）SKIPIF1<0 （9.1.3）

常微分方程（9.1.2）是歐拉型方程，它可化為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可化為二階線性常系數(shù)微分方程SKIPIF1<0其解為SKIPIF1<0 （9.1.4）

偏微分方程（9.1.3）稱為球函數(shù)方程。若問題具有軸對稱性，當(dāng)把對稱軸取作球坐標(biāo)極軸時，其解與SKIPIF1<0無關(guān)，為軸對稱球函數(shù)——l階勒讓德多項式SKIPIF1<0，所以拉普拉斯方程的軸對稱定解問題解的一般形式為SKIPIF1<0 （★）

下面將通過物理實例來進(jìn)一步說明如何確定（★）式中的各個系數(shù)。Lengendre多項式的性質(zhì)當(dāng)特殊函數(shù)成為本征函數(shù)時，要注意這時特殊函數(shù)具有兩重性質(zhì)：①正交關(guān)系與完備性等是屬于本征函數(shù)所固有的性質(zhì)；（參見S-L本征值問題的共同性質(zhì)）②生成關(guān)系（母函數(shù)）、遞推關(guān)系則屬于特殊函數(shù)所具有的性質(zhì)。生成關(guān)系（母函數(shù)）設(shè)在單位球北極上置一正電荷SKIPIF1<0，則球內(nèi)某點SKIPIF1<0的靜電勢為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0另一方面，SKIPIF1<0亦應(yīng)是描述靜電場的Laplace方程的解。因軸對稱與SKIPIF1<0無關(guān)，由P266球坐標(biāo)下的SKIPIF1<0寫為：SKIPIF1<0②(其中SKIPIF1<0)對上式分離變量得：