總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

第九章統(tǒng)計(jì)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))．2.會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3.理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；2.數(shù)據(jù)分析：頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).學(xué)習(xí)

重難點(diǎn)能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)探索新知你還記得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是什么嗎？這些統(tǒng)計(jì)量刻畫了數(shù)據(jù)的什么特點(diǎn)？

眾

數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排序后，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，處在最中間的數(shù)是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。平均數(shù)：這些統(tǒng)計(jì)量刻畫了數(shù)據(jù)的“中心位置”，即數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。問題解析探索新知思考一根據(jù)下表中100戶居民的月均用水量，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

探索新知思考二假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？根據(jù)上述思考可得：全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，則2000戶居民的月用水總量為：2000×8.79=17580t小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8t。思考三探索新知思考四與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)變化較大。這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變。因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感。探索新知思考五平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)。在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？如果直方圖的形狀是對(duì)稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù)。單峰平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊。例一某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示：校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論上表數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性。解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)?？梢园l(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適。由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理。平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)在頻率分布直方圖中的含義特點(diǎn)探索新知思考六從上述思考題和例題中，你能總結(jié)出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點(diǎn)嗎？每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起它的改變只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息思考七根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點(diǎn)，我們應(yīng)如何選擇適合的統(tǒng)計(jì)量來表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)？一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；對(duì)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù)。描述集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量的選擇樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)。例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖。這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以下面的頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎？探索新知思考八例二根據(jù)下面的頻率分布直方圖，估計(jì)月均用水量樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替。即每一組的平均數(shù)為該組小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)。根據(jù)中位數(shù)的意義可得，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。

由于0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2，7.2）內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71因此，中位數(shù)約為6.71。根據(jù)眾數(shù)定義得，出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)是眾數(shù)。如上圖所示，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值。VS9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6探索新知思考九根據(jù)上述計(jì)算出的樣本平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你有什么結(jié)論？100戶居民的月均用水量的平均數(shù)8.79t.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8t。100戶居民的月均用水量的平均數(shù)8.96t.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.71t。結(jié)果基本一致這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況。例如，可能這個(gè)公司的工資水平普遍較高，也就是員工收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低，而少數(shù)員工的年收入很高；在這種情況下，年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多。盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個(gè)企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù)。所以，我們要強(qiáng)調(diào)”用數(shù)據(jù)說話”,但同時(shí)又要防止被誤導(dǎo)。探索新知思考十假設(shè)你到人力市場(chǎng)去找工作，有一個(gè)企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元“。你如何理解這句話？你能總結(jié)用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)來估計(jì)總體的數(shù)字特征各自的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？受極端數(shù)據(jù)的影響較大.代表了樣本數(shù)據(jù)更多的信息.只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響.平均數(shù)眾數(shù)和中位數(shù)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)探索新知在一次人才招聘會(huì)上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收人水平很高”“去年，在50名員工中，最高年收入達(dá)到了200萬，員工年收人的平均數(shù)是10萬”，而你的預(yù)期是獲得9萬元年薪.(1)你是否能夠判斷年薪為9萬元的員工在這家公司算高收入者?(2）如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”，這個(gè)信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定?為什么?(3）如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的第一四分位數(shù)為4.5萬，第三四分位數(shù)為9.5萬，你又該如何使用這條信息來作出是否受聘