2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程 單元復習提升（易錯與拓展）（原卷版）

第2章一元二次方程單元復習提升（易錯與拓展）易錯點01一元二次方程的概念【指點迷津】注意a≠0；化簡到一元二次方程的一般式再做判斷與解題．典例1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．跟蹤訓練1．若關于x的方程是一元二次方程，則m的值是（）A． B． C． D．易錯點02忽視因式分解法解一元二次方程時等式右邊要為0.【指點迷津】因式分解法解一元二次方程時等式右邊要為0.典例2．解下列方程：(1)(2)跟蹤訓練1．一元二次方程的根是（

）A． B．C．， D．，跟蹤訓練2．解方程：(1)；(2)．易錯點03根據(jù)根的判別式求參數(shù)時忽視a≠0【指點迷津】解一元二次方程及其相關應用時，不要忽視一元二次方程本身成立的條件，或者一些隱含條件.典例3．若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且跟蹤訓練1．已知關于x的一元二次方程有實數(shù)根，求a的取值范圍．跟蹤訓練2．已知關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是．易錯點04忽視因式分解法在一元二次方程實際應用中的巧妙解法.【指點迷津】因式分解在解題時往往可以加快解題速度，節(jié)約考試時間.典例4．一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大，求這個兩位數(shù)．跟蹤訓練1．某商場銷售一批襯衫，進貨價為每件元，按每件元出售，一個月內可售出件．已知這種襯衫每件漲價元，其銷售量要減少件．為了減少庫存量，且在月內賺取元的利潤，售價應定為每件多少元？跟蹤訓練2．如圖，一農戶要建一個矩形雞舍，為了節(jié)省材料雞舍的一邊利用長為a米的墻，另外三邊用長為27米的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直墻的一邊留下一個寬1米的門．設米時，雞舍面積為S平方米．(1)求S關于x的函數(shù)表達式及x的取值范圍．(2)在（1）的條件下，當為多少時，雞舍的面積為90平方米？(3)若住房墻的長度足夠長，問雞舍面積能否達到100平方米？拓展01根的判別式與根與系數(shù)的關系的綜合應用典例1．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④跟蹤訓練1．下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個拓展02根與系數(shù)的關系難點分析典例2．如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”的說法，正確的有（填序號）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．跟蹤訓練1．韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關系，如一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，則方程可寫成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關系：．設一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，現(xiàn)給出以下結論：①，②；③；④，其中正確的是（寫出所有正確結論的序號）．拓展03一元二次方程的綜合應用典例3．如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點B的坐標是，連接．若動點從點出發(fā)沿著線段以個單位每秒的速度向終點運動，設運動時間為秒．(1)求線段的長．(2)連接，當為等腰三角形時，過點作線段的垂線與直線交于點，求點的坐標；(3)已知點為的中點，連接，點關于直線的對稱點記為(如圖2)，在整個運動過程中，若點恰好落在內部(不含邊界)，請直接寫出的取值范圍．跟蹤訓練1．探索發(fā)現(xiàn)如圖（1），在正方形中，為邊上不與重合的點，過點三點分別作的垂線，垂足分別為．

（1）求證：；（2）求證：．遷移拓展如圖（2），在正方形中，為直線上一點，過點作的垂線，垂足為，若，直接寫出的長．一、單選題1．下列是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（

）A．1 B．1或 C． D．0.53．解方程）最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A． B． C． D．5．用配方法解一元二次方程，下面配方正確的是（

）A． B． C． D．6．方程的解為，，若方程，它的解是（

）．A． B． C． D．7．若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C． D．且8．新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全球第一，2020年銷量為50.7萬輛，銷量逐年增加，到2022年銷量為125.6萬輛．設年平均增長率為，可列方程為（）A． B．C． D．9．已知，是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則的值是（

）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．110．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④二、填空題11．的二次項系數(shù)是、常數(shù)項是．12．關于x的方程是一元二次方程，則m＝．13．已知x2－6x+8＝0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的面積是．14．已知x2＝2x+15，則代數(shù)式=．15．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)比賽（每兩隊之間都賽一場），計劃安排15場比賽，應邀請多少個隊參加比賽？設應邀參加比賽的球隊有x個，則可以列方程為．16．已知關于的方程的解都是整數(shù)，則整數(shù)的值為．17．已知：關于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均為常數(shù)，a≠0)．（1）關于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）關于x的方程a(x+3k)+2022=0的根為．18．已知一元二次方程和它的兩個實數(shù)根為，下列說法：①若a，c異號，則方程一定有實數(shù)根；②若，則方程一定有兩異實根；③若，則方程一定有兩實數(shù)根；④若，由根與系數(shù)的關系可得其中正確的結論是：（填序號）．三、解答題19．用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）；（2）；（3）；（4）．20．已知關于的方程.（1）當為何值時，方程只有一個實數(shù)根？（2）當為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？（3）當為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？21．已知關于x的一元二次方程．(1)求證：不論k為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值，22．已知：關于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根，(1)求實數(shù)m的取值范圍，(2)若方程的兩個實數(shù)根滿足，求出符合條件的m的值．23．如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？24．閱讀材料題：我們知道，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學習了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如：求的最小值問題．解：∵，又∵，∴∴的最小值為﹣6．請應用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值為；(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？25．當m，n為實數(shù)，且滿足時，就稱點為“狀元點”．已知點A（0，7）和點M都在直線上，點B，C是“狀元點”，且B在直線AM上．(1)求b的值及判斷點F（2，6）是否為“狀元點”；(2)請求出點B的坐標；(3)若，求點C的橫坐標的取值范圍．26．對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)