2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第2章一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點(diǎn)：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點(diǎn)：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即.（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點(diǎn)：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.題型一一元二次方程的相關(guān)概念【例1】下面關(guān)于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化為（）的整式方程是一元二次程；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷，即可求解．【解析】解：是一元一次方程，此項(xiàng)錯(cuò)誤；符合定義，是一元二次方程，此項(xiàng)正確；含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，此項(xiàng)錯(cuò)誤；不是整式方程，此項(xiàng)錯(cuò)誤；是一元二次方程，此項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，不含未知數(shù)的二次項(xiàng)，不符合一元二次方程的定義，此項(xiàng)錯(cuò)誤；其中一元二次方程的個(gè)數(shù)為：2；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．已知一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是3，它的一個(gè)根是2，則這個(gè)方程為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義即可求出答案．【解析】解：由題意可設(shè)：，將代入，得，，故該方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，首先要把方程化成一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)即可解答．【解析】將化為一般形式為：，∴一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是-8，-10故選A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)，特別要注意a≠0，在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)，掌握a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵．3．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值是．【答案】2【分析】根據(jù)二次方程的定義解題即可，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【解析】解：由題意得，解得：故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次方程的定義，根據(jù)定義解方程與不等式是解題關(guān)鍵．4．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】將代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【解析】解：將代入方程得：，解得：，∴原方程為：，則，解得：或，∴另一個(gè)根為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題．5．若是關(guān)x的方程的解，則的值為．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．【解析】解：∵是關(guān)x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．6．若實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，則的值為．【答案】【分析】先根據(jù)題意可以把、看作是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，再代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵、分別滿足，∴可以、看作是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可得，，然后代入式子求值即可．【解析】解：由題意知，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．題型二一元二次方程的解法【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?）4（x-1）2-36=0（直接開平方法）（2）x2+2x-3=0（配方法）（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）【答案】（1），；（2），；（3），;（4），【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解析】（1）方程整理得：，開方得：或，解得：，；（2）方程整理得：，配方得：，即，開方得：或，解得：，；（3）方程整理得：，分解因式得：，解得：，；（4）方程整理得：，這里，，，∵，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．用適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接開平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：直接開平方可得：，或∴原方程的解為：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解為：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解為：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠?，解題時(shí)注意對(duì)方法的合理選擇．2．用配方法解方程，則方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：，，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一個(gè)根，則滿足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程求根公式，對(duì)照x＝得出一元二次方程的字母系數(shù)即可得出答案．【解析】解：∵一元二次方程的根為，∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一個(gè)根，∴，∴滿足要求的方程為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟記求根公式是解本題的關(guān)鍵．4．解下列方程：①

②

③

④．較簡便的方法依次是（

）A．直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法B．因式分解法，公式法，配方法，直接開平方法C．直接開平方法，公式法，公式法，因式分解法D．直接開平方法，公式法，因式分解法，因式分解法【答案】D【分析】根據(jù)各方程的特點(diǎn)逐一判別即可．【解析】解：①適合直接開平方法；②適合公式法；③適合因式分解法；④適合因式分解法；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．5．若，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．3或4【答案】B【分析】根據(jù)題意，采用換元法，令，將轉(zhuǎn)化為，即，得到，解得或，再結(jié)合，即可確定，從而確定答案．【解析】解：令，將轉(zhuǎn)化為，，即，解得或，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及換元法、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握換元法、因式分解法解一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．題型三一元二次方程根的判別式【例3】關(guān)于x的方程（m-2）x2-4x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A．m≤6 B．m<6 C．m≤6且m≠2 D．m<6且m≠2【答案】A【分析】當(dāng)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，列出關(guān)于根的判別式不等式即可得到結(jié)論．【解析】解：當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，△，解得：，的取值范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據(jù)根的判別式和已知得出不等式是解此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】利用且求解即可．【解析】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，∴且，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的情況，解題關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，本題易忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件．2．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出a的范圍，確定出所求即可．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△=4-4（a-1）≥0，且a-1≠0，解得：a≤2且a≠1，

則整數(shù)a的最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．3．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若的兩條直角邊的長恰好是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，斜邊，求的周長．【答案】(1)(2)14【分析】（1）由一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式可得出，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，設(shè)的兩條直角邊分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，結(jié)合勾股定理可得出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的兩根是對(duì)應(yīng)的直角邊長，均為正值，可確定的值，再根據(jù)三角形的周長公式即可求出結(jié)論．【解析】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得：；（2）解：設(shè)的兩條直角邊分別為，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，即，解得或，由于是直角三角形的兩條直角邊，從而有，即，，這個(gè)三角形的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根找出；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合勾股定理找出．4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍：（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值及該方程的根．【答案】（1）k＜；（2）k＝2，方程的有整數(shù)根為x1＝0，x2＝﹣2．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；（2）先確定整數(shù)k的值為1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到兩個(gè)一元二次方程，然后解方程確定方程有整數(shù)解的方程即可．【解析】（1）依題意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，解得：k＜（2）因?yàn)閗＜且k為正整數(shù)，所以k＝l或2，當(dāng)k＝l時(shí)，方程化為x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程無整數(shù)根；當(dāng)k＝2時(shí)，方程化為x2+2x＝0解得x1＝0，x2＝﹣2，所以k＝2，方程的有整數(shù)根為x1＝0，x2＝﹣2．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，解題關(guān)鍵在于掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例4】．已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意根據(jù)解一元二次方程的概念和根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐次判斷即可．【解析】解：∵，∴，選項(xiàng)A不符合題意；∵是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，∴，選項(xiàng)B不符合題意；∵是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，選項(xiàng)D符合題意，選項(xiàng)C不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．若，是一元二次方程的兩根，則的值為(

)A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出以及的值即可得出結(jié)果.【解析】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴====2019，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得出以及的值，并且將待求代數(shù)式化成合適的形式.2．已知，是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程個(gè)與系數(shù)的關(guān)系得出，將代數(shù)式因式分解，然后代入值即可求解．【解析】解：∵，是方程的兩根，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．3．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，且，則值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可知，，利用完全平方公式可得，整體代入解方程即可．【解析】解：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，，，，，，，整理得：，解得，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，掌握根與系數(shù)的關(guān)系并利用完全平方公式變形是解題關(guān)鍵．4．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求證；（2）設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，可得，由此可解．【解析】（1）證明：由題意得：，，，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，，則有，，∵，∴，解得：，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型五配方法的應(yīng)用【例5】．已知，(m為任意實(shí)數(shù))，則M、N的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】求出的結(jié)果，再判斷即可．【解析】根據(jù)題意，可知，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．若，則p的最小值是（

）A．2021 B．2015 C．2016 D．沒有最小值【答案】C【分析】將等式右邊分組，配成兩個(gè)完全平方式，即可根據(jù)平方的非負(fù)性進(jìn)行解答．【解析】解：，∵，，∴p的最小值為2016，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將原式分組配方．2．已知實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】4【解析】變形的配方試題，+1所以當(dāng)時(shí)的最大值為43．已知，則的值是．【答案】【分析】把已知條件式相加得到，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確根據(jù)已知條件式推出是解題的關(guān)鍵．4．閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：．因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實(shí)數(shù)m，n滿足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．【解析】解：（1），因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為-5．（2），當(dāng)取最小值時(shí)，原式最大，由（1）可知，最小值為2，此時(shí)的最大值為；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值為；或=，最大值是，的最大值為；綜上，的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了配方法求最值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法求代數(shù)式的最值．題型六一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例6】．某超市一月份的營業(yè)額為3萬元，第一季度的營業(yè)額共為15萬元，如果每個(gè)月的平均增長率為，則由題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=15，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解析】解：∵一月份的營業(yè)額為3萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為，∴三月份的營業(yè)額為，∴可列方程為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，求平均變化率，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為，得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，那么由題意可列出方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，第一輪過后有（1+x）個(gè)人感染，第二輪過后有（1+x）+x（1+x）個(gè)人感染，那么由題意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x-99=0，解得x=9或-11，x=-11不符合題意，舍去．那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為9人．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查增長問題，應(yīng)理解“增長率”的含義，并可根據(jù)題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意，注意要舍去不合題意的解．2．在“文博會(huì)”期間，某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長，寬．中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．若絲綢花邊的面積為，設(shè)絲綢花邊的寬為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】找出絲綢花邊的總面積與絲綢花邊的寬之間的關(guān)系式即可列出方程．【解析】解：由題意知：三條絲綢花邊的面積和-兩個(gè)重疊部分的面積=絲綢花邊的總面積，∴設(shè)絲綢花邊的寬為xcm，根據(jù)題意，可列方程為：2×40x+60x-2x×x=650,即2x?40+x?(60?2x)=650，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查方程的列法，仔細(xì)分析題中含有未知數(shù)所表示的量之間的數(shù)量關(guān)系并把各數(shù)量正確地表示出來是解題關(guān)鍵．3．如圖，王師傅要建一個(gè)矩形羊圈，羊圈的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊要留出安裝木門．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長為．【答案】/8米【分析】設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長為米，利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合住房墻的長度為，即可確定所圍矩形與墻垂直的一邊長的長度．【解析】解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長為米，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．某商場銷售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價(jià)10元，商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利2000元．每件襯衣應(yīng)降價(jià)（）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】利用襯衣平均每天售出的件數(shù)每件盈利每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可．【解析】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元．根據(jù)題意，得：，整理，得，解得，．“增加盈利，減少庫存”，應(yīng)舍去，．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)每件盈利每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵．5．《田畝比類乘除捷法》是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步，”意思是：一個(gè)矩形的面積為平方步，寬比長少步，問寬和長各多少步？如果設(shè)矩形的長為步，由題意，可列方程為．【答案】【分析】由矩形的寬及長與寬之間的關(guān)系可得出矩形的寬為步，再利用矩形的面積公式即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解析】解：∵矩形的長為步，且寬比長少12步，∴矩形的寬為步．依題意，得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是5，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原來兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)．【答案】23或32【分析】設(shè)原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為5－x，然后可表示出兩個(gè)兩位數(shù)，然后根據(jù)它們的乘積為736，可列一元二次方程，然后解方程即可．【解析】解：設(shè)原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為5－x，根據(jù)題意，得[10x＋（5－x）]·[10（5－x）＋x]＝736解得x1＝2，x2＝3當(dāng)x＝2時(shí)，5－x＝3，符合題意，原來的兩位數(shù)是23．當(dāng)x＝3時(shí)，5－x＝2，符合題意，原來的兩位數(shù)是32答：原來的兩位數(shù)是23或32【點(diǎn)睛】本題考查理解題意能力，可看出本題是數(shù)字問題，數(shù)字問題關(guān)鍵是設(shè)法，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字或十位上的數(shù)字，然后根據(jù)題目所給的條件列方程求解．7．2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個(gè)數(shù)（如圖所示），圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請(qǐng)說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見解析【分析】設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實(shí)際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時(shí)，最小的數(shù)是5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對(duì)疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【解析】（1）根據(jù)題意，得該工廠最大產(chǎn)能是：個(gè)/天故答案為：；（2）根據(jù)題意，得：或∴即該工廠引進(jìn)了12或36條生產(chǎn)線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．題型七一元二次方程的幾何應(yīng)用【例7】．將一個(gè)邊長為4的正方形分割成如圖所示的9部分，其中全等，也全等，中間小正方形的面積與面積相等，且是以為底的等腰三角形，則的面積為（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】連結(jié)并向兩端延長分別交于點(diǎn)連結(jié)，證明為等腰三角形，證得，，設(shè)，則，根據(jù)正方形的面積與面積相等，列出即可解得．【解析】解：如圖，連結(jié)并向兩端延長分別交于點(diǎn)連結(jié)，

∵四邊形為正方形，∴，∵是以為底的等腰三角形，∴，則點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∵≌，∴為等腰三角形，∴，則點(diǎn)G在的垂直平分線上，∵四邊形為正方形，∴的垂直平分線與的垂直平分線重合，∴即為或的垂直平分線，則，，∵正方形的邊長為4，即，∴，設(shè)，則，∵正方形的面積與面積相等，即，解得：，∵不符合題意，故舍去，∴，則，∵，，，全等，∴，∵正方形的面積，，，，也全等，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得的面積．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，點(diǎn)是直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)并與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線和的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P會(huì)落在直線上嗎？說明原因；(3)當(dāng)點(diǎn)P在的內(nèi)部時(shí)．①求a的范圍；②是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)會(huì)，見解析(3)①，②【分析】（1）設(shè)直線的的表達(dá)式為，根據(jù)直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)，，推出，得到，得到；設(shè)的表達(dá)式為，根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，推出，得到，得到，根據(jù)直線與x軸交于點(diǎn)C，得到，得到，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)落在直線上，得到，解得，推出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在直線：上；（3）①根據(jù)點(diǎn)在的內(nèi)部，，，推出，，，，得到，，，，推出；②根據(jù)，，，推出，，，根據(jù)，推出，得到，推出時(shí)，，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【解析】（1）解：設(shè)直線的的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，得，，解得，，∴，設(shè)的表達(dá)式為，將和點(diǎn)代入，得，，解得，，∴；將代入，解得，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)P會(huì)落在直線上，理由：將代入，得，，解得，，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在直線：上；（3）∵點(diǎn)在的內(nèi)部，，，∴，解得，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在的內(nèi)部時(shí)，a的取值范圍為；②存在點(diǎn)P，使得，理由：∵，，，∴，，，∵，∴，∴，整理，得，，解得，，（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，∴存在點(diǎn)P，使得，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，一元一次不等式組，勾股定理，一元二次方程等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，由一元一次方程的解求一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，解一元一次不等式組，用勾股定理解直角三角形，以及公式法解一元二次方程．2．如圖（1），正方形中，P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作等腰直角，，連接．(1)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，試說明點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的方向路線，并證明你的結(jié)論；(2)若交于點(diǎn)F，連接，小紅在研究這個(gè)圖形時(shí)，經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)這道題目里面包含有一個(gè)什么角模型，請(qǐng)你在她的基礎(chǔ)上，證明；(3)如圖（2），連接，H為的中點(diǎn)，連接，若的長是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求線段的最小值．【答案】(1)點(diǎn)E在的平分線上沿CE方向運(yùn)動(dòng)，證明見解析(2)見解析(3)當(dāng)a＝時(shí)，HE的最小值為【分析】（1）由“”可證，可得，可證，可得，可得平分，即可求解；（2）由“”可證，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E，點(diǎn)H坐標(biāo)，即可求解．【解析】（1）解：點(diǎn)E在的平分線上沿方向運(yùn)動(dòng)，理由如下：如圖（1），作交的延長線于G，∵，∴，∴，在和中，，∴（），∴，∴，∴，∴，∴平分，∴點(diǎn)E在的平分線上運(yùn)動(dòng)；（2）解：題目包含半角模型，證明：如圖（1-1），延長至H，使，連接，∵，∴，∴，在和中，，∴（），∴，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴；（3）解：∵的長是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，如圖（2），以點(diǎn)B為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∴點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，∴，∵，∴，∴點(diǎn)，∵H為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，建立平面直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)E，點(diǎn)H坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，在坐標(biāo)系中的，點(diǎn)A、B在x軸，點(diǎn)C在y軸，且，，，D是的中點(diǎn)，(1)求直線的表達(dá)式．(2)如圖2，若E、F分別是邊的中點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)都在的邊上．①請(qǐng)直接寫出下列線段的長度：______，______．②將矩形沿射線AB向右平移，設(shè)矩形移動(dòng)的距離為m，矩形與重疊部分的面積為S，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移距離m的值．(3)如圖3，在矩形平移過程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)停止平移，再將矩形繞點(diǎn)G按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)H落在直線上時(shí)，此時(shí)矩形記作，由向x軸作垂線，垂足為Q，則______．【答案】(1)直線的表達(dá)式為；(2)①2，；②m的值為或；(3)．【分析】（1）根據(jù)已知，由直角三角形的性質(zhì)可知，求得B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①利用中位線的性質(zhì)可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得；②首先利用分類討論的思想，分析當(dāng)矩形與重疊部分為三角形時(shí)才滿足條件，分和兩種情況，利用三角形的面積公式，列出方程解得m；（3）設(shè)，則，求得，，，利用勾股定理可得n，即可求解．【解析】（1）解：在中，∵，，，∴，，，∴，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的表達(dá)式為．∴，∴，∴直線的表達(dá)式為；（2）解：①∵D是的中點(diǎn)，∴，又∵E、F分別是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，在中，，∴，，在中，，∴，故答案為：2，；②設(shè)矩形移動(dòng)的距離為m，當(dāng)時(shí)，如圖，∴．∴，依題意得，∴(負(fù)值已舍)；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)G、D重合，∴，∴，此情況不存在；∴當(dāng)重疊部分為多邊形時(shí)，都不存在；當(dāng)時(shí)，如圖，∴．∴，依題意得，∴(舍)或；綜上，m的值為或；（3）解：當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，在中，，∴，，設(shè)，則，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，解之得（負(fù)值已舍），∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等，利用分類討論的思想，構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．題型八材料信息題【例8】．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，因此，所以有；我們記“”即時(shí)，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達(dá)式．【答案】(1)0(2)【分析】（1）根據(jù)是倍根方程，且，得到或，從而得到，，進(jìn)而得到；（2）設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，可以得出，從而得倍根方程滿足，據(jù)此求解即可．【解析】（1）整理得：，∵是倍根方程，∴，∴．（2）∵是倍根方程，∴，整理得：．∵在一次函數(shù)的圖像上，∴，∴，，∴此方程的表達(dá)式為【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時(shí)存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，代入可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，．，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，