高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第三節(jié)三角恒等變換 文（含解析）

第三節(jié)三角恒等變換利用三角恒等變換求值考向聚焦利用三角恒等變換求三角函數(shù)值是?？純?nèi)容,主要體現(xiàn)在:(1)把三角恒等變換作為工具來(lái)解決三角函數(shù)問題,即利用兩角和與差的三角公式、倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題;(2)在題目設(shè)置上多出現(xiàn)三角函數(shù)公式的正用、逆用、變形用以及特定條件下的使用,以考查學(xué)生對(duì)公式的掌握,常以客觀題的形式出現(xiàn),屬于中檔以下題目,所占分值為5分左右備考指津訓(xùn)練題型:(1)三角恒等變換一般解題模式,其中特別要注重遇切弦,化統(tǒng)一,遇多元,想消元,遇差異,想聯(lián)系,遇特角,想求值等;(2)角的配湊形式,提升思維起點(diǎn),縮短思維路線1.(年四川卷,文5,5分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE=1,連結(jié)EC、ED,則sin∠CED等于()(A)31010 (B)1010 (C)解析:由圖可知sin∠AED=cos∠AED=22sin∠BEC=55,cos∠BEC=2∴sin∠CED=sin(∠AED-∠BEC)=sin∠AEDcos∠BEC-cos∠AEDsin∠BEC=22(255-5答案:B.2.(年全國(guó)大綱卷,文4,5分)已知α為第二象限角,sinα=35,則sin2α(A)-2425 (B)-(C)1225 (D)解析:∵α為第二象限角,且sinα=35∴cosα=-1-sin2αsin2α=2sinαcosα=2×(-45)×35=-答案:A.3.(年江西卷,文9,5分)已知f(x)=sin2(x+π4).若a=f(lg5),b=f(lg1(A)a+b=0 (B)a-b=0(C)a+b=1 (D)a-b=1解析:本題考查三角恒等變換,二倍角公式,三角函數(shù)的奇偶性,對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及換元法的思想.法一:因?yàn)閒(x)=sin2(x+π4)=1-cos令lg5=t,則lg15所以a=f(lg5)=f(t)=1+sin2tb=f(lg15)=f(-t)=1所以a+b=1.故應(yīng)選C.法二:因?yàn)閒(x)=sin2(x+π4)==1+sin2x所以2f(x)-1=sin2x.設(shè)g(x)=2f(x)-1,則函數(shù)g(x)為奇函數(shù).令lg5=t,則lg15則g(t)+g(-t)=2f(t)-1+2f(-t)-1=0,所以f(t)+f(-t)=1.即a+b=1.故應(yīng)選C.答案:C.本題的難點(diǎn)在于三角函數(shù)的變換,熟練掌握三角函數(shù)的各種公式,并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.法一是常規(guī)解法,直接換元后代入解析式消元求值;法二奇妙地利用了三角函數(shù)的奇偶性,將非奇函數(shù)轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)來(lái)求解,其求解的依據(jù)是奇函數(shù)的定義,函數(shù)g(t)是奇函數(shù)等價(jià)于g(t)+g(-t)=0.4.(年遼寧卷,文6,5分)已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),則sin2α=()(A)-1 (B)-2(C)22解析:由sinα-cosα=2兩邊平方得1-2sinαcosα=2,∴1-sin2α=2,∴sin2α=-1.答案:A.5.(年福建卷,文9)若α∈(0,π2),且sin2α+cos2α=14,則tan(A)22 (B)33 (C)2解析:由sin2α+cos2α=14得sin2α+cos2α-sin2α=1即cos2α=14,又α∈(0,π2),∴cosα=12,∴α則tanα=3.答案:D.6.(年全國(guó)新課標(biāo)卷,文7)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ等于()(A)-45 (B)-35 (C)3解析:因?yàn)榻K邊在直線y=2x上,所以tanθ=2.所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2故選B.答案:B.7.(年湖北卷,文6)已知函數(shù)f(x)=3sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,則x的取值范圍為()(A){x|2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈(B){x|kπ+π3≤x≤kπ+π,k∈(C){x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6(D){x|kπ+π6≤x≤kπ+5π6解析:∵f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-π6)≥∴sin(x-π6)≥1∴2kπ+π6≤x-π6≤2kπ+5π∴2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈答案:A.8.(年全國(guó)新課標(biāo)卷,文10)若cosα=-45,α是第三象限的角,則sin(α+π(A)-7210 (B)7210解析:∵cosα=-45且α∴sinα=-35∴sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosα=22(sinα+cosα)=22×(-35=-72答案:A.本題考查了給值求值問題,在已知cosα=-45時(shí)要注意α為第三象限的角這一條件,否則會(huì)出現(xiàn)增值;另外應(yīng)用了兩角和的正弦公式.9.(年江蘇數(shù)學(xué),11,5分)設(shè)α為銳角,若cos(α+π6)=45,則sin(2α+π12)的值為解析:本題考查三角恒等變形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.∵cos(α+π6)=45,∴α+π6∈(0,π2),∴sin(α+∴sin(2α+π3)=2cos(α+π6)sin(α+=2×35×45=cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=∴sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)-=sin(2α+π3)cosπ4-cos(2α+π3)sinπ答案:1710.(年江蘇卷,7)已知tan(x+π4)=2,則tanxtan2x解析:由tan(x+π4)=2得tan即tanx∴tanx=13∴tanxtan2x=tanx2tanx1答案:411.(年四川卷,文18,12分)已知函數(shù)f(x)=cos2x2-sinx2cosx2(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=3210,求sin2解:(1)由已知,f(x)=cos2x2-sinx2cosx=12(1+cosx)-12=22cos(x+π所以f(x)的最小正周期為2π,值域?yàn)閇-22,2(2)由(1)知,f(α)=22cos(α+π4)=所以cos(α+π4)=3所以sin2α=-cos(π2+2α)=-cos2(α+π=1-2cos2(α+π4)=1-1825=利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式考向聚焦高考重點(diǎn)考查內(nèi)容,主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:(1)利用三角恒等變換把三角函數(shù)式化簡(jiǎn)成為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù),即y=Asin(ωx+φ)的形式,或者化簡(jiǎn)成為二次函數(shù)的形式,從而研究三角函數(shù)的其他性質(zhì);(2)有時(shí)給定自變量范圍進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),再與解三角形或者與平面向量結(jié)合綜合求解.一般以解答題形式出現(xiàn),具有一定的綜合性,難度中等,所占分值12分左右12.(年重慶卷,文5,5分)sin47°(A)-32 (B)-12 (C)1解析:sin47=sin=cos17°sin30°答案:C.13.(年全國(guó)大綱卷,文15,5分)當(dāng)函數(shù)y=sinx-3cosx(0≤x<2π)取得最大值時(shí),x=.

解析:y=sinx-3cosx=2sin(x-π3當(dāng)y取最大值時(shí),x-π3=2kπ+π2(k即x=2kπ+5π6(k又0≤x<2π,∴x=5π答案:5本題主要考查兩角和的公式的逆用,特殊角的三角函數(shù)值,以及正弦函數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是將函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.14.(年廣東卷,文16,12分)已知函數(shù)f(x)=Acos(x4+π6),x∈R,且f(π3(1)求A的值;(2)設(shè)α,β∈[0,π2],f(4α+43π)=-3017,f(4β-23π)=85解:(1)由f(π3)=Acos(π12+π6)=Acosπ4=∴A=2.(2)由(1)知f(x)=2cos(x4+π則f(4α+4π3)=2cos(4α+4π34+∴sinα=1517又α∈[0,π2],∴cosα=8f(4β-2π3)=2cos(4β-2π3∴cosβ=45又β∈[0,π2],∴sinβ=3故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=45×817-35×15此題綜合考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式,要求學(xué)生熟練掌握公式.15.(年北京卷,文15)已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x.(1)求f(π3(2)求f(x)的最大值和最小值.解:法一:(1)f(π3)=2cos(2×π3)+sin=2cos2π3+sin2π3=-1+3(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.∵cosx∈[-1,1],∴cos2x∈[0,1],∴當(dāng)cosx=±1時(shí),f(x)max=2,當(dāng)cosx=0時(shí),f(x)min=-1.法二:(1)由f(x)=2cos2x+sin2x得f(x)=2cos2x+1-cos2x2=∴f(π3)=32cos2π3+12=-3(2)∵x∈R,∴cos2x∈[-1,1].∴f(x)max=32+1f(x)min=-32+1(年廣東卷,文16,12分)已知函數(shù)f(x)=2sin(13x-π6),x(1)求f(5π(2)設(shè)α,β∈[0,π2],f(3α+π2)=1013,f(3β+2π)=65,求cos(解:(1)f(5π4)=2sin(13×5=2sinπ4=2.3分第(1)問賦分細(xì)則:(1)直接寫f(5π4)=2sinπ4(2)直接寫f(5π4)=(2)由f(3α+π2)=102sin[13×(3α+π2)-π6]=2sinα∴sinα=513由f(3β+2π)=652sin[13×(3β+2π)-π6]=2sin(β+=2cosβ=65∴cosβ=35∵α,β∈[0,π2∴cosα=1-sin2αsinβ=1-cos2β故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ11分=1213×35-513×4第(2)問賦分細(xì)則:(1)把第(2)問中f(3α+π2)=1013轉(zhuǎn)化求得sinα