北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)(拔尖篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)中的動點問題】 1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】 3【題型3反比例函數(shù)中的存在性問題】 5【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 6【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】 8【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】 10【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】 12【題型1反比例函數(shù)中的動點問題】【例1】（2023春·四川成都·九年級四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)校考期中）如圖，已知直線y＝x＋2與雙曲線y=kx交于A、B兩點，且A點坐標(biāo)為（（1）求雙曲線解析式；（2）將直線y＝x＋2向下平移兩個單位得直線l，P是y軸上的一個動點，Q是l上的一個動點，求AP＋PQ的最小值，并求此時的Q點坐標(biāo)；（3）若點M為y軸上的一個動點，N為平面內(nèi)一個動點，當(dāng)以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，請求出N點坐標(biāo)．【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點A?1,3(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)(2)觀察圖象，請直接寫出使y1>y(3)M是y軸上的一個動點，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點N，當(dāng)由點O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時，直接寫出點N【變式1-2】（2023春·河南周口·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOD的頂點O與坐標(biāo)原點重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點D的坐標(biāo)為(8，6)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)E是x軸正半軸上的動點，過點E作x軸的垂線交線段OA于點M，交雙曲線于點P，在E點運動過程中，M點正好是線段EP中點時，求點E的坐標(biāo)．【變式1-3】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A1，3，B3，1是反比例函數(shù)y=3x的圖象上的兩點，點P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動點，過點P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q．設(shè)點M

【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點A1,0且與y軸平行，直線l2過點B0,2且與x軸平行，直線l1，與直線l2相交于點P，點E為直線l2上一點，反比例函數(shù)y=k（1）若點E與點P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF的面積的3倍，求點E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k<2時，G是y軸上一點，直接寫出所有使得△EFG是等腰直角三角形的點G的坐標(biāo)，并把求其中一個點G的坐標(biāo)的過程寫出來．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線AC與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象相交于A、C兩點，與x軸交于點D，過點D作DE⊥x軸交反比例函y=kxk>0的圖象于點E，連結(jié)CE，點B為y軸上一點，滿足【變式2-2】（2023春·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）已知：一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一象限內(nèi)交于點Am,2，B3,n兩點，且m，n滿足2m?3n2+n?1=0，直線l經(jīng)過點A且與y軸平行，點C是直線l上一點，過點

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點C在點A上方時，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE(3)如圖2，當(dāng)點C在點A下方時，點H是DC的中點，點G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點G的坐標(biāo)．【變式2-3】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y=kx?2k≠0的圖像與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=?3xx<0的圖像交于點(1)b=___________，k=___________．(2)若點P在第三象限內(nèi)，是否存在點P使得△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，C是線段AB上一點（不與點A，B重合），過點C且平行于y軸的直線l交該反比例函數(shù)的圖像于點D，連接OC，OD，BD．若四邊形OCBD的面積為3，求點C的坐標(biāo)．【題型3反比例函數(shù)中的存在性問題】【例3】（2023春·江蘇鹽城·九年級景山中學(xué)?？计谀┪覀兌x：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長為4．寬為3的矩形C是否存在完全12(3)如果長為4，寬為3的矩形C存在完全k倍體，請求出k的取值范圍．【變式3-1】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）（綜合與探究）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象過點C?4,2，點D的縱坐標(biāo)為4，直線CD與x軸，

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是Rt△AOB直角邊上的一個動點，當(dāng)S△PCD=(3)已知點D關(guān)于y軸的對稱點為M，點C關(guān)于x軸的對稱點為N,Q為y軸上的動點．問直線CD上是否存在點G，使得以點M,N,Q,G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式3-2】（2023春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點A（a，2a）（a＞0）和點B，且OA=5，點C是x軸正半軸上一點，過點C作x軸的垂線，與正比例函數(shù)圖象交于點P，與反比例函數(shù)圖象交于點(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點Q是PC的中點時，求C點的坐標(biāo)；(3)是否存在點C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此時點C的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)y=kx的解析式，并確定這兩個函數(shù)圖象的另一個交點(2)畫出草圖，并據(jù)此直接寫出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在y=2的直線上是否存在一點P，使PB?PA的值最大，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】【例4】（2023春·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的頂點C、D在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作一個正方形DFEG，頂點G在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點E在x軸的正半軸上，則點D的坐標(biāo)為

【變式4-1】（2023春·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD的頂點A，B分別在x軸和y軸上，點C在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖象上，點D在第二象限內(nèi)，若AO=3BO，則正方形ABCD

A．10 B．3 C．7 D．5【變式4-2】（2023春·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期末）【思路點撥】：如圖1，點A'是點A關(guān)于直線y=x的對稱點，分別過點A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．可以利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點A橫坐標(biāo)為12，且在函數(shù)y=

(1)求點A關(guān)于直線y=x的對稱點A'(2)若點B的坐標(biāo)為?1,1，點P是直線y=x．上的任意一點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．【變式4-3】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）定義：把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做勾股四邊形．(1)矩形______勾股四邊形（填“是”或“不是”）．(2)如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，B兩點，點P?3,0在x

①分別求出A、B兩點的坐標(biāo)．②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時，如圖，請證明?APQB是勾股四邊形．(3)在（2）的條件下，當(dāng)以A、B、P、Q為頂點的四邊形是勾股四邊形時，請直接寫出Q點的坐標(biāo)．【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】【例5】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標(biāo)原點0，0順時針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點，若直線y=12

【變式5-1】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱這個點為“等值點”．例如：點A(3，6)，因為C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值點”．(1)若點E為雙曲線y=4x(x>0)上任意一點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，求證：點(2)在第一象限內(nèi)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象上有兩個“等值點”，求b的取值范圍．【變式5-2】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點A的坐標(biāo)為1，0，點C的坐標(biāo)為3，4，M是BC邊的中點，函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點A，B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點D在函數(shù)y=kx【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點A1,1，點C3,3，反比例函數(shù)y=k

(1)試說明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過點(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點E、①求△MEF的面積；②在x軸上是否存在一點G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】【例6】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點Am,8，與x軸交于點B，平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖像于點M，交AB于點

(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖像，直接寫出當(dāng)x>0時，不等式2x+6?k(3)直線y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時，△BMN的面積最大？最大值是多少？【變式6-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點A1,4,B7,1，點P在線段AB上，并且點P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過點P(1)當(dāng)點P與點B重合時，求L的表達(dá)式；(2)求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)直接寫出k的最小值和最大值．【變式6-2】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，動點M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過點M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；②當(dāng)y<y2時，③點D在x軸上，點E在y軸上，且以點B、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個定值．【變式6-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．閱讀下列材料，回答問題：對任意的實數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類比論證]對于任意正實數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a+[幾何驗證]如圖（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE為△ABC的中線，若AD＝a，BD=b，試根據(jù)圖形證明：a+b≥2ab．[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝時，代數(shù)式a+4a有最小值為[問題解決]（1）某汽車零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購進(jìn)了一批自動化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺設(shè)備每天的運營成本包含以下三個部分：一是固定費用，共3600元；二是材料損耗費，每個零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費（元），它與生產(chǎn)的零件個數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車零件x個．當(dāng)x為多少時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本最低？最低是多少元？（2）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣43?4與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，點M為反比例函數(shù)y＝12x（x＞0）上的任意一點，過點M作MC⊥x軸于點C,MD⊥y軸于點D．則四邊形ABCD【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】【例7】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化競賽．圖中的四個點分別描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四個班級競賽成績的優(yōu)秀率y（班級優(yōu)秀人數(shù)占班級參加競賽人數(shù)的百分率）與該班參加競賽人數(shù)x的情況，其中描述八（2）、八（4）兩個班級情況的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是（

）

A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）班【變式7-2】（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）某經(jīng)銷商出售一種進(jìn)價為4元/升的液體原料，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品日銷售價x元/升與日銷售量y（升）滿足反比例函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（元/升）3456y（升）200150120100(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知如圖所示的長方體容器中裝滿了液體原料，記日銷售后長方體中剩余液體的高度為?(

①求h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②物價局規(guī)定此液體原料的日銷售價最高不能超過8元/升，若該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天，則長方體容器中剩余液體原料多少升？【變式7-3】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）建模：某班開端午聯(lián)歡會，生活委員彤彤先購買了2個裝飾掛件，共計3元，又購買了單價為2元的粽形香囊x個，設(shè)所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價格為y元，則y與x的關(guān)系式為_______（不要求寫x的范圍）【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：y是x的函數(shù)，結(jié)合自己學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，為了更好地研究這個函數(shù)，彤彤打算先脫離實際背景，對該函數(shù)的完整圖像與性質(zhì)展開探究，請根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過程補(bǔ)充完整．（1）列表：x…－4－3??－1012…y…5m4n1357…填空：m=______，n=______．（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點、連線，畫出該函數(shù)的圖像．專題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)中的動點問題】 1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】 10【題型3反比例函數(shù)中的存在性問題】 20【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 31【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】 42【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】 49【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】 57【題型1反比例函數(shù)中的動點問題】【例1】（2023春·四川成都·九年級四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知直線y＝x＋2與雙曲線y=kx交于A、B兩點，且A點坐標(biāo)為（（1）求雙曲線解析式；（2）將直線y＝x＋2向下平移兩個單位得直線l，P是y軸上的一個動點，Q是l上的一個動點，求AP＋PQ的最小值，并求此時的Q點坐標(biāo)；（3）若點M為y軸上的一個動點，N為平面內(nèi)一個動點，當(dāng)以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，請求出N點坐標(biāo)．【答案】（1）y=8x；（2）32，【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y=x+2求解a的值，再代入y=k（2）如圖，作A關(guān)于y軸的對稱點A'(?1,2)，過A'作A'Q⊥l于Q，AA'交y軸于K,則AP+AQ取得最小值,此時AP+PQ=A'P+PQ=A'Q,（3）分兩種情況討論，如圖，當(dāng)AB為邊時，當(dāng)AB為矩形的對角線時，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理與中點坐標(biāo)公式建立方程，解方程可得答案.【詳解】解：（1）把A點坐標(biāo)（a,4）代入y=x+2得：∴a+2=4,則a=1,∴A2,4.∴k=xy=4×2=8,∴雙曲線為y=（2）如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點A'(?2,4)，過A'作A'Q⊥l于Q，則AP+AQ取得最小值,此時AP+PQ=A∴AK=A∵將直線y=x+2向下平移2個單位得直線l，∴l(xiāng)的解析式為：y=x,且l是第一，第三象限的角平分線，∴∠POQ=45°,∴∠OPQ=45°=∠A∴A∴OP=OK?PK=2,∵∠PQO=90°,∠POQ=45°=∠OPQ,∴PO=2,PQ=OQ,PQ∴PQ=2∴A所以最小值為32∵QO=2，Q在y=x∴y∴∴yQ=∴Q(1,1)（3）∵y=x+2與y=8x交于則y=x+2解得x∴B∴A如圖，當(dāng)AB為矩形的邊時，設(shè)M1∴BM1∵四邊形ABM∴∠ABM∴AB∴72+4∴y=?6,∴M∵B(?4,?2),A(2,4),從B平移的到點A是先向右平移6個單位，再向上平移6個單位，∴M10,?6同理可得：AB∴72+2∴y=6,則M2由平移的性質(zhì)可得：N2如圖，當(dāng)AB為矩形的對角線時，設(shè)M3由矩形的性質(zhì)：對角線相等且互相平分，再結(jié)合中點坐標(biāo)可得，a=?4+2y+b=4?2解得：a=?2b=1±∴N綜上：N1【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，中點坐標(biāo)公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點A?1,3(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)(2)觀察圖象，請直接寫出使y1>y(3)M是y軸上的一個動點，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點N，當(dāng)由點O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時，直接寫出點N【答案】(1)y1=?x+2(2)y1>y2的x取值范圍為：(3)N的坐標(biāo)為?32,2【分析】（1）把A?1,3代入y2=mx（2）根據(jù)函數(shù)圖象可得一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量x的取值范圍，從而可得答案；（3）令y=0，則x=2，求解C2,0，再分兩種情況討論，如圖，當(dāng)M在y軸的正半軸上時，設(shè)Nx,?3x，當(dāng)M在【詳解】（1）解：把A?1,3代入ym=?1×3=?3，∴反比例函數(shù)為：y2把B3,c代入y=?3x∴B3,?1把A?1,3，B3,?1代入?k+b=33k+b=?1，解得：k=?1∴一次函數(shù)的解析式為：y1（2）∵A?1,3，B3,?1，結(jié)合圖象可得：y1x<?1或0<x<3．（3）∵一次函數(shù)的解析式為：y1令y1=0，則x=2，即如圖，當(dāng)M在y軸的正半軸上時，設(shè)Nx,?∵M(jìn)N⊥y軸，∴MN=?x,OM=?3∴12解得：x=?3∴N?當(dāng)M在y軸的負(fù)半軸上時，設(shè)Nx,?3x∵M(jìn)N⊥y軸，∴MN=x,OM=3∴12解得x=3∴N3綜上：N的坐標(biāo)為?32,2【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例與一次函數(shù)的解析式，利用圖象法解不等式，坐標(biāo)與圖形面積，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河南周口·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOD的頂點O與坐標(biāo)原點重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點D(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)E是x軸正半軸上的動點，過點E作x軸的垂線交線段OA于點M，交雙曲線于點P，在E點運動過程中，M點正好是線段EP中點時，求點E的坐標(biāo)．【答案】(1)y=128x(2)E(42，0)【分析】（1）過點D作x軸的垂線，垂足為F，由點D的坐標(biāo)為（8，6），得到OF=8，DF=6，求得點A坐標(biāo)為（8，16），于是得到結(jié)論；（2）求得OA的表達(dá)式為y=2x，設(shè)E點坐標(biāo)為（m，0），則M點坐標(biāo)（m，2m），F(xiàn)點坐標(biāo)(m，128m)，得到P（m，4m【詳解】（1）解：過點D作x軸的垂線，垂足為F，∵四邊形ABOD是菱形，∴AD∥BO，∴A、D、O在同一直線上，∵點D的坐標(biāo)為（8，6），∴OF=8，DF=6，∴OD=10，∴AD=10，∴點A坐標(biāo)為（8，16），∴k=xy=8×16=128，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y=128x（2）解：∵點A坐標(biāo)為（8，16），∴OA的表達(dá)式為y=2x，設(shè)E點坐標(biāo)為（m，0），則M點坐標(biāo)（m，2m），F(xiàn)點坐標(biāo)（8，0），∵M(jìn)點正好是線段EP中點，∴P（m，4m），∴128m解得：m=42或m=?42(不合題意，舍去)，∴E(42，0)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A1，3，B3，1是反比例函數(shù)y=3x的圖象上的兩點，點P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動點，過點P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q．設(shè)點M

【答案】12【分析】設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A1，3，B3，1代入解得y=?x+4，根據(jù)題意，得Mx，0，P【詳解】解：設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A1，3，B3=k+b1=3k+b解得k=?1b=4即AB的解析式為y=?x+4，因為點P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動點，過點P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q，設(shè)點M橫坐標(biāo)為則Mx，0，P那么S△OPQ即S△OPQ因為因為點P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段所以1<x<3，因為x?22所以?那么?1當(dāng)x=2時，式子有最大值，且為?1所以則△OPQ面積的最大值為12，此時x=2故答案為：12【點睛】本題主要考查的是三角形面積、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)等知識內(nèi)容，對S△OPQ=?1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點A1,0且與y軸平行，直線l2過點B0,2且與x軸平行，直線l1，與直線l2相交于點P，點E為直線l2上一點，反比例函數(shù)y=k（1）若點E與點P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF的面積的3倍，求點E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k<2時，G是y軸上一點，直接寫出所有使得△EFG是等腰直角三角形的點G的坐標(biāo)，并把求其中一個點G的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】（1）2；（2）E2,2或(12,2)；（3）G0,【分析】（1）首先根據(jù)題意確定點P的坐標(biāo)，若點E與點P重合，即點E與點P的坐標(biāo)相同，因此直接代入解析式求解即可；（2）當(dāng)E在P右邊時，作EM⊥x軸于M，設(shè)Em,2，則F1,2m，然后分別表示出△OEF和△PEF的面積，根據(jù)題意建立方程求解即可；當(dāng)E在P左邊時，作EM⊥x軸于M，設(shè)Em,2，則F(1,2m)，分別表示出△OEF（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意Р1,2∵點E與點P重合，∴把Р1,2代入y=kx∴k的值為2．（2）①如圖2中，當(dāng)E在P右邊時，作EM⊥x軸于M．設(shè)Em,2，則F∵S△OEF≡S∴S△OEF∵S△EOF∴2+2m2解得：m=1或m=2，∵E在P右邊，∴m=2，∴此時E2,2②如圖3中，當(dāng)E在P左邊時，作EM⊥x軸于M．設(shè)Em,2，則F(1,2m)同理可得2+2m2解得：m=1或m=1∵E在P左邊，∴m=1∴此時E(1綜上所述，當(dāng)E2,2或(12,2)時，（3）∵k<2，∴0<m<1，設(shè)Em,2，F(xiàn)①如圖，當(dāng)∠EFG=90°，EF=FG時，作GS⊥AP于S點，∴∠GSF=∠FPE=90°，∴∠SGF+∠SFG=90°，∵∠SFG+∠PFE=90°，∴∠SGF=∠PFE，∴△SGF≌△PFE（AAS），∴PF=GS，PE=SF，即：2-2m=1，解得：m=1∴PE=SF=12∴AS=PA?PF?SF=2?1?1∴OG=AS=1∴G0,②如圖，當(dāng)∠EGF=90°，EG=FG時，作FT⊥y軸于T點，則同①可證得△FTG≌△GBE，∴BG=FT=1，∴OG=OB-BG=2-1=1，∴G0,1③如圖6，當(dāng)點E在P點左邊時，∠FEG=90°，EG=EF，∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠PEF=90°，又∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠PEF=∠BEG，又∵EG=EF，∠GBE=∠EPF=90°，∴△EFP≌△GEB（ASA），∴EB=PF，BG=PE，∴m=2-2m，解得m=∴BG=PE=1?23∴此時G(0,綜上，G0,12或G【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合運用，理解反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，以及反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線AC與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象相交于A、C兩點，與x軸交于點D，過點D作DE⊥x軸交反比例函y=kxk>0的圖象于點E，連結(jié)CE，點B為y軸上一點，滿足【答案】6【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BF=FC，即點C的橫坐標(biāo)是點A橫坐標(biāo)的2倍，可設(shè)點A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點C的坐標(biāo)，由點A、點C的縱坐標(biāo)得出AF=CN，進(jìn)而利用全等三角形得出點E的橫坐標(biāo)為3a【詳解】解：如圖，過點A作AM⊥x軸，交BC于點F，垂足為M，過點C作CN⊥∵AB=∴BF＝由于點A、點C在反比例函數(shù)y=可設(shè)點Aa,ka，即∴ON＝∴點C2a,∴AF=∴AF=在△AFC和△∠AFC∴△AFC≌∴FC=∴點E的橫坐標(biāo)為3a又∵點E在反比例函數(shù)y=∴點E的縱坐標(biāo)為k3即DE=∵S△DCE=1∴12∴k=6故答案為：6．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示線段的長是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）已知：一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一象限內(nèi)交于點Am,2，B3,n兩點，且m，n滿足2m?3n2+n?1=0，直線l經(jīng)過點A且與y軸平行，點C是直線l上一點，過點

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點C在點A上方時，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE(3)如圖2，當(dāng)點C在點A下方時，點H是DC的中點，點G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點G的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為：y=3x，一次函數(shù)為(2)CD(3)G【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解m=3（2）證明AO=AC，求解AC=AO=322+2（3）由四邊形ABGH是平行四邊形．可得AB∥HG，設(shè)C32,t，Gx,0，而H為【詳解】（1）解：∵2m?3n2∴2m?3n=0n?1=0，解得：m=∴A32,2∴k=3×1=3，∴反比例函數(shù)解析式為：y=3把A32,2，B32a+b=23a+b=1∴一次函數(shù)為y=?2（2）∵直線l經(jīng)過點A且與y軸平行，∴∠DOC=∠ACO，∵OC平分∠AOD，∴∠DOC=∠AOC，∴∠AOC=∠ACO，∴AO=AC，∵A3∴AC=AO=322∴C3∵E在y=3∴92=3x，可得∴CDDE（3）∵四邊形ABGH是平行四邊形．∴AB∥

設(shè)C32,t，Gx,0，而∴H3由平移的性質(zhì)可得：x=3∴G9【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例，一次函數(shù)的解析式，算術(shù)平方根的非負(fù)性的應(yīng)用，等腰三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y=kx?2k≠0的圖像與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=?3xx<0的圖像交于點(1)b=___________，k=___________．(2)若點P在第三象限內(nèi)，是否存在點P使得△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，C是線段AB上一點（不與點A，B重合），過點C且平行于y軸的直線l交該反比例函數(shù)的圖像于點D，連接OC，OD，BD．若四邊形OCBD的面積為3，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)1，?1(2)?1,?3或?4,?2(3)?【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點O為直角頂點時；②當(dāng)點B為直角頂點時；分別求解即可；（3）由S四邊形【詳解】（1）解：∵點B?3,b在反比例函數(shù)y=?∴b=1，即B?3,1∵一次函數(shù)y=kx?2的圖像過點B?3,1∴1=?3k?2，解得k=?1．故答案為：1，?1；（2）解：存在．理由如下：若△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形，則需要分兩種情況討論：①當(dāng)點O為直角頂點時，如圖，過點O作OP1⊥OB且OP1=OB，分別過點B、P1∴∠BEO=∠OFP1=90°∴∠OBE=∠P又∵OB=OP∴△BEO≌∴OE=P1F=1∴P②當(dāng)點B為直角頂點時，如圖，過點B作BP2⊥OB，且B∴四邊形OBP∴OB∥P1∴P2綜上，點P的坐標(biāo)為?1,?3或?4,?2．（3）解：∵點C在線段AB上（不與點A，B重合），∴設(shè)點Cm,?m?2則點Dm,?則S四邊形解得m1=?3故點C的坐標(biāo)為?3【點睛】此題是一道反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、三角形全等的判定與性質(zhì)、圖形的面積計算等知識，熟練掌握并靈活運用相關(guān)知識、添加輔助線構(gòu)造全等三角形與分類討論的思想是解答此題的關(guān)鍵．【題型3反比例函數(shù)中的存在性問題】【例3】（2023春·江蘇鹽城·九年級景山中學(xué)?？计谀┪覀兌x：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長為4．寬為3的矩形C是否存在完全12(3)如果長為4，寬為3的矩形C存在完全k倍體，請求出k的取值范圍．【答案】(1)不存在；長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，理由見解答(2)長為3．寬為2的矩形C不存在完全12(3)k≥【分析】（1）根據(jù)“完全N倍體”的定義及題干示例解答即可；（2）運用新定義“完全N倍體”及【小鳴方程流】和【小棋函數(shù)流】的方法分別解答即可；（3）設(shè)所求矩形的長為x，則所求矩形的寬為：5k?x，根據(jù)新定義“完全N倍體”可得：x2【詳解】（1）不存在．理由：因為兩個正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在．深入探究：長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，理由：∵矩形ABCD的長為3，寬為2，∴矩形ABCD的周長為10，面積為6，小鳴方程流：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12整理得：x2解得：x1=5+13∴新矩形的長為5+13，寬為5?∴長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形．小棋函數(shù)流：如圖，設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，即y=?x+10，y=12x，利用反比例函數(shù)l2：y=12x

故長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體．（2）解：長為3，寬為2的矩形C的周長為10，面積為6，小鳴方程流：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=52，聯(lián)立得x+y=5整理得：2x∵Δ=∴此方程沒有實數(shù)根，即長為3．寬為2的矩形C不存在完全12小棋函數(shù)流：如圖，設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=52，即y=?x+52，利用反比例函數(shù)l2：y=3x與一次函數(shù)l

故長為4．寬為3的矩形C不存在完全12（3）解：設(shè)所求矩形的長為x，則所求矩形的寬為：5k?x，由題意得x?5k?x整理得：x2Δ=25∵一定存在另一個矩形的周長和面積分別是已知矩形周長和面積k倍，∴Δ≥0∴25k2?24k≥0∵k>0，∴25k?24≥0，∴k≥24∴k的取值范圍為：k≥24故答案為：k≥24【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式．需要認(rèn)真閱讀理解新定義“矩形A是矩形B的完全N倍體”，根據(jù)題干過程模仿解題．第（3）題應(yīng)用一元二次方程根的判別式求k的范圍．【變式3-1】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）（綜合與探究）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象過點C?4,2，點D的縱坐標(biāo)為4，直線CD與x軸，

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是Rt△AOB直角邊上的一個動點，當(dāng)S△PCD=(3)已知點D關(guān)于y軸的對稱點為M，點C關(guān)于x軸的對稱點為N,Q為y軸上的動點．問直線CD上是否存在點G，使得以點M,N,Q,G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=x+6(2)?3,0或0,3(3)存在，G【分析】（1）由點C先求反比例函數(shù)的解析式，然后求出點D的坐標(biāo)即可求解；（2）分類討論P(yáng)在OA上和點P在OB上，即可求解；（3）分類討論MN作為平行四邊形的邊和對角線，畫出對應(yīng)圖形即可求解．【詳解】（1）解：將點C?4,2代入y=kx∴y=?8x令?8x=4∴D?2,4.設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，將C?4,2、D?2,4?4m+n=2,解得m=1,∴y=x+6.（2）解：在y=x+6中，令y=0，得x=?6,∴A?6,0令x=0，得y=6,∴B0,6∴S∴S△PCD①當(dāng)點P在OA上時，設(shè)Pa,0則S△PCD∴1即12解得：a=?3，∴P?3,0.②當(dāng)點P在OB上時，設(shè)P0,b則S△PCD∴1即12解得：b=3，∴P0,3（3）解：∵點M是點D關(guān)于y軸的對稱點，N是點C關(guān)于x軸的對稱點∴M設(shè)點Gg,g+6，①當(dāng)MN作為平行四邊形的一邊時如圖所示：

g+2=0?4g+6+4=q?2，解得故G點為?6,0

g?4=0+2g+6?2=q+4，解得故G點為6,12②當(dāng)MN作為平行四邊形的對角線時如圖所示：

g+0=2?4g+6+q=4?2，解得故G點為?2,4綜上：G1【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題．掌握“分類討論”的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點A（a，2a）（a＞0）和點B，且OA=5，點C是x軸正半軸上一點，過點C作x軸的垂線，與正比例函數(shù)圖象交于點P，與反比例函數(shù)圖象交于點(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點Q是PC的中點時，求C點的坐標(biāo)；(3)是否存在點C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此時點C的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)正比例函數(shù)解析式為y=2x；反比例函數(shù)的解析式為y=(2)2(3)存在，C【分析】（1）先求出正比例函數(shù)解析式，再利用A點坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）先設(shè)出C點坐標(biāo)，再分別表示出P點與Q點坐標(biāo)，最后代入解析式中求解即可；（3）先確定直角頂點，再構(gòu)造直角三角形，可以利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出G點坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）∵正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點A（a，2a）（∴2a=ka，∴k=2，∴正比例函數(shù)的解析式為：y=2x；∵OA=5，∴a2∵a＞0，∴a=1，∴A1∴m=1×2=2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2（2）設(shè)C∴Pc∵點Q是PC的中點，∴Qc∴c2∵點C是x軸正半軸上一點，∴c＞∴c=2∴C點的坐標(biāo)為2,0（3）存在，C5如圖，分別過A點作x軸的垂線，過B點作y軸的垂線，兩垂線交于點F，AF與x軸交于點E，BF與y軸交于點M，再過A點作AG⊥AB，與x軸交于G點，∵A∴B?1∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1，∴BF=2，AF=4，∴BF=AE，∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°，∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°，∴∠EAG=∠ABF，由∠AEG=∠F=90°，∴△AEG≌△BFA（ASA），∴EG=AF=4，∴OG=5，∴G5當(dāng)C點位于G點處時，△ABC是直角三角形，∴存在，C5【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并且能夠通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)y=kx的解析式，并確定這兩個函數(shù)圖象的另一個交點(2)畫出草圖，并據(jù)此直接寫出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在y=2的直線上是否存在一點P，使PB?PA的值最大，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=3x，點B(2)圖見解析，x>1或?1<x<0(3)存在，P【詳解】（1）解：∵把點Am,3代入y=3x∴3=3m，解得：m=1，∴點A1,3∵把點A1,3代入y=∴3=k1，解得：∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=3∵正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0∴這兩個函數(shù)圖象的另一個交點B的坐標(biāo)?1,?3；（2）解：畫圖如下：觀察圖象得：當(dāng)x>1或?1<x<0時，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)的下方，∴使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍為x>1或?1<x<0；（3）解：存在作點A關(guān)于直線y=2的對稱點C1,1，連接BC，并延長BC，交直線y=2于點P，連接PA，在直線y=2上任取一點D，連接DA、DB∵DB?DC≤BC=PB?PC，∵PA=PC,DA=DC，∴DB?DA≤BC=PB?PA，當(dāng)B、C、P共線時，PB?PA的值最大，設(shè)直線BC的解析式為y=k把B?1,?3和C1,1分別代入?k1+b=?3∴直線BC的解析式為y=2x?1，當(dāng)y=2時，2=2x?1，解得x=3∴P3【點睛】本題主要考查對用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解方程組等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】【例4】（2023春·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的頂點C、D在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作一個正方形DFEG，頂點G在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點E在x軸的正半軸上，則點D的坐標(biāo)為

【答案】(22,【分析】作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，設(shè)C(a,4a)，則CP=a，OP=4a，易得Rt△CBP?Rt△BAO?Rt△ADQ，則OB=PC=AQ=a，所以O(shè)A=BP=DQ=4a?a，則D的坐標(biāo)為(4a，4a?a)，然后把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=4x，得到a的方程，解方程求出a【詳解】解：作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，如圖所示，

則∠CPB=90°，∴∠CBP+∠PCB=90°，設(shè)C(a,4a)，則CP=a∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=AB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴∠PCB=∠ABO，在△CBP和△BAO中，∵∠CPB=∠BOA∠PCB=∠ABO∴△CBP?△BAO(AAS∴OB=PC=a，同理：PC=AQ=a，∴OA=BP=DQ=4∴OQ=a+8∴D的坐標(biāo)為(4a，把D的坐標(biāo)代入y=4得：(4解得：a=?22（不合題意，舍去），或∴D(22設(shè)G的坐標(biāo)為(b,4∵四邊形DGEF為正方形，同理可證：△DGN?△EGM，∴GM=GN=QM=4∴OM=OQ+QM=22∴22解得：b=2+6∴4b∴點G的坐標(biāo)為：(2+6故答案為：(22,2)；【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD的頂點A，B分別在x軸和y軸上，點C在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖象上，點D在第二象限內(nèi)，若AO=3BO，則正方形ABCD

A．10 B．3 C．7 D．5【答案】D【分析】如圖，過點C作CE⊥y軸于點E．設(shè)OB=m，則OA=3m．通過證明△ABO≌△BCE，得出CE=OB=m，BE=AO=3m，則OE=3m?m=2m，得出Cm,2m，將點Cm,2m代入y=2x，求出m=1，即可得出【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于點E．

設(shè)OB=m，則OA=3m．∵∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ABO=∠BCE．∵AB=BC，∴△ABO≌△BCE，∴CE=OB=m，BE=AO=3m，∴OE=3m?m=2m，∴Cm,2m∵點C在y=2∴2m=2∴m∴m=1（負(fù)值舍去），∴C(1,2)，∴CE=1，BE=3，根據(jù)勾股定理可得BC=3【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形四條邊都相等，全等三角形對應(yīng)邊相等，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【變式4-2】（2023春·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期末）【思路點撥】：如圖1，點A'是點A關(guān)于直線y=x的對稱點，分別過點A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．可以利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點A橫坐標(biāo)為12，且在函數(shù)y=

(1)求點A關(guān)于直線y=x的對稱點A'(2)若點B的坐標(biāo)為?1,1，點P是直線y=x．上的任意一點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．【答案】(1)2,(2)37【分析】（1）分別過點A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．設(shè)AA'交直線y=x于點K，作KL⊥x軸于點L，由軸對稱的性質(zhì)得OA=OA'，OK⊥AA'（2）連結(jié)BA'，交直線y=x于點P，連結(jié)AP，此時AP+BP=A'P+BP=BA'為最小值，分別過點A'，B作x軸的垂線，垂足為C，D，過點A'【詳解】（1）解：（1）分別過點A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'設(shè)AA'交直線y=x于點K．作KL⊥x軸于點

∵點A，A'關(guān)于直線y=x∴直線y=x是線段AA∴OA=OA'，∴∠AOK=∠A∵點K在直線y=x上，∴OL=KL，∴△OLK是等腰直角三角形，∴∠LOK=∠OKL=45°，∴∠MOK=90°?∠LOK=45°，∴∠MOK=∠LOK，∴∠MOK?∠AOK=∠LOK?∠A∴∠AOM=∠A∵∠AMO=∠A'NO=90°，∠AOM=∠∴△AMO≌△A∴MA=NA'，∵點A的橫坐標(biāo)為12，且點A在函數(shù)y=故將x=12代入y=1∴點A坐標(biāo)為12∴MA=NA'=∴點A'坐標(biāo)為2,（2）解：如圖2，連結(jié)BA'，交直線y=x于點P，連結(jié)AP，此時AP+BP=A'P+BP=BA'為最小值，分別過點A'，B作x軸的垂線，垂足為

∵由（1）知點A'坐標(biāo)為2,∴OC=2，A'∵點B的坐標(biāo)為?1,1，∴OD=BD=1，∴CD=OC+OD=3．∵∠A∴四邊形A'∴A'E=CD=3，∴A'即AP+BP的最小值為372【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）定義：把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做勾股四邊形．(1)矩形______勾股四邊形（填“是”或“不是”）．(2)如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，B兩點，點P?3,0在x

①分別求出A、B兩點的坐標(biāo)．②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時，如圖，請證明?APQB是勾股四邊形．(3)在（2）的條件下，當(dāng)以A、B、P、Q為頂點的四邊形是勾股四邊形時，請直接寫出Q點的坐標(biāo)．【答案】(1)是(2)①點A的坐標(biāo)為?2,3，點B的坐標(biāo)為3,?2；②證明見解析；(3)2,?5，4,1或1,4或?8,5【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明全等三角形，即可得到答案；（2）①聯(lián)立直線y=?x+1與雙曲線y=?6x，求出x和②先利用勾股定理的逆定理，得到∠APB=90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)，證明Rt△APB≌（3）設(shè)點Q的坐標(biāo)為x,y，分情況討論：①當(dāng)Rt△ABP≌Rt△QBP時，利用全等三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，即可求得點Q的坐標(biāo)；②當(dāng)Rt△ABP≌Rt△BAQ時，利用全等三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，即可求得點Q的坐標(biāo)；③當(dāng)Rt△ABP≌Rt△ABQ時，設(shè)直線AB與x軸交于點C，過點A作AE⊥x軸于點E，作AF∥x軸，過點Q作QF⊥AF于點F，先證明△AEC是等腰直角三角形，再證明△AEP≌△AFQ【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和RtAB=CD∠B=∠D∴Rt∴矩形是勾股四邊形，故答案為：是；

（2）解：①∵直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，聯(lián)立y=?x+1y=?6x，解得：x當(dāng)x=3時，y=?3+1=?2；當(dāng)x=?2時，y=??2∵點A在第二象限，點B在第四象限，∴點A的坐標(biāo)為?2,3，點B的坐標(biāo)為3,?2；②證明：∵A?2,3，B3,?2，∴AB2=(?2?3)2∴AP∴∠APB=90°，∵四邊形APQB是平行四邊形，∴AP=BQ，PQ=AB，AP∥∴∠APB=∠QBP=90°，在Rt△APB和RtAP=QBAB=PQ∴Rt∴四邊形APQB是勾股四邊形；

（3）解：由（2）可知，A?2,3，B3,?2，設(shè)點Q的坐標(biāo)為x,y，①如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∵AP=QB，AP∥∴3??2=x?∴Q2,?5②如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∵AP=QB，AP∥∴x??2=3?∴Q4,1③如圖，當(dāng)Rt△ABP≌Rt△ABQ時，設(shè)直線AB與x軸交于點C，過點A作AE⊥x軸于點E，作AF∥x軸，過點Q作QF⊥AF

∵∠BAP=∠BAQ，AP=AQ，∵直線AB:y=?x+1，令y=0，則?x+1=0，解得：y=1，∴C1,0∵A?2,3，AE⊥x∴E?2,0∴AE=3，CE=3，PE=1，∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠EAC=∠ACE=45°，∵AF∥∴∠BAF=∠ACE=45°，∴∠EAC=∠BAF，∴∠BAP?∠EAC=∠BAQ?∠BAF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∠EAP=∠FAQ∠AEP=∠AFQ=90°∴△AEP≌△AFQAAS∴AF=AE=3，QF=PE=1，∴x??2=3∴Q1,4④如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∴AB∥PQ，∴?2?x=3??3y?0=3?∴Q?8,5綜上所述，平面內(nèi)還存在點Q，使得以A，B，P，Q為頂點的四邊形是勾股四邊形，Q點的坐標(biāo)為2,?5或4,1或1,4或?8,5．【點睛】本題是反函數(shù)綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，勾股定理，平移的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】【例5】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標(biāo)原點0，0順時針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點，若直線y=12

【答案】5【分析】反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上點E繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得點A，過點E作EF⊥x軸于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x軸于C，設(shè)Bx，12x，并且△OBC是由△OKH繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到的，則OH=OC=x，從而H2【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上點E繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得點A，過點E作EF⊥x設(shè)Ea∵∠EOF=45°，∴EF=OF，∴a=5∵a>0，∴a=5∴OA=OE=10作BC⊥x軸于C，△OBC是由△OKH繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°∴點K在原反比例函數(shù)圖象上．設(shè)Bx∴OH=OC=x，∴H2∴過點H作GH⊥x軸于H，KG∥

∴△KGH是等腰直角三角形，∵KH=BC=1∴KG=GH=2∴K22x?∴24解得x=2303或x=?∴12∴BC=30∴S故答案為：53【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得B點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱這個點為“等值點”．例如：點A(3，6)，因為C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值點”．(1)若點E為雙曲線y=4x(x>0)上任意一點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，求證：點(2)在第一象限內(nèi)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象上有兩個“等值點”，求b的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)b>8【分析】（1）依題意，點E的坐標(biāo)為：(t，4t)，則點F(t+2，4t+2)（2）根據(jù)題意，得出x2?bx+2b=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出【詳解】（1）證明：點E的坐標(biāo)為：(t，4t)，則點F(t+2，4t+2則C=2(t+2+4t+2)=2t+8tS=(t+2)×(4t+2)=2t+8t∴C=S，∴點F為“等值點”；（2）解：由題意得：C=2(x+y)=2b，S=xy=?x∵C=S，則?x即x2∵圖象在第一象限內(nèi)有兩個“等值點”，且x1∴Δ=∴b>8【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點A的坐標(biāo)為1，0，點C的坐標(biāo)為3，4，M是BC邊的中點，函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點A，B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點D在函數(shù)y=kx【答案】（1）6；（2）y=2x-1．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的特點求得點M的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)解析式求得k的值；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知：△DEF?△ABC，故其對應(yīng)邊、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到：D2,3，E0,3.結(jié)合EF=BC=4得到【詳解】（1）∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點C的坐標(biāo)為（3，4），∴點B的坐標(biāo)為（3，0），CB=4．∵M(jìn)是BC邊的中點，∴點M的坐標(biāo)為（3，2）．∵函數(shù)y=k∴k=3×2=6．（2）∵△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF，∴△DEF≌△ABC．∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．∵點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0），∴AB=2．∴DE=2．∵EF在y軸上，∴點D的橫坐標(biāo)為2．∵點D在函數(shù)y=6當(dāng)x=2時，y=3．∴點D的坐標(biāo)為（2，3）．∴點E的坐標(biāo)為（0，3）．∵EF=BC=4，∴點F的坐標(biāo)為（0，-1）．設(shè)直線DF的表達(dá)式為y=ax+b，將點D，F(xiàn)的坐標(biāo)代入，得3=2a+b?1=b∴直線DF的表達(dá)式為y=2x-1．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解題時，注意函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點A1,1，點C3,3，反比例函數(shù)y=k

(1)試說明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過點(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點E、①求△MEF的面積；②在x軸上是否存在一點G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①74；②存在，(3【分析】（1）將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求得k值，再驗證點B即可；（2）①S②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：（1）∵點A1,1，點C3,3，四邊形∴點D1,3，B將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k=3，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=3當(dāng)x=3時，得y=1，∴反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過點（2）解：2①平移后點M、N、P、Q的坐標(biāo)分別為：1,0、3,0，3,2、1,2則平移后點F橫坐標(biāo)為3，則點F3,1同理點E3∴S

②點F、E的坐標(biāo)分別為：3,1、32設(shè)點Gm,0則EF2=(3?3當(dāng)EF=EG時，即134解得：m=92或當(dāng)m=92時，點E、F、∴m=3當(dāng)EF=GE時，同理可得：方程無實數(shù)根，舍去，當(dāng)EG=GF時，同理可得：m=5故點G的坐標(biāo)為：32,0或54【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到勾股定理的運用、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，要注意分類求解，避免遺漏．【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】【例6】（2023·山東濟(jì)寧·校考二模）如圖，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點Am,8，與x軸交于點B，平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖像于點M，交AB于點

(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖像，直接寫出當(dāng)x>0時，不等式2x+6?k(3)直線y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時，△BMN的面積最大？最大值是多少？【答案】(1)y=(2)x>1(3)n=3,【分析】（1）先把點A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m的值即可得到點A的坐標(biāo)，再把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k，即可確定反比例函數(shù)解析式；（2）只需要找到當(dāng)x>0時，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方時自變量的取值范圍即可解答；（3）先求出M8n，n，Nn?6【詳解】（1）解：∵直線y=2x+6經(jīng)過點A1∴m=2×1+6=8，∴A1∵反比例函數(shù)經(jīng)過點A1∴8=k∴k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為y=8（2）解：由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x>1時一次函數(shù)y=2x+6的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方，∴當(dāng)x>1時，2x+6>kx∴不等式2x+6?kx>0（3）解：由題意，點M，N的坐標(biāo)為M8n，∵0<n<6，∴n?62∴MN=8∴S△BMN∵?1∴n=3時，△BMN的面積最大，最大值為254【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合、反比例函數(shù)與幾何綜合等知識點，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點A1,4,B7,1，點P在線段AB上，并且點P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過點P(1)當(dāng)點P與點B重合時，求L的表達(dá)式；(2)求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)直接寫出k的最小值和最大值．【答案】(1)y=(2)y=?(3)k的最小值是4，最大值是10【分析】（1）將點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式直接求解即可．（2）設(shè)出直線解析式后代入A1,4（3）直接寫出點P所有的坐標(biāo)，分別算出k的最小值和最大值即可．【詳解】（1）∵B7,1，代入y=kx∴k=7，∴y=7（2）設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，把A1,4和B7,1代入得：m+n=47m+n=1則線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（3）∵點P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P在直線y=?12x+92∴令x=1,y=4；令x=3,y=3；令x=5,y=2；令x=7,y=1；∴P(1,4),(3,3),(5,2),(7,1)當(dāng)P(1,4)時，代入y=kx(x>0)當(dāng)P(5,2)時，代入y=kx(x>0)∴k的最小值是4，最大值是10．【點睛】此題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解題關(guān)鍵是將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式直接求解．【變式6-2】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，動點M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過點M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；②當(dāng)y<y2時，③點D在x軸上，點E在y軸上，且以點B、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個定值．【答案】(1)①y＝－4x＋5；②0＜x＜14或x＞1；③D（34，0）E（0，3）或D（－34(2)見解析【分析】（1）①首先求出點B和C的坐標(biāo)，代入直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，解方程即可；②首先求出直線BC與x軸交點橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可得答案；③設(shè)D（m，0），E（0，n），分三種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式可得答案；（2）延長MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a），表示出△OBC【詳解】（1）解：①當(dāng)M（1，4）時，則B14,4，∴14解得k=?4b=5∴直線BC的解析式為y＝﹣4x+5，故答案為：y＝﹣4x+5；②當(dāng)y＝0時，x＝54由圖象知，當(dāng)0＜x＜14或1＜x＜54時，y＜y故答案為：0＜x＜14或1＜x＜5③設(shè)D（m，0），E（0，n），當(dāng)BD、CE為對角線時，14∴m=3∴D（34，0）E當(dāng)BC、DE為對角線時，14∴m=5此時點B、C、D、E共線，故舍去，當(dāng)BE、CD為對角線時，14∴m=?3∴D（?34，0）綜上：D（34，0）E（0，3）或D（?34（2）解：證明：延長MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a∴B（a4,4a），C（∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO＝a×4a﹣12﹣12×（4＝4﹣1＝158∴△BOC的面積是個定值．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，由特殊到一般，設(shè)出點M的坐標(biāo)，從而得出點B和C的坐標(biāo)是解決問題（2）的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．閱讀下列材料，回答問題：對任意的實數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類比論證]對于任意正實數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a+[幾何驗證]如圖（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE為△ABC的中線，若AD＝a，BD=b，試根據(jù)圖形證明：a+b≥2ab．[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝時，代數(shù)式a+4a有最小值為[問題解決]（1）某汽車零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購進(jìn)了一批自動化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺設(shè)備每天的運營成本包含以下三個部分：一是固定費用，共3600元；二是材料損耗費，每個零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費（元），它與生產(chǎn)的零件個數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車零件x個．當(dāng)x為多少時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本最低？最低是多少元？（2）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣43?4與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，點M為反比例函數(shù)y＝12x（x＞0）上的任意一點，過點M作MC⊥x軸于點C,MD⊥y軸于點D．則四邊形ABCD【答案】[類比論證]≥；[幾何驗證]見解析；[結(jié)論應(yīng)用]2，4；[問題解決]（1）當(dāng)x=6000時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本最低，最低為6.2元；（2）24．【分析】[類比論證]利用完全平方公式可求解；[幾何驗證]由直角三角形的中線性質(zhì)可得CE=12(a+b)[結(jié)論應(yīng)用]利用材料的結(jié)論，可求解；[問題解決]（1）設(shè)設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本為y元，由題意可得y=3600+5x+0.0001（2）先求出點A，點B坐標(biāo)，設(shè)點M(x,12?x)，由可求CA，BD，由四邊形【詳解】解：[類比論證]∵(∴a+b?2ab∴a+b?2ab故答案為：?；[幾何驗證]設(shè)CD=x，∵CD⊥AB，∴AC2=AD2+CD2=a2+x2，BC2=BD2+CD2=b2+x2∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴(a+b)2=a2+x2+b2+x2，∴x2=ab，∴x=ab∵CE為ΔABC的中線，∴CE=12AB=12(a+∵CD⊥AB，∴CE≥CD（點D和點E重合時CE=CD），∴12(a+b)≥ab，即[結(jié)論應(yīng)用]∵a>0，∴(∴a+4∴當(dāng)a=2a時，a+∴a=2，故答案為：2，4；[問題解決]（1）設(shè)設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本為y元，由題意可得：y=3600+5x+0.0001∵x>0，∴0.0001x+3600∴當(dāng)0.0001x=3600x時，即x=6000時，0.0001x+3600∴y的最小值為6.2元，答：當(dāng)x為6000時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本最低，最低是6.2元；（2）∵直線y=?43x?4與坐標(biāo)軸分別交于點A∴點A(?3,0)，點B(0,?4)，設(shè)點M(x,12∴C(x,0)，點D(0,12∴CA=x+3，DB=12∵四邊形ABC