人教版九年級上冊數(shù)學舉一反三21.9一元二次方程章末十大題型總結(培優(yōu)篇)(學生版+解析)

專題21.9一元二次方程章末十大題型總結（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的相關概念辨析】 1【題型2一元二次方程的解的估算】 1【題型3配方法的應用】 2【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 4【題型6一元二次方程的一般解法】 4【題型7換元法解一元二次方程】 5【題型8根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合】 5【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】 6【題型10一元二次方程的實際應用】 8【題型1一元二次方程的相關概念辨析】【例1】（2023春·湖南益陽·九年級?？计谥校┤舴匠?k?1)xk+1?2x=5是關于x的一元二次方程，則k=．【變式1-1】（2023春·九年級課時練習）下列方程中屬于一元二次方程的是（

）A．2(x+1)2=x+1 C．xy?x2=2【變式1-2】（2023春·河南開封·九年級統(tǒng)考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次項系數(shù)為【變式1-3】（2023春·福建廈門·九年級廈門外國語學校?？计谀﹥蓚€關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c=0，如果x=2是方程A．2 B．?2 C．±1 D．1【題型2一元二次方程的解的估算】【例2】（2023春·福建漳州·九年級?？计谥校┹斎胍唤M數(shù)據(jù)，按下列程序進行計算，輸出結果如表：x20.520.620.720.820.9輸出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的數(shù)據(jù)，估計方程(x＋8)2－826＝0的一個正數(shù)解x的大致范圍為（）A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9【變式2-1】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格的對應值，由此可判斷方程x2+12x﹣15=0必有一個解x滿足（

x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84【變式2-3】（2023春·江蘇·九年級校聯(lián)考階段練習）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：x0.511.523ax2+bx+c2818104﹣2估計一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c為常數(shù)，a≠0）一個解x的范圍為（

）A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3【題型3配方法的應用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c是不等邊△ABC的三邊長，滿足a2＋b2＝6a＋8b－25，則最長邊c的范圍（

）A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4【變式3-1】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關于x的一元二次方程：m(x?a)2+b=0與n(x?a)2+b=0，稱為“同類方程”．如2(x?1)2+3=0與6(x?1)2【變式3-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙崝?shù)x、y、z滿足x2?4x+y2+4y?2xy+z=2018【變式3-3】（2023春·四川內(nèi)江·九年級校考期中）若a，b，c滿足a+b+c=2a+1+4b+1+6【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例4】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關于x的方程bx2+x+2023=0A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個【變式4-1】（2023春·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）對于一元二次方程ax2+bx+c=0①若a?b+c=0，則它有一根為－1；②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0【變式4-2】（2023春·安徽亳州·九年級?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程x2(1)判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰直角三角形，且其兩條邊長恰好是該方程的根，求m的值．【變式4-3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時我們把關于

(1)求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例5】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）關于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在k的值，使k為非負整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請求出滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2023春·浙江金華·九年級校考期中）.已知關于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解，則k【變式5-2】（2023春·山東威海·九年級校聯(lián)考期末）定義新運算“*”：對于實數(shù)a，b，c，d有a,c?d,b=ab+cd，例如1,2*3,4=1×4+2×3=10，若關于x的方程A．k≤54 B．k≥54 C．k≤54且【變式5-3】（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期末）若實數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【題型6一元二次方程的一般解法】【例6】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末）解下列方程：(1)2x(2)x2(3)2x(4)3y(y?1)=2(y?1)．【變式6-1】（2023春·安徽六安·九年級?？计谥校┱堄脙煞N不同的方法解一元二次方程：x2【變式6-2】（2023春·寧夏吳忠·九年級校考期中）解方程(1)x2(2)2x(3)2x?3【變式6-3】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)3x(2)x+13x?1(3)4x2x+1(4)x2【題型7換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）材料：為解方程x4-x2-6=0，可將方程變形為x22解得y1=-2，當y1=-2時，x2=-2無意義，舍去；當y2所以原方程的解為x1=-3問題：利用本題的解題方法，解方程x2【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）已知方程x2?10x+21=0的根為x1=3，x2【變式7-2】（2023春·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期中）若x2+y2xA．?3 B．4 C．?3或4 D．3或4【變式7-3】（2023春·湖北恩施·九年級校考期中）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．【問題】解方程：x2【提示】可以用“換元法”解方程．解：設x2?6x=t（t原方程可化為：t2【續(xù)解】【題型8根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合】【例8】（2023春·安徽六安·九年級?？计谀┮阎P于x的一元二次方程2x(1)求k的取值范圍．(2)若此方程的兩根為x1，x2，且x1，x(3)若k為正整數(shù)，此方程的兩根為x1，x2，求【變式8-1】（2023春·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次方程x2?6x+m?3=0有兩個大于2的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12【變式8-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）實數(shù)k使關于x的方程x2+2kx+k2=x+1有兩個實數(shù)根x【變式8-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次方程x2?2mx+m2?m=3(1)求m的取值范圍；(2)若m取負整數(shù)，求x1(3)若該方程的兩個實數(shù)根的平方和為18，求m的值．【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】【例9】（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程時，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉化為x=a的形式；求解二元一次方程組時，把它轉化為一元一次方程求解；類似的，解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組求解；解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程求解；解分式方程，把它轉化為整式方程求解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想——轉化，把未知轉化為已知，把復雜轉化為簡單。運用“轉化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2?3x=0，可以通過因式分解把它轉化為：x(x2(1)問題：方程2x3+10x2?12x=0的解是：(2)拓展：解方程組x(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點B，把繩長拉直并固定在AD上的一點P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點C處，求DP的長．【變式9-1】（2023春·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期末）【綜合與實踐】：閱讀材料，并解決以下問題．【學習研究】：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關于一元二次方程的幾何解法：以x2首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫四個長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2【類比遷移】：小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（第二步：利用四個面積可用x表示為_________的全等矩形構造“空心”大正方形（請在畫圖區(qū)畫出示意圖，標明各邊長），并寫出完整的解答過程；第三步：【拓展應用】：一般地對于形如：x2+ax=b一元二次方程可以構造圖2來解，已知圖2是由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a=________，【變式9-2】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=y2，把x=y2代入已知方程，得y2這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程x2(2)已知關于x的一元二次方程ax【變式9-3】（2023春·河南南陽·九年級校考期末）閱讀材料：材料1：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個根為x1，x材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個根為x(2)類比應用：已知一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m、n(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2【題型10一元二次方程的實際應用】【例10】（2023春·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）某段公路上有一條雙向線隧道（可雙向行駛，車輛不能行駛在中間線上）隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構成．以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，已知隧道寬度AB=8米，隧道最高處距路面OE=6米，矩形的寬AD=2米．(1)求這條拋物線的表達式．(2)為了保證安全，交通部門要求行駛車輛的頂部（設為平頂）與隧道的頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5米，問該隧道能通過寬為3米的貨車的最高高度為多少米？【變式10-1】（2023春·吉林·九年級?？计谥校百F妃芒”芒果品種是廣受各地消費者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在我國海南省廣泛種植，水果商以每斤15元的價格從該省批發(fā)“貴妃芒”，再按每斤25元的價格到市區(qū)銷售，平均每天可售出60斤，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每斤“貴妃芒”的售價每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加10斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售．設“貴妃芒”每斤的價格降低x元．(1)若水果商銷售“貴妃芒”每天盈利630元，則每斤“貴妃芒”的售價應降至多少元？(2)若x的范圍為1≤x≤9內(nèi)的正整數(shù)，則水果商的最高利潤與最低利潤的差為________元．【變式10-2】（2023春·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）2022年11月20日，第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾拉開了序幕．32支球隊的激烈角逐吸引著全世界億萬球迷的目光．鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），足球的飛行軌跡可看成拋物線．足球離地面高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關系如下表：t01234567…?08141820201814…下列結論不正確的是（

）A．足球飛行路線的對稱軸是直線t=92C．足球距離地面的最大高度為20米 D．足球被踢出5~7秒，距離地面的高度逐漸下降【變式10-3】（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）小林家的洗手臺上有一瓶洗手液（如圖1所示）．如圖2所示，當手按住頂部A下壓位置時，洗手液瞬間從噴口B流出路線呈拋物線經(jīng)過C與E兩點．瓶子上部分是由CE和FD組成的，其圓心分別為D，C，下部分是矩形CGHD，GH=10cm，CG=8cm，點E到臺面GH的距離為14cm，點B距臺面的距離為16cm，且B，D，H三點共線．若手心距DH的水平距離為2

專題21.9一元二次方程章末十大題型總結（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的相關概念辨析】 1【題型2一元二次方程的解的估算】 3【題型3配方法的應用】 5【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 8【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 12【題型6一元二次方程的一般解法】 14【題型7換元法解一元二次方程】 18【題型8根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合】 20【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】 24【題型10一元二次方程的實際應用】 31【題型1一元二次方程的相關概念辨析】【例1】（2023春·湖南益陽·九年級?？计谥校┤舴匠?k?1)xk+1?2x=5是關于x【答案】?1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到答案．【詳解】依題意得k+1=2且解得k=?1故答案是?1．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式為y=ax2+bx+c(a≠0)【變式1-1】（2023春·九年級課時練習）下列方程中屬于一元二次方程的是（

）A．2(x+1)2=x+1 C．xy?x2=2【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2；②二次項系數(shù)不為0；③是整式方程；④含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者即為正確答案．【詳解】解：A.2(x+1)2=x+1B.1xC.xy?xD.x2故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-2】（2023春·河南開封·九年級統(tǒng)考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次項系數(shù)為【答案】-1【分析】先去括號，移項，合并同類項，再找出一次項系數(shù)即可．【詳解】解：x2+2（x-1）=3x，x2+2x-3x-2=0，x2-x-2=0，所以一次項系數(shù)是-1，故選：-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找各項系數(shù)帶著前面的符號．【變式1-3】（2023春·福建廈門·九年級廈門外國語學校?？计谀﹥蓚€關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c=0，如果x=2是方程A．2 B．?2 C．±1 D．1【答案】B【分析】利用方程根的定義去驗證判斷即可．【詳解】∵a≠0，c≠0，a+c=0，∴a=?c∴ca∴x2+b∴x2+b∵x=2是方程ax∴x=2是方程x2+b∴x2∴x=?2是方程x2即x=?2時方程cx故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義即使得方程兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解定義是解題的關鍵．【題型2一元二次方程的解的估算】【例2】（2023春·福建漳州·九年級?？计谥校┹斎胍唤M數(shù)據(jù)，按下列程序進行計算，輸出結果如表：x20.520.620.720.820.9輸出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的數(shù)據(jù)，估計方程(x＋8)2－826＝0的一個正數(shù)解x的大致范圍為（）A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9【答案】C【詳解】試題解析：由表格可知，當x=20.7時，（x+8）2-826=-2.31，當x=20.8時，（x+8）2-826=3.44，故（x+8）2-826=0時，20.7＜x＜20.8，故選C．【變式2-1】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格的對應值，由此可判斷方程x2+12x﹣15=0必有一個解x滿足（

x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84【答案】C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=1.1時，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時，x2+12x﹣15=0.84>0，則可以判斷方程x2+12x﹣15=0時，有一個解x滿足1.1<x<1.2．【詳解】∵x=1.1時，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時，x2+12x﹣15=0.84>0，∴1.1<x<1.2時，x2+12x﹣15=0即方程x2+12x﹣15=0必有一個解x滿足1.1<x<1.2，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式2-2】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)表格中的信息，判斷關于x的方程ax2+bx+c=0.02a≠0的一個解x3.243.253.26a?0.020.010.03A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．3.26<x【答案】C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=3.25和x=3.26時，代數(shù)式ax2+bx+c的值一個等于0.01，一個等于0.03，從而可判斷當ax2+bx+c=0.02時，3.25＜x＜3.26．【詳解】解：當x=3.25時，ax2+bx+c=0.01，當x=3.26時，ax2+bx+c=0.03，所以方程ax2+bx+c=0.02的解的范圍為3.25＜x＜3.26．故選：C．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．【變式2-3】（2023春·江蘇·九年級校聯(lián)考階段練習）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：x0.511.523ax2+bx+c2818104﹣2估計一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c為常數(shù)，a≠0）一個解x的范圍為（

）A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3【答案】C【分析】根據(jù)表格中ax2+bx+c的值確定6的對應位置即可確定x的范圍.【詳解】根據(jù)表格可知ax2+bx+c的值隨x的增大而減小，∵ax2+bx+c=6，且4<6<10，∴1.5＜x＜2，故選：C.【點睛】此題考查了函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)表格中未知數(shù)與代數(shù)式的對應關系確定代數(shù)式的位置，由此確定未知數(shù)的取值范圍，能理解表格的對應關系是解題的關鍵.【題型3配方法的應用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c是不等邊△ABC的三邊長，滿足a2＋b2＝6a＋8b－25，則最長邊c的范圍（

）A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4【答案】C【分析】由a2+b2=6a+8b-25，得a，b的值，然后利用三角形的三邊關系求得c的取值范圍即可．【詳解】∵a2+b2=6a+8b-25，∴（a-3）2+（b-4）2=0，∴a=3，b=4；∴4-3＜c＜4+3，∵c是最長邊，∴4＜c＜7．故選C．【點睛】本題考查了配方法的應用、非負數(shù)的性質(zhì)及三角形的三邊關系，解題的關鍵是對方程的左邊進行配方，難度不大．【變式3-1】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關于x的一元二次方程：m(x?a)2+b=0與n(x?a)2+b=0，稱為“同類方程”．如2(x?1)2+3=0與6(x?1)2【答案】2023【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵2(x?1)2+1=0∴(a+6)x∴(a+6)x∴b+8=2a+6解得：a=?1b=2∴a=?=?∴當x=1時，ax故答案為：2023．【點睛】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關鍵．【變式3-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙崝?shù)x、y、z滿足x2?4x+y2+4y?2xy+z=2018【答案】2022【分析】仔細觀察等式左側，先將多項式進行分組，再利用配方法化簡其形式，最后根據(jù)平方的非負性確定z的最大值.【詳解】解：∵x∴x∴(x?y)(x?y)2(x?y?2)2∵(x?y?2)∴當(x?y?2)2=0時，∴z?4=2018，∴z=2022，∴實數(shù)z的最大值為2022，故答案為：2022．【點睛】本題考查了配方法與平方的非負性，能夠識別多種情況下的配方條件，正確的配方是解題關鍵.【變式3-3】（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？计谥校┤鬭，b，c滿足a+b+c=2a+1+4b+1+6【答案】54【分析】先配成平方和等于0的性質(zhì)，再利用平方的非負性求解即可．【詳解】解：∵a+b+c=2a+1∴a+1?2a+1即，a+1?1∴a+1?1=0,解得：a=0,b=3,c=9，∴a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2ab+2ac+2bc=2×0×3+2×0×9+2×3×9=54．故答案為：54．【點睛】本題主要考查平方的非負性，配方法的應用，算術平方根等知識，將原方程配成平方和等于0的形式，是解題的關鍵．【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例4】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關于x的方程bx2+x+2023=0A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個【答案】D【分析】由直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限可得b≤0，分b=0時和b<0時，分別進行求解即可得到答案．【詳解】解：∵直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，∴b≤0，當b<0時，∴Δ∴關于x的方程bx當b=0時，方程為x+2023=0，此時方程為一元一次方程，此方程的根有1個，綜上所述，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關于x的方程bx故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根的個數(shù)與判別式的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2【變式4-1】（2023春·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）對于一元二次方程ax2+bx+c=0①若a?b+c=0，則它有一根為－1；②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0【答案】①②④【分析】利用因式分解法解方程可對①進行判斷；根據(jù)根的判別式的意義，由方程ax2+c=0有兩個不相等的實根得到Δ=?4ac>0，則可判斷Δ=b2?4ac>0，于是可對②進行判斷；由c是方程ax2+bx+c=0【詳解】解：若a?b+c=0時，則b=a+c，∴原方程為ax∴ax+cx+1解得x1若方程ax2+c=0∴方程ax2+bx+c=0∴方程ax∵c是方程ax∴ac當c≠0時，ac+b+1=0，故③錯誤；若b=2a+3c，則Δ=∴一元二次方程ax故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【變式4-2】（2023春·安徽亳州·九年級校考期中）已知關于x的一元二次方程x2(1)判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰直角三角形，且其兩條邊長恰好是該方程的根，求m的值．【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)3+2【分析】（1）先計算根的判別式的值得到Δ=4>0（2）先利用求根公式解方程得到x1=m+1，【詳解】（1）解：關于x的一元二次方程x2∵Δ=∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）∵Δ=∴x=?∴x1=m+1，∵該方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的兩邊，∵m+1>m?1，∴m+12整理得：m2解得m=3+22或m=3?2∴m的值為3+22【點睛】本題考查了根的判別式∶一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2【變式4-3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時我們把關于

(1)求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE【答案】(1)見解析(2)ab=8【分析】（1）結合勾股定理證明一元二次方程的根的判別式Δ≥0（2）把x=?1代入方程可得a+b=【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：Δ=∵a∴2c即Δ≥0∴勾系一元二次方程ax（2）當x=?1時，有a?∵2a+2b+2c=122∴32∴c=4，∴a2+∵a+b∴32=16+2ab，∴ab=8.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、勾股定理以及完全平方公式的變形等知識，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關鍵.【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例5】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）關于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在k的值，使k為非負整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請求出滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)k<94(2)2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式，建立關于k的不等式組，求得k的取值范圍．（2）根據(jù)（1）中所求k的取值范圍，得出使k為非負整數(shù)的值，代入Δ=【詳解】（1）解：由題意知，k≠0且Δ=∴b2解得：k<94且（2）解：∵k<94且∴k=1，2．當k=1時，Δ=9?4=5當k=2時，Δ=9?8=1故滿足條件的k的值為2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式△的關系：①Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；②Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；③Δ＜0?【變式5-1】（2023春·浙江金華·九年級校考期中）.已知關于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解，則k【答案】k≥【分析】根據(jù)關于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解得到Δ【詳解】解：∵方程k?3x∴Δ即20k?24≥0，得k≥6故答案為：k≥6【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，得到Δ≥0【變式5-2】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期末）定義新運算“*”：對于實數(shù)a，b，c，d有a,c?d,b=ab+cd，例如1,2*3,4=1×4+2×3=10，若關于x的方程A．k≤54 B．k≥54 C．k≤54且【答案】C【分析】由新定義的運算，可得到關于的一元二次方程再利用根的判別式進行求解即可．【詳解】解：∵x2∴(x整理得：kx∵方程有兩個實數(shù)根，∴Δ=解得k≤54且故選：C．【點睛】本題主要考查根的判別式,解答的關鍵是正確運用根的判別式．【變式5-3】（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期末）若實數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【答案】?8≤a<0【分析】由實數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0得到關于b的一元二次方程2ab2?2ab+a+4=0，由根的判別式【詳解】解：∵實數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab∴關于b的一元二次方程2abΔ=?2a2即aa+8≤0且∴a>0a+8≤0或a<0解得?8≤a<0，即a的取值范圍是?8≤a<0．故答案為：?8≤a<0【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元一次不等式組的解法等知識，由根的判別式Δ=?4a2【題型6一元二次方程的一般解法】【例6】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?1)2x(2)x2(3)2x(4)3y(y?1)=2(y?1)．【答案】(1)x(2)x(3)x(4)y1=1【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：2x∵a=2,b=?5,c=?1，Δ=∴x=?b±解得：x1（2）解：x2x2∴x?42∴x?4=±26解得：x1（3）解：2x∵a=2,b=?22,c=?5，∴x=?b±解得：x1（4）解：3y(y?1)=2(y?1)，∴y?13y?2∴y?1=0或3y?2=0，解得：y1=1，【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·安徽六安·九年級?？计谥校┱堄脙煞N不同的方法解一元二次方程：x2【答案】x1=2+【分析】可分別利用公式法和配方法求解．（其他方法也可）【詳解】方法一：x∵a=1,b=?4,c=?1,Δ∴x=?b±解得：x1=2+方法二：x∴x∴x∴(x?2)∴x?2=±5解得：x1=2+【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是根據(jù)方程的形式靈活運用各種方法．【變式6-2】（2023春·寧夏吳忠·九年級?？计谥校┙夥匠?1)x2(2)2x(3)2x?3【答案】(1)x1=?2(2)x1=(3)x1=3【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可；（3）方程整理后利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：因式分解得：x+2x?4所以x+2=0或x?4=0解得：x1=?2，（2）解：移項得：2x所以a=2，b=?7，c=4，所以Δ=所以x=7±解得：x1=7+（3）解：方程整理得：x2因式分解得：x?3x?9所以x?3=0或x?9=0，解得：x1=3，【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關鍵．【變式6-3】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)3x(2)x+13x?1(3)4x2x+1(4)x2【答案】(1)x1=3(2)x1=(3)x1=?(4)x1=?3+【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：方程整理得：x2開方得：x=±32解得：x1=32（2）解：方程整理得：3x這里a=3，b=2，c=?2，∵△=2∴x=?2±2解得：x1=?1+（3）解：方程移項得：4x(2x+1)?3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x?3)=0，所以2x+1=0或4x?3=0，解得：x1=?1（4）解：配方得：x2+6x+9=19，即開方得：x+3=±19解得：x1=?3+19【點睛】此題考查了解一元二次方程?因式分解法，公式法，直接開平方法，配方法，熟練掌握根據(jù)方程的特征選擇恰當?shù)慕夥ㄊ墙獗绢}的關鍵．【題型7換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）材料：為解方程x4-x2-6=0，可將方程變形為x22解得y1=-2，當y1=-2時，x2=-2無意義，舍去；當y2所以原方程的解為x1=-3問題：利用本題的解題方法，解方程x2【答案】x1=3【分析】根據(jù)題意，設x2-x=y，則x2-x2-4x【詳解】解：設x∴x2-∵y2-4∴y=6，∴當y=6時，x2-x=6，方程變形為：當y=-2時，x2∵△=∴x2∴x2-x2-4【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握換元法解一元二次方程，根的判別式，易錯點換元降次是求解一元高次方程．【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）已知方程x2?10x+21=0的根為x1=3，x2【答案】x1=2【分析】設2x?1=t，可得t2?10t+21=0，根據(jù)x2?10x+21=0的根為x1=3，【詳解】解：設2x?1=t，可得t2∵x2?10x+21=0的根為x1∴2x?1=3或2x?1=7，解得：x1=2，故答案為x1=2，【點睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關鍵是設2x?1=t，得到t2?10t+21=0，結合方程x2?10x+21=0的根為【變式7-2】（2023春·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期中）若x2+y2xA．?3 B．4 C．?3或4 D．3或4【答案】B【分析】根據(jù)題意，采用換元法，令a=x2+y2，將x2+y2x2+y2?1【詳解】解：令a=x∴將x2+y∴a2?a?12=0，即a?4a+3=0，解得∵x2∴x2故選：B．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及換元法、解一元二次方程等知識，熟練掌握換元法、因式分解法解一元二次方程是解決問題的關鍵．【變式7-3】（2023春·湖北恩施·九年級校考期中）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．【問題】解方程：x2【提示】可以用“換元法”解方程．解：設x2?6x=t（t原方程可化為：t2【續(xù)解】【答案】x1=8【分析】按照題目思路，用因式分解法解t2?2t?8=0，求出t，再代入x2【詳解】解：t+2t?4t+2=0或t﹣4=0，∴t1=?2（依據(jù)t≥0，此根舍去），當t=4時，x2則x2?6x?16=0，配方得解得x1=8，經(jīng)檢驗，原方程的解為x1=8，【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的知識，題中涉及換元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必須要代入原方程檢驗．【題型8根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合】【例8】（2023春·安徽六安·九年級校考期末）已知關于x的一元二次方程2x(1)求k的取值范圍．(2)若此方程的兩根為x1，x2，且x1，x(3)若k為正整數(shù)，此方程的兩根為x1，x2，求【答案】(1)k≤3(2)k=3(3)x1【分析】（1）由關于x的一元二次方程2x2?4x+k?1=0（2）由矩形的對角線相等，可得原方程有兩個相等的正實數(shù)根，可得?42（3）由根與系數(shù)的關系可得：x1+x2=2，x1x2=【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程2x∴?42解得：k≤3；（2）∵方程2x2?4x+k?1=0的兩根為x1，x2∴x1∴?42解得：k=3；經(jīng)檢驗符合題意；（3）∵方程2x2?4x+k?1=0的兩根為x∴x1+x∵k為正整數(shù)，k≤3，∴k=1或k=2或k=3，∴x=5?k+2∴k≠1，當k=2時，x1當k=3時，x1綜上：x1【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式的應用，根與系數(shù)的關系是靈活應用，矩形的性質(zhì)，熟記根的判別式與根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．【變式8-1】（2023春·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次方程x2?6x+m?3=0有兩個大于2的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12【答案】A【分析】根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得到Δ≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得到m?3>4【詳解】解：設方程的兩個根為x1,∴x1∴m>7，又方程有兩個實數(shù)根，∴Δ=∴m≤12，∴7<m≤12；故選A．【點睛】本題考查根與判別式以及根與系數(shù)的關系．熟練掌握相關知識點，列出不等式，是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）實數(shù)k使關于x的方程x2+2kx+k2=x+1有兩個實數(shù)根x【答案】k1=0【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=?2k+1，x1x2=k2?1，再把【詳解】解：原方程整理為x2根據(jù)題意得Δ=2k?12即k的取值范圍為k≤5由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得x1+x∵3x∴3x∴3x∴3?2k+1∴k2∴k1=0或【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系、解一元二次方程，解答關鍵是熟練掌握根的情況與根的判別式的關系以及熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1，【變式8-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次方程x2?2mx+m2?m=3(1)求m的取值范圍；(2)若m取負整數(shù)，求x1(3)若該方程的兩個實數(shù)根的平方和為18，求m的值．【答案】(1)m>?3(2)8或2+4(3)m=2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ=（2）由（1）可得m>?3且m取負整數(shù)，即可得到m=?2或m=?1，分兩種情況：當m=?2時，當m=?1時，分別解方程，進行計算即可得到答案；（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x【詳解】（1）解：由題意得：關于x的一元二次方程x2∴Δ解得：m>?3；（2）解：∵m>?3且m取負整數(shù)，∴m=?2或m=?1，當m=?2時，原方程可化為：x2+4x+3=0且解得：x1∴x1當m=?1時，原方程可化為：x2+2x?1=0且解得：x1∴x1綜上所述：x1?3x（3）解：由根與系數(shù)的關系得：x1+x∵x1∴x1∴m1=2由（1）可知：m>?3，∴m=2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系、解一元二次方程、完全平方公式的變形，熟練掌握一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系、完全平方公式的變形，是解題的關鍵．【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】【例9】（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程時，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉化為x=a的形式；求解二元一次方程組時，把它轉化為一元一次方程求解；類似的，解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組求解；解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程求解；解分式方程，把它轉化為整式方程求解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想——轉化，把未知轉化為已知，把復雜轉化為簡單。運用“轉化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2?3x=0，可以通過因式分解把它轉化為：x(x2(1)問題：方程2x3+10x2?12x=0的解是：(2)拓展：解方程組x(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點B，把繩長拉直并固定在AD上的一點P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點C處，求DP的長．【答案】(1)?6，1；(2)x1=?1y(3)DP的長為6m．【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多項式，然后得結論；（2）運用“轉化”的數(shù)學思想，將二元方程轉化為一元，求解即可；（3）設AP的長為xm，則PD=21?xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解再代入【詳解】（1）解：∵2x2xx2xx+6∴2x=0或x+6=0或x?1=0，∴x1=0，x2故答案為：?6，1；（2）x2由②得：x=3+y③，將③代入①中得：3+y2整理得：y2+3y?4=0，即：∴y1=?4，將y1=?4代入③中，將y2=1代入③中，∴原方程組的解為：x1=?1y（3）如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點B，把繩長拉直并固定在AD上的一點P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點C處，求DP的長．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，設AP=xm，則PD=21?x因為BP+CP=27，BP=AP2∴82∴21?x2兩邊平方，得21?x整理，得48+7x=9兩邊平方并整理，得x2解得x=15或6（不合題意，舍去此時AP<PD）經(jīng)檢驗，x=15是方程的解，則PD=21?15=6m．答：DP的長為6m．【點睛】本題考查了轉化的思想方法，一元二次方程的解法．解無理方程是注意到驗根．解決（3）時，根據(jù)勾股定理和繩長，列出方程是關鍵．【變式9-1】（2023春·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期末）【綜合與實踐】：閱讀材料，并解決以下問題．【學習研究】：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關于一元二次方程的幾何解法：以x2首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫四個長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2【類比遷移】：小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（第二步：利用四個面積可用x表示為_________的全等矩形構造“空心”大正方形（請在畫圖區(qū)畫出示意圖，標明各邊長），并寫出完整的解答過程；第三步：【拓展應用】：一般地對于形如：x2+ax=b一元二次方程可以構造圖2來解，已知圖2是由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a=________，【答案】【類比遷移】：x+3，xx+3；【拓展應用】2，3，【詳解】解：【類比遷移】：第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（x+3）第二步：利用四個面積可用x表示為xx+3第三步：圖中大正方形的面積可表示為(x+x+3)2，還可表示為四個矩形與一個邊長為3的小正方形面積之和，即4x(x+3)+32∵x表示邊長，∴2x+3=5，即x=1，故答案為：x+3，xx+3【拓展應用】∵圖2是由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4．∴長方形的長為x+2，寬為x，即：xx+2∴x2∴a=2，b=3，方程的一個正根為：x=1．故答案為：2，3，x=1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的幾何意義，讀懂題意，根據(jù)正方形面積相等列出方程是關鍵．【變式9-2】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=y2，把x=y2代入已知方程，得y2這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程x2(2)已知關于x的一元二次方程ax【答案】(1)y(2)c【分析】（1）設所求方程的根為y，則y=?x，將x=?y代入已知方程x2（2）設所求方程的根為y，則y=1【詳解】（1）解：設所求方程的根為y，則y=?x，∴x=?y，把x=?y代入已知方程x2得?y2化簡得，y2∴這個一元二次方程為：y2（2）解：設所求方程的根為y，則y=1∴x=1把x=1y代入已知方程得a1去分母得，a?by+cy若c=0，則ax2?bx=0∴c≠0，∴所求方程為：cy【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．【變式9-3】（2023春·河南南陽·九年級校考期末）閱讀材料：材料1：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個根為x1，x材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個根為x(2)類比應用：已知一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m、n(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2【答案】(1)?2(2)?(3)±【分析】（1）根據(jù)材料1中，一元二次方程根與系數(shù)關系即可得到x1+x（2）根據(jù)材料1及材料2，由一元二次方程根與系數(shù)關系，得到m+n=32，mn=?12，將nm+m（3）根據(jù)題意，確定s與t看作是方程2x2?3x?1=0的兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)關系，得到s+t=32，st=?12，先求出s?t=±172【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0∴x1+∴x故答案為：?2；（2）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m∴m+n=32，∴n====?13（3）解：∵實數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0∴s與t看作是方程2x∴s+t=32，∴(s?t)(s?t)2(s?t)2∴s?t=±17∴1====±17【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系，以及利用根與系數(shù)關系求代數(shù)式的值，根據(jù)代數(shù)式的結構特征恒等變形為已知代數(shù)式的形式是解決問題的關鍵．【題型10一元二次方程的實際應用】【例10】（2023春·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）某段公路上有一條雙向線隧道（可雙向行駛，車輛不能行駛在中間線上）隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構成．以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，已知隧道寬度A