河南省新鄉(xiāng)市多校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期調(diào)研考試數(shù)學(xué)題

2025屆高三年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若為純虛數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用為純虛數(shù)，可得且，求解即可.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，得，故．故選：B.2.已知向量，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)椋傻?，解得．故選：C.3.設(shè)集合，若，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得集合，再由子集的運(yùn)算求出結(jié)果即可；【詳解】由題可知，由，可得，所以．故選：A.4.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求最大值.【詳解】由題意可得，所以的最大值為．故選：C.5.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，可得到圓錐底面半徑和側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)兩者關(guān)系可得，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng)，因此，即又因?yàn)椋?，所以關(guān)于單調(diào)遞增，驗(yàn)證選項(xiàng)可知當(dāng)時(shí)，符合題意．故選：D6.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，需在上單調(diào)遞增，且，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論可求的取值范圍.【詳解】易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由題意，需在上單調(diào)遞增，且，即．若，則，解得；若，則，滿足題意；若，則恒成立．綜上，的取值范圍是．故選：A.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：C8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，結(jié)合斜率的定義進(jìn)行求解即可【詳解】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．設(shè)，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．另一種可能的情形是l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可知一交點(diǎn)為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則雙曲線與有相同的（）A.焦點(diǎn) B.焦距 C.離心率 D.漸近線【答案】CD【解析】【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A、B：設(shè)，易知的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，而的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，顯然和的焦點(diǎn)和焦距均不相同，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.10.隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點(diǎn)數(shù)之積為，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為，則（）A.事件“”和“”相等 B.事件“”和“”互斥C.為奇數(shù)的概率為 D.的概率為【答案】ACD【解析】【分析】寫(xiě)出事件的所有基本事件判斷A；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷B；利用相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算判斷CD.【詳解】對(duì)于A，事件“”和“”都相當(dāng)于擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)2點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，事件“”和“”都包含擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)4點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為奇數(shù)等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”，因此其概率為，故C正確；對(duì)于D，事件“”的對(duì)立事件為“或”，，，因此，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，記為的導(dǎo)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.為奇函數(shù)C.若，則D.若在上單調(diào)遞減，則恰有三個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法可得，，可判斷ABC；利用單調(diào)性以及，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，可得恰有三個(gè)零點(diǎn)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于B，令，得，令，得，所以，即為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，得，令，得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以存在，滿足在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在上只有一個(gè)零點(diǎn)1，又是奇函數(shù)，所以恰有三個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：解有關(guān)抽象函數(shù)的有關(guān)命題，賦值法是常用的方法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.2024年7月14日13時(shí)，2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)火炬開(kāi)始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】先考慮最后一棒的方案，再考慮中間兩棒的方案即可.【詳解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：種；安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：種，由分步計(jì)數(shù)乘法原理，不同的傳遞方案種數(shù)為：種.故答案為：1013.在數(shù)列中，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】由題意知，解得．故答案為：14.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】記，其中，可求得，進(jìn)而可得，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】由，得，記，其中，原不等式化為，所以，所以，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以的最小值為1．故答案：1．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角代換是解題的關(guān)鍵，進(jìn)而得出是利用基本不等式求得最小值的基礎(chǔ)，進(jìn)而考查運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得，結(jié)合正弦定理得到，即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，結(jié)合基本不等式，求得，利用三角形的面積公式，即可求解.小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以．小?wèn)2詳解】解：因?yàn)榍?，由余弦定理得，即又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見(jiàn)的大氣污染物，下圖為我國(guó)2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明．（2）若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型，可否用此模型來(lái)預(yù)測(cè)2024年和2034年我國(guó)的氮氧化物排放量？請(qǐng)說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，說(shuō)明見(jiàn)解析（2）可以預(yù)測(cè)2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2034年的氮氧化物排放量，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程的意義，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，由題意知，相關(guān)系數(shù)．故可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．【小問(wèn)2詳解】可以預(yù)測(cè)2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢(shì)，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長(zhǎng)期看很有可能會(huì)變化，因而用此模型預(yù)測(cè)可能是不準(zhǔn)確的．17.如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，且二面角的大小為120°，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，，可證四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量公式求出參數(shù)，即可求解【小問(wèn)1詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以且．又因?yàn)樗倪呅问蔷匦危抢獾闹悬c(diǎn)，故且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，故平面．【小問(wèn)2詳解】取棱的中點(diǎn)，則在正三角形中，，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則．所以．設(shè)平面的法向量為，則即可?。O(shè)平面的法向量為，則即可?。深}設(shè)知，故，即．18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．【答案】（1）（2）或．（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求得，即可求解；（2）由題意設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，結(jié)合的面積建立方程，計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，進(jìn)而，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長(zhǎng)為，所以，所以，故的方程為．【小問(wèn)2詳解】易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．19.已知函數(shù)，其中不全為0，并約定，設(shè)，稱(chēng)為的“伴生函數(shù)”．（1）若，求；（2）若恒成立，且曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于2，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若，證明：對(duì)于任意的，均存在，使得．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題可知，計(jì)算可求伴生函數(shù)為．（2），由已知可得在上恒成立，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）令，