遼寧省鞍山市普通高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

鞍山市普通高中2024—2025學(xué)年度高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】由解得或，所以；由，得，即，解得或，所以，所以故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得.故選：B.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用平方方法求得，進(jìn)而求得.【詳解】由兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：D4.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.180 B.270 C.360 D.540【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：A5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】的定義域是，由于是奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，符合題意，所以的值為.故選：B6.若為隨機(jī)事件，且，則（）A.若為互斥事件，則B.若為互斥事件，C.若為相互獨(dú)立事件，D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件、條件概率、全概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若為互斥事件，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若為互斥事件，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若為相互獨(dú)立事件，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，即，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：D7.已知雙曲線在雙曲線上，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由、恒成立列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，，整理得①，則不同時(shí)為.，，則，則，依題意，即，則恒成立，即恒成立，由①得，則，所以恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A8.已知定義在上的函數(shù)，若，則取得最小值時(shí)的值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷的單調(diào)性，得到關(guān)于的關(guān)系式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得取得最小值時(shí)的值.【詳解】依題意，，，令，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，由于，所以，，所以，設(shè)，，令解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，也即取得最小值.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的單調(diào)性，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法解決時(shí)，可以考慮利用多次求導(dǎo)來(lái)進(jìn)行研究.研究一個(gè)表達(dá)式的最值問(wèn)題，可以利用構(gòu)造函數(shù)法，然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，定義域均為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)與有相同的最小正周期B.函數(shù)與的圖象有相同的對(duì)稱軸C.的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D.函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】化簡(jiǎn)的解析式，然后根據(jù)周期性、對(duì)稱性以及圖象變換的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，和的最小正周期都是，所以A選項(xiàng)正確.由解得，所以的對(duì)稱軸是；由解得，所以的對(duì)稱軸是，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.向右平移個(gè)單位得到，所以C選項(xiàng)正確.，所以函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為5B.的最大值為C.直線與圓相切時(shí)，D.圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.直線，即，過(guò)定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)滿足對(duì)任意x∈R，都有，且為奇函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的一個(gè)周期是8B.函數(shù)為偶函數(shù)CD.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由于，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.所以，所以是周期為的周期函數(shù)，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由上述分析可知，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.依題意，，則，，，，，所以，根據(jù)周期性可知，所以C選項(xiàng)正確.由上述分析可知，所以，，，依此類推，可得：，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解周期性、奇偶性、對(duì)稱性有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是記住一些常見(jiàn)的結(jié)論，如，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱；如，則是周期為的周期函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象既有軸對(duì)稱，也有中心對(duì)稱，則可以考慮函數(shù)具有周期性.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有，則__________.【答案】12【解析】【分析】利用賦值法求得正確答案.【詳解】依題意，，令，得；令，；令，.故答案為：13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】利用三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】，所以，由于，所以，所以.故答案為：14.已知四棱錐中，底面為正方形，，則__________，該四棱錐的高為_(kāi)_________.【答案】①.或②.或【解析】【分析】連接，設(shè)，在中，利用余弦定理列出方程，可求得的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作平面，得到點(diǎn)為的外心，求得外接圓的半徑為，兩種情討論，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻遥傻?，設(shè)，在中，可得，即，整理得，解得或，即或，因?yàn)椋傻?，過(guò)點(diǎn)作平面，垂直為，由，可得點(diǎn)為的外心，設(shè)外接圓的半徑為，且，設(shè)點(diǎn)到底面的距離為，當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為；當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為，綜上可得：四棱錐的高為或.故答案為：或；或.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為等邊三角形，且平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得四棱錐的高，進(jìn)而計(jì)算出四棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，在等邊中，，所以平面，由題設(shè)，所以四棱錐的體積為.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，則，，設(shè)n1=x1,y1,z取為平面的法向量，則由圖可知，二面角的大小為鈍角，故二面角的余弦值為.16.2024年6月25日14時(shí)07分，嫦娥六號(hào)返回器準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古自治區(qū)四子王旗預(yù)定區(qū)域，工作正常，標(biāo)志著探月工程嫦娥六號(hào)任務(wù)取得圓滿成功，實(shí)現(xiàn)了世界首次月球背面采樣返回.某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注情況，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為90的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生5560女生合計(jì)75（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān)？（2）為了激發(fā)同學(xué)們對(duì)探月工程的關(guān)注，該校舉辦了一次探月知識(shí)闖關(guān)比賽，比賽有兩個(gè)答題方案可供選擇：方案一：回答4個(gè)問(wèn)題，至少答對(duì)3個(gè)問(wèn)題才能晉級(jí)；方案二：在4個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選擇2個(gè)問(wèn)題作答，都答對(duì)才能晉級(jí).已知振華同學(xué)答對(duì)這4個(gè)問(wèn)題的概率分別為，振華同學(xué)回答這4個(gè)問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立，則振華選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）表格見(jiàn)解析，能有（2）振華選擇方案一晉級(jí)的可能性更大【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算的值并作出判斷.（2）根據(jù)相互獨(dú)立概率計(jì)算，求得兩種方案晉級(jí)的概率，從而作出判斷.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表如下：

關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生55560女生201030合計(jì)751590，能有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】記這4個(gè)問(wèn)題為，記振華答對(duì)的事件分別記為，分別記按方案一?二晉級(jí)的概率為，則，，因?yàn)椋袢A選擇方案一晉級(jí)的可能性更大.17.已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.（1）直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程，結(jié)合斜率公式分析證明；（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)斜率關(guān)系列式求得，即可得結(jié)果；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程求坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直線方程分析定點(diǎn)【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，所以橢圓，且設(shè)，則，即，可得，所以為定值.【小問(wèn)2詳解】解法一：設(shè)，則，可得，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因?yàn)?，則，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)解法二：設(shè)，則，直線，可知與橢圓必相交，聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時(shí)，，則，令，；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則，解得；綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．2．求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．18.已知函數(shù)，且定義域?yàn)?（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先求得f′x，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）先確定的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求得的取值范圍.（3）構(gòu)造函數(shù)，求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由恒成立列不等式來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，，①時(shí)，f′x<0恒成立，所以在上遞減；②時(shí)，恒成立，所以在上遞增；③時(shí)，令得，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，在上遞增，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椴皇菃握{(diào)函數(shù)，由（1）知，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使得有2個(gè)零點(diǎn)，則必有，所以，，又當(dāng)時(shí)，，先證：，令，令，令在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，所以成立，所以，，即：成立，取則有，且，所以時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).綜上：.【小問(wèn)3詳解】令，則恒成立，且，，①時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，恒成立，所以，F(xiàn)x在上遞增，所以，，符合題意.②時(shí)，，與題意不符，舍去.③時(shí)，時(shí)，，由得，，所以，存在，使，且可使，F(xiàn)x單調(diào)遞減，x∈0,x0綜上：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．19.若數(shù)列滿足如下兩個(gè)條件：①和恰有一個(gè)成立；②.就稱數(shù)列為“中項(xiàng)隨機(jī)變動(dòng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“中項(xiàng)隨機(jī)變動(dòng)數(shù)列”，（1）若，求的可能取值；（2）已知的解集為，求證：成等比數(shù)列；（3）若數(shù)列前3項(xiàng)均為正項(xiàng)，且的解集為，設(shè)的最大值為，求的最大值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，求得的可能取值，利用已知條件確定的值.（2）根據(jù)已知條件求得、，從而證得成等比數(shù)列.（3）利用累乘法以及數(shù)列的最值，求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋曰?，所以?，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，且，不符合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，其余?xiàng)均為正項(xiàng)，所以或，若時(shí)，對(duì)于，因?yàn)榍?，故舍去，所以，?/p>