人教版九年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三22.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題22.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】 1【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】 2【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】 3【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】 4【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】 5【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】 6【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】 7【題型8利用二次函數(shù)的增減性求參數(shù)范圍】 7【知識點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)（?b2a，a>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0時，頂點是最高點，此時y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或4ac?b增

減

性a>0x<0(h或?b2a)時，y隨x的增大而減??；x>0(h或?b2a)時，即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或?b2a)時，y隨x的增大而增大；x>0(h或?b2a)時，即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小?！绢}型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】【例1】（2023春·安徽阜陽·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線y=ax2+2ax+a2+a的頂點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)y=x2?4x+3A．y=x+22+1 B．y=x?22+1 【變式1-2】（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用配方法把一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x??)2兩位同學(xué)做法正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【變式1-3】（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）用配方法把二次函數(shù)y=2x2?3x+1【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】【例2】（2023春·九年級單元測試）在函數(shù)①y=3x2；②y=12xA．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③【變式2-1】（2023春·九年級單元測試）二次函數(shù)y=?x2+4x+3，當(dāng)0≤x≤12A．3 B．7 C．194 D．【變式2-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）下列二次函數(shù)的圖象，對稱軸是y軸的二次函數(shù)的表達式是（）A．y=3x2+2x C．y=x2+2x?7 【變式2-3】（2023春·江西南昌·九年級期中）關(guān)于拋物線y1=2+3x2與A．兩條拋物線的頂點相同 B．兩條拋物線的形狀相同C．兩條拋物線與y軸的交點相同 D．兩條拋物線的增減性相同【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】【例3】（2023春·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x(1)完成下表，并在方格紙中畫該函數(shù)的圖象；x…?10123…y……(2)根據(jù)圖象，完成下列填空：①當(dāng)x>1時，y隨x的增大而___________②當(dāng)y<0時，x的取值范圍是____________【變式3-1】（2023春·廣東河源·九年級?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得：（1）拋物線頂點坐標___________．（2）對稱軸為___________．（3）當(dāng)x=___________時，y有最大值是___________．（4）當(dāng)___________時，y隨著x得增大而增大．（5）當(dāng)___________時，y>0．【變式3-2】（2023春·河南安陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線y=?2x(1)請用配方法將y=?2x2+4x+6(2)在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出y=?2x(3)該拋物線沿x軸向左或向右平移m（m>0）個單位長度后經(jīng)過原點，求m的值．【知識點2二次函數(shù)解析式的表示方法】(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)；(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，它直接顯示二次函數(shù)的頂點坐標是(h，k)；(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐標．注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年級期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過A0,5，【變式4-1】（2023春·湖北恩施·九年級校考階段練習(xí)）已知一條拋物線的對稱軸是直線x=1，函數(shù)的最大值是y=2，且該拋物線經(jīng)過坐標原點0,0．求此拋物線的函數(shù)關(guān)系．【變式4-2】（2023春·河北承德·九年級承德市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)yx?2?101234y72?1?2m27則m的值為（

）A．?1 B．1 C．2 D．?2【變式4-3】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交點的橫坐標為?3和2，且過點(1,?8)，它對應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A．y=x2+x?6 B．y=?x2?x+6【知識點3二次函數(shù)的平移】方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下：方法二：⑴y=ax2+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，y=ax2+bx+c變成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）⑵y=ax2+bx+c沿x軸平移：向左（右）平移m個單位，y=ax2+bx+c變成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】【例5】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）把拋物線y=x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y=x2A．b=?12，c=32 B．b=4，c=?3 C．b=0，c=6 D．b=4，c=6【變式5-1】（2023春·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）將二次函數(shù)y=x【變式5-2】（2023·山西運城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y1=?2x2+bx+c經(jīng)過平移后得到拋物線yA．y=?2x2?4x B．y=?2x2?4x+1【變式5-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，如果拋物線y=3x2不動，而把x軸、A．y=3x?52+5C．y=3x+52+5【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】【例6】（2023·陜西·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，將拋物線C:y=x2?(m+1)x+m繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C'，在拋物線C'上，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大，則mA．m?1 B．m?1 C．m??3 D．m??3變式6-1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）先將拋物線y=(x?1)2+2A．y=?(x?1)2+2C．y=?(x?1)2?2【變式6-2】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)y=x?12?4的圖象沿直線y=1A．y=?x?12+4 C．y=?x+12?6【變式6-3】（2023春·北京朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?12x?42+2可以看作是拋物線y=【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】【例7】（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校?？既＃┮阎魏瘮?shù)y=mx2?2mx+2(m≠0)，當(dāng)?1≤x≤2時，函數(shù)的最大值為y=4【變式7-1】（2023春·九年級單元測試）已知拋物線y=x2+【變式7-2】（2023春·九年級單元測試）若拋物線y=x2+m?1x+【變式7-3】（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€y=x2?2ax+b的頂點落在一次函數(shù)y=?2x+4【題型8利用二次函數(shù)的增減性求參數(shù)范圍】【例8】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=x2?4mx+m，當(dāng)?2<x<1時，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式8-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）二次函數(shù)y=?x+32+?t≤x≤t+2的圖象上任意二點連線不與【變式8-2】（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=?x2+2ax+a+1，若對于?1<x<a范圍內(nèi)的任意自變量x，都有y>a+1【變式8-3】（2023·山東濰坊·昌邑市實驗中學(xué)?？级＃┮阎魏瘮?shù)的表達式為y=?x2?2x+3，將其圖像向右平移k(k>0)個單位，得到新的二次函數(shù)y1的圖像，使得當(dāng)?1<x<3時，y1隨x增大而增大；當(dāng)4<x<5時，yA．4 B．5 C．6 D．7

專題22.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】 1【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】 3【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】 5【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】 11【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】 13【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】 15【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】 18【題型8利用二次函數(shù)的增減性求參數(shù)范圍】 20【知識點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越?。粅a|越小，拋物線的開口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)（?b2a，a>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0時，頂點是最高點，此時y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或4ac?b增

減

性a>0x<0(h或?b2a)時，y隨x的增大而減?。粁>0(h或?b2a)時，即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或?b2a)時，y隨x的增大而增大；x>0(h或?b2a)時，即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小?！绢}型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】【例1】（2023春·安徽阜陽·九年級校考階段練習(xí)）拋物線y=ax2+2ax+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】將拋物線化為頂點式，求出頂點坐標，即可求解．【詳解】解：y=a頂點坐標為(?1,由題意可得：a≠0，所以a頂點位于第二象限，故選：B【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求得頂點坐標．【變式1-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)y=x2?4x+3A．y=x+22+1 B．y=x?22+1 【答案】D【分析】利用配方法整理即可得解．【詳解】解：y===即y=x?2故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法把二次函數(shù)的一般形式化為頂點式，熟練掌握和運用利用配方法把二次函數(shù)的一般形式化為頂點式的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用配方法把一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x??)2兩位同學(xué)做法正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【答案】C【分析】此題根據(jù)配方的步驟結(jié)合利用到的等式性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：兩位同學(xué)做法都正確，甲同學(xué)利用配方的要求只對函數(shù)式右邊的整式同時加或者減同一個數(shù)原式結(jié)果不變進行配方；乙同學(xué)對利用等式的性質(zhì)對函數(shù)式兩邊同時進行加減配方，故都正確；故答案選：C．【點睛】此題考查了配方法的實際配方過程，涉及到等式性質(zhì)，難度一般．【變式1-3】（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）用配方法把二次函數(shù)y=2x2?3x+1【答案】y=2(x?【分析】本題直接利用配方法將原式變形求出答案即可．【詳解】解：y=2x2-3x+1=2（x2-32=2[（x-34）2-9=2（x-34）2-1故答案為y=2(x?【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確掌握配方法是解題關(guān)鍵．【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】【例2】（2023春·九年級單元測試）在函數(shù)①y=3x2；②y=12xA．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③【答案】C【分析】由于拋物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定，|a|越大則開口越?。眠@個結(jié)論即可判斷開口大小．【詳解】解：∵物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定，|a|越大則開口越?。嚅_口大小按題號順序表示為②>③>①．故選C.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；a還可以決定開口大小，a越大開口就越?。咀兪?-1】（2023春·九年級單元測試）二次函數(shù)y=?x2+4x+3，當(dāng)0≤x≤12A．3 B．7 C．194 D．【答案】C【分析】利用配方法把二次函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：y=?=?=?(x?2)則當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=12時，y的最大值為?故選：C．【點睛】本題考查配方法把二次函數(shù)解析式化為頂點式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式2-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）下列二次函數(shù)的圖象，對稱軸是y軸的二次函數(shù)的表達式是（）A．y=3x2+2x C．y=x2+2x?7 【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求出每個函數(shù)的對稱軸即可得出答案．【詳解】解：A、y=3x2+2xB、y=3x2+2C、y=x2+2x?7D、y=?2x?42+7故選：B．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的對稱軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?b【變式2-3】（2023春·江西南昌·九年級期中）關(guān)于拋物線y1=2+3x2與A．兩條拋物線的頂點相同 B．兩條拋物線的形狀相同C．兩條拋物線與y軸的交點相同 D．兩條拋物線的增減性相同【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接判斷頂點坐標，對稱軸，開口方向及與y軸的交點以及增減性，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.兩條拋物線的頂點相同，都是（0，2），不符合題意；B.∵|3|=|-3|，∴兩條拋物線的形狀相同，不符合題意；C.兩條拋物線與y軸的交點相同，都是（0，2），不符合題意；D.拋物線y1=2+3x故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)解析式確定頂點坐標，對稱軸以及開口方向和與y軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】【例3】（2023春·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x(1)完成下表，并在方格紙中畫該函數(shù)的圖象；x…?10123…y……(2)根據(jù)圖象，完成下列填空：①當(dāng)x>1時，y隨x的增大而___________②當(dāng)y<0時，x的取值范圍是____________【答案】(1)見解析；(2)①增大；②?1<x<3．【分析】（1）分別將x的值代入函數(shù)解析式求出y值，再描點，連線作出圖象；（2）觀察圖象，當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)y<0時，函數(shù)圖象在x軸下方，即可得x的取值范圍．【詳解】（1）解：分別將x=?1，0，1，2，3代入y=x2?2x?3得y=0，如圖，故答案為：0，?3，?4，?3，0；（2）觀察圖象，當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)y<0時，函數(shù)圖象在x軸下方，即?1<x<3．故答案為：①增大；②?1<x<3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【變式3-1】（2023春·廣東河源·九年級校考階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得：（1）拋物線頂點坐標___________．（2）對稱軸為___________．（3）當(dāng)x=___________時，y有最大值是___________．（4）當(dāng)___________時，y隨著x得增大而增大．（5）當(dāng)___________時，y>0．【答案】?3，2x=?3?32x<?3【分析】（1）由拋物線與x軸兩個交點的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得頂點坐標；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸；（3）根據(jù)拋物線的頂點坐標即可求解；（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（5）拋物線在x軸上方的部分對應(yīng)的x的取值即為所求．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(?5,0)，(?1,0)，∴頂點橫坐標為?5?12由圖可知頂點縱坐標為2，∴頂點坐標為(?3,2)；（2）對稱軸為x=?3；（3）當(dāng)x=?3時，y有最大值是2；（4）當(dāng)x<?3時，y隨著x得增大而增大；（5）當(dāng)?5<x<?1時，y>0．故答案為（1）(?3,2)；（2）x=?3；（3）?3，2；（4）x<?3；（5）?5<x<?1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是(?b2a，4ac?b24a)，對稱軸直線x=?b2a，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a>0時，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上，x<?b2a時，y隨x的增大而減?。粁>?b2a時，y隨x的增大而增大；x=?b2a時，y取得最小值4ac?b2【變式3-2】（2023春·河南安陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線y=?2x(1)請用配方法將y=?2x2+4x+6(2)在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出y=?2x(3)該拋物線沿x軸向左或向右平移m（m>0）個單位長度后經(jīng)過原點，求m的值．【答案】(1)y=?2x?12(2)見解析(3)m=1或3【分析】（1）利用配方法進行求解即可；（2）畫出二次函數(shù)的圖象；（3）求出函數(shù)與x軸的交點，根據(jù)平移規(guī)律進行求解．【詳解】（1）y=?2=?2=?2=?2對稱軸為：x=1；（2）當(dāng)x=0時，y=6；當(dāng)y=0時，x=3或x=所以該圖象經(jīng)過點0,6,（3）∵y=?2x2+4x+6∴拋物線沿x軸向左平移3個單位長度或向右平移1個單位長度后經(jīng)過原點，∴m=1或3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的頂點式、畫二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)平移的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)掌握二次函數(shù)平移的規(guī)律．【變式3-3】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=2x(1)用配方法求這個二次函數(shù)的頂點坐標；(2)在所給的平面直角坐標系xOy中（如圖），畫出這個二次函數(shù)的圖像；(3)請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢．【答案】(1)頂點坐標1,?3(2)見解析(3)這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線x=1左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出答案；（2）先求出幾個特殊的點，然后描點連線即可；（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：（1）y=2∴二次函數(shù)的頂點坐標1,?3；（2）解：當(dāng)x=0時，y=?1，當(dāng)y=?1時，x=2，經(jīng)過點0,?1，2,?1，頂點坐標為：1,?3圖像如圖所示：（3）解：這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線x=1左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【知識點2二次函數(shù)解析式的表示方法】(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)；(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，它直接顯示二次函數(shù)的頂點坐標是(h，k)；(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐標．注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年級期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過A0,5，【答案】y=【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可．【詳解】解：由題意得：?b解得：a=1b=?6∴該二次函數(shù)的解析式為y=x【點睛】本題主要考查求二次函數(shù)解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一條拋物線的對稱軸是直線x=1，函數(shù)的最大值是y=2，且該拋物線經(jīng)過坐標原點0,0．求此拋物線的函數(shù)關(guān)系．【答案】y=?2【分析】根據(jù)題意得出頂點坐標為1,2，設(shè)拋物線解析式為y=ax?12+2，將點0,0【詳解】解：∵對稱軸是直線x=1，函數(shù)的最大值是y=2，∴頂點坐標為1,2，設(shè)拋物線解析式為y=ax?1將點0,0代入，得a+2=0解得：a=?2，∴拋物線解析式為y=?2x?1【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·河北承德·九年級承德市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)yx?2?101234y72?1?2m27則m的值為（

）A．?1 B．1 C．2 D．?2【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解．【詳解】解：把點?1,2,0,?1代入1?b+c=2c=?1，解得：c=?1∴二次函數(shù)的解析式為y=x當(dāng)x=2時，y=4?2×2?1=?1．故選：A【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交點的橫坐標為?3和2，且過點(1,?8)，它對應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A．y=x2+x?6 B．y=?x2?x+6【答案】D【分析】設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+3)(x?2)，將點(1,?8)代入即可求得a的值，可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)拋物線函數(shù)解析式為：y=a(x+3)(x?2)，∵拋物線經(jīng)過點(1,?8)，∴?8=a(1+3)(1?2)，解得：a=2，∴拋物線解析式為：y=2(x+3)(x?2)，整理得：y=2x故選：D．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)出二次函數(shù)的交點式是解題的關(guān)鍵．【知識點3二次函數(shù)的平移】方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下：方法二：⑴y=ax2+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，y=ax2+bx+c變成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）⑵y=ax2+bx+c沿x軸平移：向左（右）平移m個單位，y=ax2+bx+c變成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】【例5】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）把拋物線y=x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y=x2A．b=?12，c=32 B．b=4，c=?3 C．b=0，c=6 D．b=4，c=6【答案】D【分析】將拋物線y=x2?4x+3【詳解】解：將拋物線y=x2?4x+3將拋物線y=x2?4x+3即y=x∴拋物線y=x2+bx+c∴b=4，c=6，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)平移的特征，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）將二次函數(shù)y=x【答案】y=【分析】先將二次函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答即可．【詳解】解：將二次函數(shù)y=x2+2x+2將二次函數(shù)y=x+12+1故答案為：y=x【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象平移規(guī)律是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·山西運城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y1=?2x2+bx+c經(jīng)過平移后得到拋物線yA．y=?2x2?4x B．y=?2x2?4x+1【答案】B【分析】由平移的性質(zhì)可得二次項的系數(shù)為?2，再結(jié)合平移后的拋物線的頂點坐標可得答案．【詳解】解：∵拋物線y1=?2x2+bx+c經(jīng)過平移后得到拋物線y∴y2=?2x+1故選B【點睛】本題考查的是拋物線的平移的性質(zhì)，熟記拋物線的平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，如果拋物線y=3x2不動，而把x軸、A．y=3x?52+5C．y=3x+52+5【答案】D【分析】該題實際上是將拋物線y=3x【詳解】解：拋物線y=3x把點（0，0）向下、向左平移2個單位（?5，?5），∴在新坐標系中此拋物線的解析式為y=3x+5故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】【例6】（2023·陜西·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，將拋物線C:y=x2?(m+1)x+m繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C'，在拋物線C'上，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大，則mA．m?1 B．m?1 C．m??3 D．m??3【答案】D【分析】據(jù)題意求得拋物線C'的對稱軸和開口方向，并結(jié)合“在拋物線C'上，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大”作答．【詳解】∵拋物線C的表達式是y=∴拋物線C的開口向上，對稱軸為x=m+1又拋物線C'是拋物線C繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到的，∴拋物線C'的開口向下，對稱軸為x=?m+1∴拋物線C'上，在對稱軸x=?m+12的左邊y隨又在拋物線C'上，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大，∴x=?m+12≥1故選：D．【點睛】此題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及中心對稱與坐標變換等，熟悉相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．變式6-1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）先將拋物線y=(x?1)2+2A．y=?(x?1)2+2C．y=?(x?1)2?2【答案】C【分析】若拋物線關(guān)于x軸作軸對稱變換，則圖象上所有的點橫坐標不變縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可解答．【詳解】拋物線y=(x?1)2+2則所得拋物線為?y=(x?1)2+2故選：C．【點睛】此題考查了拋物線的軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是找到對稱軸，并熟知關(guān)于x軸、y軸的對稱點的坐標特征．【變式6-2】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)y=x?12?4的圖象沿直線y=1A．y=?x?12+4 C．y=?x+12?6【答案】D【分析】根據(jù)翻折對稱性，寫出翻折后所得圖象的頂點坐標，即可寫出函數(shù)表達式．【詳解】解：將二次函數(shù)y=x?12?4的圖象的頂點坐標是1,?4，沿直線y=1翻折后所得圖象的頂點坐標為1,6故選：D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求二次函數(shù)解析式，明確關(guān)于直線y=1翻折前后的兩個圖象的頂點坐標特征是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·北京朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?12x?42+2可以看作是拋物線y=【答案】拋物線y=12x2+2【分析】由拋物線y=12x2+2向右平移4個單位后得到拋物線y=【詳解】解：∵拋物線y=12x2+2向右平移4個單位后得到拋物線y=∴拋物線y=?12x?42+2故答案為：拋物線y=12x2+2【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，軸對稱變化，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】【例7】（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校?？既＃┮阎魏瘮?shù)y=mx2?2mx+2(m≠0)，當(dāng)?1≤x≤2時，函數(shù)的最大值為y=4【答案】23或【分析】將二次函數(shù)配方成頂點式，分m>0和m<0兩種情況分析即可．【詳解】y=m故該拋物線的對稱軸為直線x=1當(dāng)m>0時，拋物線開口向上，且?1≤x≤2時，函數(shù)的最大值為y=4即x=?1時，y=4代入求得m=當(dāng)m<0時，拋物線開口向下，且?1≤x≤2時，函數(shù)的最大值為y=4即x=1時，y=4代入求得m=?2∴m的值為23或故答案為：23或?2【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·九年級單元測試）已知拋物線y=x2+【答案】?3【分析】由拋物線y=x2+m?1x?【詳解】解：∵拋物線y=x∴對稱軸x=?m?1∴m=?3，故答案為：?3．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線y=x2+【變式7-2】（2023春·九年級單元測試）若拋物線y=x2+m?1x+【答案】1【分析】根據(jù)頂點在y軸上，得出該拋物線對稱軸為y軸，則?b【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵拋物線y=x2+∴該拋物線對稱軸為y軸，∴?b解得：m=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?b【變式7-3】（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€y=x2?2ax+b的頂點落在一次函數(shù)y=?2x+4【答案】3【分析】首先求出拋物線y=x2?2ax+b【詳解】解：y=x∴頂點坐標為a,?a∵拋物線y=x2?2ax+b∴a,?a2+b∴?∴b=∵1>0，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)a=1時，b有最小值3．故答案為：3．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的頂點式，解