版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
專題3.9弧長與扇形的面積【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1弧長的計(jì)算】 1【題型2利用弧長公式求周長】 2【題型3利用弧長公式求最值】 3【題型4計(jì)算扇形面積】 5【題型5計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積】 5【題型6旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積】 7【題型7圓錐的計(jì)算】 9【題型8圓柱的計(jì)算】 9【知識點(diǎn)1弧長與扇形的面積】設(shè)⊙O的半徑為R,n°圓心角所對弧長為l弧長公式:l=nπR扇形面積公式:S母線的概念:連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式:S=πR2+πRl【題型1弧長的計(jì)算】【例1】(2022秋?黔西南州期末)如圖,四邊形ABCD是半徑為2的⊙O的內(nèi)接四邊形,連接OA,OC.若∠AOC:∠ABC=4:3,則ABC的長為()A.85π B.65π C.45π 【變式1-1】(2022?龍巖模擬)如圖,在⊙O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上,將BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若⊙O的半徑為5,AB=45,則AC的長是()A.5π2 B.25π4 C.10π3【變式1-2】(2022?梁園區(qū)校級一模)如圖1所示是一張圓形紙片,直徑AB=8,現(xiàn)將點(diǎn)A折疊至圓心O形成折痕CD,再把C、D折疊至圓心O處,最后將圓形打開鋪平(如圖2所示),則EF的長是()A.83π B.53π C.【變式1-3】(2022?濮陽二模)如圖所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上,點(diǎn)C、A、D、B均在所畫的弧上,若∠CAB=75°,則AB的長為2π.【題型2利用弧長公式求周長】【例2】(2022?巧家縣二模)如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,AO=6,分別以點(diǎn)A,B為圓心,AO,BO的長為半徑畫弧,與AB相交,則圖中陰影部分的周長為.【變式2-1】(2022?焦作模擬)如圖,在5×4的網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為1點(diǎn)A,B,C,D均在格點(diǎn)上,點(diǎn)D在AB上線段BC與AB交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的周長為.(結(jié)果保留π)【變式2-2】(2022秋?市中區(qū)期末)如圖,正方形的空地內(nèi)部要做一個綠化帶(陰影部分),已知正方形ABCD外切于⊙O,且邊長為10米,則綠化帶的周長為.(結(jié)果保留π)【變式2-3】(2022?西山區(qū)二模)如圖,等邊△ABC的邊長為1,以A為圓心,AC為半徑畫弧,交BA的延長線于D,再以B為圓心,BD為半徑畫弧,交CB的延長線于E,再以C為圓心,CE為半徑畫弧,交AC的延長線于F,則由弧CD,弧DE,優(yōu)弧EF及線段CF圍成的圖形(CDEFC)的周長為.【題型3利用弧長公式求最值】【例3】(2022?安寧市二模)如圖,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn).若OB=2,則陰影部分周長的最小值為()A.62+π2 B.22+π3【變式3-1】(2022?西華縣一模)如圖,在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=2,以B為圓心,BC的長為半徑畫弧AC,點(diǎn)P為菱形內(nèi)一動點(diǎn),連接PA,PC.則陰影部分周長的最小值為.【變式3-2】(2022?夏邑縣模擬)如圖,以BC為直徑作圓O,A、D為圓周上的點(diǎn),AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠ABC=60°.若點(diǎn)P為BC垂直平分線MN上的一動點(diǎn),則陰影部分周長的最小值為.【變式3-3】(2022?南召縣模擬)如圖,在⊙O中AB為其直徑,EF為AB上一線段(點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)),點(diǎn)DC在AB上方的半圓上,且2AD=BD,AD=2BC,連接DF【題型4計(jì)算扇形面積】【例4】(2022?撫順縣一模)如圖,矩形ABCD的邊長AB=1,BC=2.把BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn),使C恰好落在AD上的點(diǎn)E處,線段BC掃過部分為扇形BCE.則扇形BCE的面積是()A.π3 B.1 C.2π?33 【變式4-1】(2022?湖北)一個扇形的弧長是10πcm,其圓心角是150°,此扇形的面積為()A.30πcm2 B.60πcm2 C.120πcm2 D.180πcm2【變式4-2】(2022?八步區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AC=4,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為()A.π3 B.2π3 C.4π3【變式4-3】(2022?錦州二模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)EA.π3 B.2π3 C.3 【題型5計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積】【例5】(2022?虞城縣一模)如圖,扇形OAB中,∠AOB=120°,OA=2,點(diǎn)C為OB的中點(diǎn),將扇形OAB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為O',連接O'B,當(dāng)O'C∥OA時,陰影部分的面積為()A.π2?32 B.2π3?【變式5-1】(2022?安徽模擬)如圖,邊長為22的正方形ABCD的中心與半徑為22的⊙O的圓心重合,E,F(xiàn)分別是AD,BA的延長線與⊙O的交點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為()A.2π﹣23 B.2π﹣2 C.2π+2 D.2π+23【變式5-2】(2022?武漢模擬)如圖,矩形ABCD中.AB=33,BC=6,以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)F,則陰影部分的面積為()A.514π?2732 B.6π?27【變式5-3】(2022?高唐縣二模)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,∠BAO=30°,AC=8.過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,以點(diǎn)O為圓心,OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.(1)求圖中陰影部分的面積;(2)點(diǎn)P是BD上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,D重合),當(dāng)PH+PM的值最小時,求PD的長度.【題型6旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積】【例6】(2022秋?涼山州期末)如圖,△OAB中,OB=3,OA=1.將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△OCD.下列結(jié)論:①∠BOD=45°;②DC=OA;③BD,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O;④△AOC有一個角為67°;⑤AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形的面積是π;其中錯誤的結(jié)論有()個.A.1 B.2 C.3 D.4【變式6-1】(2022?泰興市二模)如圖線段AB的端點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.(1)請你用尺規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑;(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為;(4)若有一張與(3)中所說的區(qū)域形狀相同的紙片,將它圍成一個幾何體的側(cè)面,則該幾何體底面圓的半徑長為.【變式6-2】(2022秋?涼州區(qū)校級月考)歸納猜想:同學(xué)們,讓我們一起進(jìn)行一次研究性學(xué)習(xí):(1)如圖1已知正三角形ABC的中心為O,半徑為R,將其沿直線l向右翻滾,當(dāng)正三角形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?(2)如圖2將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾,當(dāng)正方形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?(3)猜想:把正多邊形翻滾一周,其中心O所經(jīng)過的路程是多少(R為正多邊形的半徑,可參看圖2)?請說明理由.(4)進(jìn)一步猜想:任何多邊形都有一個外接圓,若將任意圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時,其外心所經(jīng)過的路程是否是一個定值(R為多邊形外接圓的半徑)?為什么?請以任意三角形為例說明(如圖12).通過以上猜想你可得到什么樣的結(jié)論?請寫出來.【變式6-3】(2022?揚(yáng)中市一模)已知如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(0,3),連接AB,OD由△AOB繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°而得.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積;(3)線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積.【題型7圓錐的計(jì)算】【例7】(2022?赤峰)如圖所示,圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm,側(cè)面展開圖為半圓形,則它的母線長為()A.10cm B.20cm C.5cm D.24cm【變式7-1】(2022?無錫)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直線為軸,把△ABC旋轉(zhuǎn)1周,得到圓錐,則該圓錐的側(cè)面積為()A.12π B.15π C.20π D.24π【變式7-2】(2022秋?北安市校級期末)用半徑為3cm,圓心角是120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,則這個圓錐的底面半徑為()A.2πcm B.1.5cm C.πcm D.1cm【變式7-3】(2022?常州一模)若用半徑為9,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計(jì)),則這個圓錐的底面半徑是,側(cè)面積為.【題型8圓柱的計(jì)算】【例8】(2022秋?和平區(qū)期末)如圖,已知矩形ABCD的周長為36cm,矩形繞它的一條邊CD旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱.設(shè)矩形的一邊AB的長為xcm(x>0),旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為Scm2.(1)用含x的式子表示:矩形的另一邊BC的長為cm,旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的底面圓的周長為cm;(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍;(3)求當(dāng)x取何值時,矩形旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大;(4)若矩形旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積等于18πcm2,則矩形的長是cm,寬是cm.專題3.9弧長與扇形的面積【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1弧長的計(jì)算】 1【題型2利用弧長公式求周長】 5【題型3利用弧長公式求最值】 9【題型4計(jì)算扇形面積】 13【題型5計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積】 15【題型6旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積】 19【題型7圓錐的計(jì)算】 25【題型8圓柱的計(jì)算】 26【知識點(diǎn)1弧長與扇形的面積】設(shè)⊙O的半徑為R,n°圓心角所對弧長為l弧長公式:l=nπR扇形面積公式:S母線的概念:連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式:S=πR2+πRl【題型1弧長的計(jì)算】【例1】(2022秋?黔西南州期末)如圖,四邊形ABCD是半徑為2的⊙O的內(nèi)接四邊形,連接OA,OC.若∠AOC:∠ABC=4:3,則ABC的長為()A.85π B.65π C.45π 【分析】設(shè)∠AOC=4x°,∠ABC=3x°,由圓周角定理得出∠AOC=2∠D,求出∠D=2x°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出∠ABC+∠D=180°,求出x,求出∠AOC=144°,再根據(jù)弧長公式求出即可.【解答】解:設(shè)∠AOC=4x°,∠ABC=3x°,由圓周角定理得:∠AOC=2∠D,∴∠D=2x°,∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠ABC+∠D=180°,∴3x+2x=180,解得:x=36,即∠AOC=144°,∴ABC的長為144π×2180=【變式1-1】(2022?龍巖模擬)如圖,在⊙O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上,將BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若⊙O的半徑為5,AB=45,則AC的長是()A.5π2 B.25π4 C.10π3【分析】連接AC,OB,OD,CD,作CF⊥AB于點(diǎn)F,作OE⊥CF于點(diǎn)E,由垂定理可知OD⊥AB于點(diǎn)D,由勾股定理可得OD=5,再利用折疊性質(zhì)判斷AC=DC,利用等腰三角形性質(zhì)得到AF=DF=5,再證明四邊形ODEF為正方形,得到△CFB為等腰直角三角形,計(jì)算出弧AC所對圓周角度數(shù),進(jìn)而得弧【解答】解:連接AC,OB,OD,CD,作CF⊥AB于點(diǎn)F,作OE⊥CF于點(diǎn)E,由垂定理可知OD⊥AB于點(diǎn)D,AD=BD=1又OB=5,∴OD=O∵CA、CD所對的圓周角為∠CBA、∠CBD,且∠CBA=∠CBD,∴CA=CD,△CAD為等腰三角形.∵CF⊥AB,∴AF=DF=1又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=5∴四邊形ODFE為正方形.∴OE=5∴CE=CO2∴CF=CE+EF=35=BF故△CFB為等腰直角三角形,∠CBA=45°,∴AC所對的圓心角為90°,∴AC=【變式1-2】(2022?梁園區(qū)校級一模)如圖1所示是一張圓形紙片,直徑AB=8,現(xiàn)將點(diǎn)A折疊至圓心O形成折痕CD,再把C、D折疊至圓心O處,最后將圓形打開鋪平(如圖2所示),則EF的長是()A.83π B.53π C.【分析】如圖2,連接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF,由折疊及圓的半徑相等可得出△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等邊三角形,從而可求得∠EOF的度數(shù),再由直徑求得半徑,則可利用弧長公式求得答案.【解答】解:如圖2,連接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF,由折疊及圓的半徑相等可知,AC=CO=OA,AD=OD=OA,CE=OE=OC,DF=OF=OD,∴△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等邊三角形,∴∠EOF=360°﹣60°×4=120°,∵直徑AB=8,∴半徑為4,∴EF的長是120π×4180=【變式1-3】(2022?濮陽二模)如圖所示的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上,點(diǎn)C、A、D、B均在所畫的弧上,若∠CAB=75°,則AB的長為2π.【分析】取CD的中點(diǎn)O,連接OB、OA、AD,根據(jù)勾股定理求出AC和AD,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠CAD=90°,得出等腰直角三角形CAD,求出∠ADC=45°,根據(jù)圓周角定理求出∠ABC=∠ADC,求出∠ACB,再根據(jù)圓周角定理求出∠AOB=2∠ACB,再根據(jù)弧長公式求出答案即可.【解答】解:取CD的中點(diǎn)O,連接OB、OA、AD,∵小正方形的邊長為1,∴CD=6,即CO=OD=3,由勾股定理得:AC=AD=32+∴AC2+AD2=(32)2+(32)2=18+18=36,∴AC2+AD2=CD2,∴△CAD是等腰直角三角形,∴∠ADC=45°,∠CAD=90°,∴CD是⊙O的直徑,半徑OA=3,∴∠ABC=∠ADC=45°,∵∠BAC=75°,∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠CAB=180°﹣45°﹣75°=60°,∴∠AOB=2∠ACB=120°,∴AB的長是120π×3180=2【題型2利用弧長公式求周長】【例2】(2022?巧家縣二模)如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,AO=6,分別以點(diǎn)A,B為圓心,AO,BO的長為半徑畫弧,與AB相交,則圖中陰影部分的周長為6π+12.【分析】根據(jù)對稱性以及正三角形的性質(zhì)可以得到陰影部分的周長等于圓心角為180°半徑為6的半圓弧長加直徑長,然后根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:如圖,連接AC、OC,則AC=AO=OC,所以△AOC是正三角形,由題意可知,弧BC,弧AD所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為30°且半徑為6,弧OD、弧OC所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為60°且半徑為6,所以陰影部分的周長為:圓心角為180°半徑為6的半圓弧長加直徑長,即:6π+12,故答案為:6π+12.【變式2-1】(2022?焦作模擬)如圖,在5×4的網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為1點(diǎn)A,B,C,D均在格點(diǎn)上,點(diǎn)D在AB上線段BC與AB交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的周長為262+13π【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,利用網(wǎng)格可得出△ABM≌△CAN,進(jìn)而得出AB=AC,利用平角的定義可得出△ABC是等腰直角三角形,得出圓心角∠BOE的度數(shù),利用勾股定理求出AB,進(jìn)而得出半徑,由弧長公式求出弧BE,再利用勾股定理求出BC,進(jìn)而得出BE即可.【解答】解:設(shè)AB的中點(diǎn)為O,即弧BE所在的圓心為O,如圖,連接OE,AC,由網(wǎng)格可知,BM=AN=3,AM=CN=2,∠M=∠N=90°,∴△ABM≌△CAN(SAS),∴AB=AC,∠BAM=∠ACN,∵∠ACN+∠CAN=90°,∴∠BAC=180°﹣90°=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠BOE=180°﹣45°﹣45°=90°,∴BE=12=1=26由弧長公式可得,弧BE的長為90π×13∴陰影部分的周長為262故答案為:262【變式2-2】(2022秋?市中區(qū)期末)如圖,正方形的空地內(nèi)部要做一個綠化帶(陰影部分),已知正方形ABCD外切于⊙O,且邊長為10米,則綠化帶的周長為5π+102.(結(jié)果保留π)【分析】連接OE,OF,OH,OG,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AB,OH⊥AD,求得∠A=∠AHO=∠AEO=90°,推出∠EOF=∠HOG=∠GOF=90°,DH=AH=OH,得到△DHH與△CFG是等腰直角三角形,根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論.【解答】解:連接OE,OF,OH,OG,∵正方形ABCD外切于⊙O,∴OE⊥AB,OH⊥AD,∴∠A=∠AHO=∠AEO=90°,∵OH=OE,∴四邊形AHOE是正方形,∴∠HOE=90°,AH=OH,同理,∠EOF=∠HOG=∠GOF=90°,DH=AH=OH,∴△DHG與△CFG是等腰直角三角形,∴綠化帶的周長為2×90?π×5180+2×52=5故答案為:5π+102.【變式2-3】(2022?西山區(qū)二模)如圖,等邊△ABC的邊長為1,以A為圓心,AC為半徑畫弧,交BA的延長線于D,再以B為圓心,BD為半徑畫弧,交CB的延長線于E,再以C為圓心,CE為半徑畫弧,交AC的延長線于F,則由弧CD,弧DE,優(yōu)弧EF及線段CF圍成的圖形(CDEFC)的周長為6π+3.【分析】利用弧長公式分別計(jì)算的長劣弧CD,劣弧DE,優(yōu)弧EF,CF的長,再相加即可得出結(jié)論.【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC=AB=1,∠CAB=∠BCA=∠ABC=60°.∴AD=1,∠CAD=120°,∠DBE=120°,∠FCE=120°.∴BD=AB+AD=2,CE=CF=CB+BE=1+2=3,∴CD的長=120?π?1180DE的長=120?π?2180優(yōu)弧EF的長=240?π?3180=∴弧CD,弧DE,優(yōu)弧EF及線段CF圍成的圖形(CDEFC)的周長為23π+43π+4π故答案為:6π+3.【題型3利用弧長公式求最值】【例3】(2022?安寧市二模)如圖,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn).若OB=2,則陰影部分周長的最小值為()A.62+π2 B.22+π3【分析】利用軸對稱的性質(zhì),得出當(dāng)點(diǎn)E移動到點(diǎn)E′時,陰影部分的周長最小,此時的最小值為弧CD的長與CD′的長度和,分別進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:如圖,作點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D′,連接D′C交OB于點(diǎn)E′,連接E′D、OD′,此時E′C+E′D最小,即:E′C+E′D=CD′,由題意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°,∴∠COD′=90°,∴CD′=OC2CD的長=30π×2∴陰影部分周長的最小值為22+【變式3-1】(2022?西華縣一模)如圖,在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=2,以B為圓心,BC的長為半徑畫弧AC,點(diǎn)P為菱形內(nèi)一動點(diǎn),連接PA,PC.則陰影部分周長的最小值為2+2π3【分析】由于陰影部分的周長=AP+PC+AC的長,而AC的長為定值,所以當(dāng)AP+PC取最小值時陰影部分周長最小,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A、P、C三點(diǎn)共線時AP+PC【解答】解:如圖,連接AC.由題意可知,A、P、C三點(diǎn)共線時陰影部分周長最小,此時周長為AC+AC∵在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=2,∴∠ABC=∠D=60°,BC=AB=2,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=2,∴AC的長=60π×2∴陰影部分周長的最小值為2+2π故答案為:2+2π【變式3-2】(2022?夏邑縣模擬)如圖,以BC為直徑作圓O,A、D為圓周上的點(diǎn),AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠ABC=60°.若點(diǎn)P為BC垂直平分線MN上的一動點(diǎn),則陰影部分周長的最小值為3+π【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)可知陰影部分的周長的最小值為BD+弧CD長,求出BD的長,弧CD的長即可.【解答】解:根據(jù)對稱的意義可知,PD+PC的最小值為BD,連接BD,OD,由題意可知,∠COD=∠ABC=60°=∠BCD,∵OC=OD,∠DCO=60°,∴OC=OD=CD=1,∴BC=2OC=2,∵BC是⊙O的直徑,∴∠BDC=90°,∴BD=32?BC又弧CD的長為60×π×1180所以陰影部分周長的最小值為BD+弧CD長,即3+故答案為:3+【變式3-3】(2022?南召縣模擬)如圖,在⊙O中AB為其直徑,EF為AB上一線段(點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)),點(diǎn)DC在AB上方的半圓上,且2AD=BD,AD=2BC,連接DF和CE,則圖中陰影部分周長的最小值為2【分析】取BD的中點(diǎn)M,連接AD,DM,BM,OC,OD,OM,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C',連接C'O,C′M,C′M交AB于點(diǎn)E.根據(jù)弧、圓心角、弦的關(guān)系定理,平行四邊形的判定和性質(zhì)定理,軸對稱的性質(zhì),勾股定理,弧長公式解答即可.【解答】解:如圖,取BD的中點(diǎn)M,連接AD,DM,BM,OC,OD,OM,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C',連接C'O,C′M,C′M交AB于點(diǎn)E∵2AD=BD∴AD,DM,MB的度數(shù)都是60°,CB的度數(shù)是30°,∴MD=AD=MB=4,DM∥AB.又EF=12∴MD=EF,∴四邊形DMEF為平行四邊形,∴DF=ME.∵陰影部分的周長為DF+EF+CE+DC,且和EF∴陰影部分的周長最小即DF+CE最?。諨F=ME,∴周長最小即ME+CE最?。蓪ΨQ性可知,EC=EC',∴ME+EC=ME+EC'≥MC',即ME+CE的最小值為MC'的長.∵∠MOC'=∠BOM+∠BOC'=60°+30°=90°,OM=OC',∴△MOC'為等腰直角三角形,∴MC'=OM=4.∵∠COD=∠BOD﹣∠BOC=120°﹣30°=90°,∴DC的長=90π×4∴陰影部分周長的最小值為2π+42+故答案為:2π+42+【題型4計(jì)算扇形面積】【例4】(2022?撫順縣一模)如圖,矩形ABCD的邊長AB=1,BC=2.把BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn),使C恰好落在AD上的點(diǎn)E處,線段BC掃過部分為扇形BCE.則扇形BCE的面積是()A.π3 B.1 C.2π?33 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC,∠A=90°,求出∠EBC=∠AEB=30°,再根據(jù)扇形的面積公式求出答案即可.【解答】解:∵BC=2,把BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn),使C恰好落在AD上的點(diǎn)E處,∴BE=BC=2,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∵AB=1,BE=2,∴AB=12∴∠AEB=30°,∵AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB=30°,∴扇形EBC的面積是30π×2【變式4-1】(2022?湖北)一個扇形的弧長是10πcm,其圓心角是150°,此扇形的面積為()A.30πcm2 B.60πcm2 C.120πcm2 D.180πcm2【分析】先根據(jù)題意可算出扇形的半徑,再根據(jù)扇形面積公式即可得出答案.【解答】解:根據(jù)題意可得,設(shè)扇形的半徑為rcm,則l=nπr即10π=150×π×r解得:r=12,∴S=12rl=12×12×10π=【變式4-2】(2022?八步區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AC=4,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為()A.π3 B.2π3 C.4π3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=30°,根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=60°,根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】解:∵AB=AC=4,AB為直徑,∴∠B=∠C=30°,OA=OB=2,∴∠AOD=2∠B=60°,∴圖中陰影部分的面積=60π×2【變式4-3】(2022?錦州二模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)EA.π3 B.2π3 C.3 【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出AC,再利用角平分線的定義以及直角三角形的邊角關(guān)系求出CD,進(jìn)而確定陰影部分的半徑,最后根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3∴AC=3BC=3,∠ABC∵BD是∠ABC的平分線,∴∠CBD=30°,在Rt△BCD中,CD=BC?tan30°=1,∴AD=3﹣1=2,∴S陰影部分=S扇形ADE=30π×=π【題型5計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積】【例5】(2022?虞城縣一模)如圖,扇形OAB中,∠AOB=120°,OA=2,點(diǎn)C為OB的中點(diǎn),將扇形OAB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為O',連接O'B,當(dāng)O'C∥OA時,陰影部分的面積為()A.π2?32 B.2π3?【分析】連接OO′,證明O,O′,A′三點(diǎn)共線,則陰影部分的面積為S扇形BOD﹣S△OBO′.【解答】解:連接OO′,∵O'C∥OA,∠AOB=120°,∴∠OCO′=60°,∵C是OB的中點(diǎn),∴OC=CB=CO′=1,∴△OCO′是等邊三角形,∴∠OO′C=∠COO′=60°,∠CBO′=∠CO′B=30°,∴∠OO′B=∠A′O′B=90°,∴O,O′,A′三點(diǎn)共線,BO′=3陰影部分的面積為S扇形BOD﹣S△OBO′==2π故選:D.【變式5-1】(2022?安徽模擬)如圖,邊長為22的正方形ABCD的中心與半徑為22的⊙O的圓心重合,E,F(xiàn)分別是AD,BA的延長線與⊙O的交點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為()A.2π﹣23 B.2π﹣2 C.2π+2 D.2π+23【分析】延長DC,CB交⊙O于M,N,根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】解:延長DC,CB交⊙O于M,N,連接OF,過點(diǎn)O作OH⊥AB于H.在Rt△OFH中,F(xiàn)H=O∵AH=BH=2∴AF=6∴S△DAF=12?AD?AF=12×22則圖中陰影部分的面積=14×(S圓O﹣S正方形ABCD)﹣S△ADF=14?[π?(22)2﹣22×22]﹣(2【變式5-2】(2022?武漢模擬)如圖,矩形ABCD中.AB=33,BC=6,以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)F,則陰影部分的面積為()A.514π?2732 B.6π?27【分析】如圖,連接DF.解直角三角形求出CF、BF,∠FDC的度數(shù),再根據(jù)S陰=S扇形ABE﹣(S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF)計(jì)算即可;【解答】解:如圖,連接DF.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠ADC=90°,AB=CD=33,AD=DF=BC=6,∴CF=DF2?CD2=∴∠FDC=30°,∠ADF=60°∴S陰=S扇形ABE﹣(S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF)=90π?(33)2360=514π【變式5-3】(2022?高唐縣二模)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,∠BAO=30°,AC=8.過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,以點(diǎn)O為圓心,OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.(1)求圖中陰影部分的面積;(2)點(diǎn)P是BD上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,D重合),當(dāng)PH+PM的值最小時,求PD的長度.【分析】(1)解直角三角形求出AH,OH,根據(jù)S陰=S△AOH﹣S扇形OMH,求解即可.(2)作點(diǎn)M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M′,連接HM′交BD于P,連接PM,連接PM,此時PH+PM的值最小,解直角三角形求出OP,OD即可.【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=4,∵OH⊥AB,∴∠AHO=90°,∵∠OAH=30°,∴∠AOH=60°,OH=12OA=2,AH=3OH∴S陰=S△AOH﹣S扇形OMH=12×2×23?(2)作點(diǎn)M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M′,連接HM′交BD于P,連接PM,此時PH+PM的值最小.∵OH=OM′,∴∠OHM′=∠OM′H,∵∠AOH=∠OHM′+∠OM′H=60°,設(shè)OP=m,則PM=2m,∵PM2=OM2+OP2,∴4m2=m2+22,∴m=2∴PD=OD+OP=433【題型6旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積】【例6】(2022秋?涼山州期末)如圖,△OAB中,OB=3,OA=1.將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△OCD.下列結(jié)論:①∠BOD=45°;②DC=OA;③BD,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O;④△AOC有一個角為67°;⑤AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形的面積是π;其中錯誤的結(jié)論有()個.A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOD=∠AOC=45°,CD=AB,OD=OB,OA=OC,故①正確,②錯誤;根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,故③正確;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACO=∠OAC=12(180°﹣45°)=67.5°,故④錯誤,由扇形的面積公式得到AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形的面積=S扇形BOD﹣S扇形AOC=【解答】解:∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△OCD,∴∠BOD=∠AOC=45°,CD=AB,OD=OB,OA=OC,故①正確,②錯誤;∵OD=OB,OA=OC,∴BD,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,故③正確;∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC,∵∠AOC=45°,∴∠ACO=∠OAC=1∵∠BOD=∠AOC=45°,∴AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形的面積=S扇形BOD﹣S扇形AOC=45?π×3【變式6-1】(2022?泰興市二模)如圖線段AB的端點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.(1)請你用尺規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑;(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為25π4(4)若有一張與(3)中所說的區(qū)域形狀相同的紙片,將它圍成一個幾何體的側(cè)面,則該幾何體底面圓的半徑長為54【分析】(1)線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑是一段弧,根據(jù)弧長公式計(jì)算路徑;(2)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),可建立直角坐標(biāo)系,從直角坐標(biāo)系中讀出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0);(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為一個扇形,根據(jù)扇形公式計(jì)算;(4)將它圍成一個幾何體即圓錐的側(cè)面,則該幾何體底面圓的周長就等于弧長,利用此等量關(guān)鍵可計(jì)算出半徑.【解答】解:(1)如圖,BC為點(diǎn)B經(jīng)過的路徑;(2)(5,0);(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為一個扇形,根據(jù)扇形公式計(jì)算90π×25360(4)將它圍成一個幾何體即圓錐的側(cè)面,則該幾何體底面圓的周長就等于弧長,90π×5180=2解得r=5【變式6-2】(2022秋?涼州區(qū)校級月考)歸納猜想:同學(xué)們,讓我們一起進(jìn)行一次研究性學(xué)習(xí):(1)如圖1已知正三角形ABC的中心為O,半徑為R,將其沿直線l向右翻滾,當(dāng)正三角形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?(2)如圖2將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾,當(dāng)正方形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?(3)猜想:把正多邊形翻滾一周,其中心O所經(jīng)過的路程是多少(R為正多邊形的半徑,可參看圖2)?請說明理由.(4)進(jìn)一步猜想:任何多邊形都有一個外接圓,若將任意圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時,其外心所經(jīng)過的路程是否是一個定值(R為多邊形外接圓的半徑)?為什么?請以任意三角形為例說明(如圖12).通過以上猜想你可得到什么樣的結(jié)論?請寫出來.【分析】(1)當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧,根據(jù)弧長公式求出一條弧長,繼而可得出答案.(2)滾過的路程相當(dāng)于90°的圓弧的長,繼而代入弧長公式計(jì)算即可.(3)當(dāng)n邊形向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧,這些弧的半徑為R,所對的圓心角為360°n(4)是定值2πR,按照前面的計(jì)算思想進(jìn)行證明即可.【解答】解:(1)當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧,所以其中心O經(jīng)過的路程為:120πR180(2)中心O經(jīng)過的路程為90πR180(3)當(dāng)n邊形向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧,這些弧的半徑為R,所對的圓心角為360°n所以中心O經(jīng)過的路程為360n(4)是定值2πR,理由如下:在△ABC中,設(shè)∠A=α,∠B=β,∠C=γ,△ABC的外接圓⊙O的半徑為R,把△ABC沿直線l向右翻滾一周時,其外心O經(jīng)過的路線是三條弧,當(dāng)AC邊與直線l重合時,C與C'重合,A與A'重合,B與B'重合,連接CO、C'O',則∠ACO=∠A'C'O',所以∠OCO'=∠ACA'=180°﹣γ,所以l=(180?γ)πR同理,另兩條弧長分別為:(180?α)πR180,(180?β)πR所以外心O所經(jīng)過的路程為2πR.通過以上猜想可得結(jié)論為:把圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時,多邊形的外心所經(jīng)過的路程是一個定值.【變式6-3】(2022?揚(yáng)中市一模)已知如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(0,3),連接AB,OD由△AOB繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°而得.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積;(3)線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積.【分析】(1)如圖1,過C作CE⊥OA于E,由點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(0,3),得到OA=1,OB=3,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD=60°,AO=OC(2)根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論;(3)如圖2,作CK⊥AB于K,設(shè)CD交OB于T.則CK=OT=32.線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積=S扇形AOC+S△OBC+S扇形BOD﹣S△AOK﹣S扇形KOT﹣S△【解答】解:(1)如圖1,過C作CE⊥OA于E,∵點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(0,3),∴OA=1,OB=3∵△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△COD,∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=OC=1,∴OE=12OC=12,CE∴C(?12,(2)△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積=60π?12(3)如圖2,作CK⊥AB于K,設(shè)CD交OB于T.則CK=OT=3線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積=S扇形AOC+S△OBC+S扇形BOD﹣S△AOK﹣S扇形KOT﹣S△OTD=60?π×12【題型7圓錐的計(jì)算】【例7】(2022?赤峰)如圖所示,圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm,側(cè)面展開圖為半圓形,則它的母線長為()A.10cm B.20cm C.5cm D.24cm【分析】根據(jù)弧長公式列方程求解即可.【解答】解:設(shè)母線的長為R,由題意得,πR=2π×12,解得R=24,∴母線的長為24cm,故選:D.【變式7-1】(2022?無錫)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直線為軸,把△ABC旋轉(zhuǎn)1周,得到圓錐,則該圓錐的側(cè)面積為()A.12π B.15π C.20π D.24π【分析】運(yùn)用公式s=πl(wèi)r(其中勾股定理求解得到的母線長l為5)求解.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 9、2025年度綠色建筑模板單項(xiàng)勞務(wù)分包合同3篇
- 個人宅基及房屋銷售協(xié)議版B版
- 2025版門面租賃合同簽訂流程及注意事項(xiàng)4篇
- 游戲化教學(xué)增強(qiáng)小學(xué)生注意力的教育模式
- 2025版化妝品銷售代理合同范本6篇
- 美容院與互聯(lián)網(wǎng)平臺2025年度線上推廣服務(wù)合同4篇
- 智能化學(xué)習(xí)環(huán)境下的學(xué)生思維升級
- 二零二五年度汽車美容服務(wù)合同范本4篇
- 科技產(chǎn)品的動態(tài)視覺設(shè)計(jì)實(shí)踐分享
- 時間管理對學(xué)習(xí)態(tài)度的積極影響
- 教師招聘(教育理論基礎(chǔ))考試題庫(含答案)
- 2024年秋季學(xué)期學(xué)校辦公室工作總結(jié)
- 鋪大棚膜合同模板
- 長亭送別完整版本
- 智能養(yǎng)老院視頻監(jiān)控技術(shù)方案
- 你比我猜題庫課件
- 無人駕駛航空器安全操作理論復(fù)習(xí)測試附答案
- 建筑工地春節(jié)留守人員安全技術(shù)交底
- 默納克-NICE1000技術(shù)交流-V1.0
- 蝴蝶蘭的簡介
- 老年人心理健康量表(含評分)
評論
0/150
提交評論