人教版八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三11.7與三角形有關(guān)的角的四大類型解答(學(xué)生版+解析)

專題11.7與三角形有關(guān)的角的四大類型解答【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對與三角形有關(guān)的角的四大類型解答的理解！【類型1與三角形有關(guān)的角的計算】1．（2023春·甘肅蘭州·八年級蘭州十一中?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)．

2．（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AE為BC邊上的高，點D為BC邊上的一點，連接AD．(1)當AD為BC邊上的中線時，若AE=6，△ABC的面積為30，求CD的長；(2)當AD為∠BAC的角平分線時，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度數(shù)．3．（2023春·安徽淮北·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠(1)求∠DBF+(2)求∠A4．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于點P，∠C=70°，∠ADB=110°

5．（2023春·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分線交BC的延長線于點E，BG⊥AE，垂足為點F，交CD于點

(1)求證：BG平分∠ABE．(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度數(shù)．6．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，連接AE．

(1)當∠E=65°時，請說明AE∥BC．(2)如圖2，當DE在AC上方時，且∠E=2∠BAE?29°時，求∠BAE與∠EAC的度數(shù)．(3)在整個運動中，當AE垂直三角形ABC中的一邊時，求出所有滿足條件的∠E的度數(shù)．7．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谥校⑷切渭埰珹BC沿直線DE折疊，使點A落在A'【感知】如果點A'落在邊AB上，這時圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A'與∠2【探究】如果點A'落在四邊形BCDE的內(nèi)部(如圖①)，那么∠A'與∠1【拓展】如果點A'落在四邊形BCDE的外部(如圖②)，那么請直接寫出∠A'與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系

8．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）已知點A在射線CE上，∠C=∠ADB．

(1)如圖1，若AD∥BC，求證：(2)如圖2，若BD⊥BC，垂足為B，BD交CE于點G，請?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF∥BC交射線CE于點F，當∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE時，求9．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，點F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于點D．

(1)如圖1，如果點F在線段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，則∠EFD=______．(2)如果點F在△ABC的外部，分別作出∠CAE和∠EDF的角平分線，交于點K，請在圖2中補全圖形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，若點F與點A重合，PE、PC分別平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，連接PA，過點P作PG⊥BC交BC延長線于點G，PH⊥AB交BA的延長線于點H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE【類型2與三角形有關(guān)的角的證明】1．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點E在AC上，求證：

2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，∠B=60°，點G在直線EF上且

(1)求證：∠C=∠CGE．(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度數(shù)．3．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）已知點D在∠ABC內(nèi)，E為射線BC上一點，連接DE，CD．

(1)如圖1所示，連接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．①線段AB與CD有何位置關(guān)系？請說明理由；②過點D作DM∥AE交直線BC于點M，求證：∠CDM=∠BAE；(2)如圖2所示，∠AED=∠A?∠D，若M為平面內(nèi)一動點，MA∥ED，請直接寫出∠MAB與4．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┥渚€OM、ON交于O點，OC平分∠MON，∠MON=60°，

(1)如圖1，PA、PB分別平分∠OAB、∠OBA時，直接寫出∠APB=__________；(2)如圖2，PA、PB分別平分∠MAB、∠NBA時，求出∠APB的度數(shù)；(3)在（2）條件下，如圖2中，求證∠PAB+∠OPB=90°．5．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1，銳角∠BAC內(nèi)部有一點D，在其兩邊AB和AC上各取任意一點E，F(xiàn)，連接DE，求證：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接AD并延長至點M，∠BED=∠BAD+∠EDA，∠DFC=∠DAC+∠ADF（

依據(jù)

），又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠EDA+∠ADF=∠EDF，∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．證明：∵∠BED=80°,∠DFC=60°，∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器測量所得），∴∠BED+∠DFC=140°，∠BAC+∠EDF=140°（計算所得）．∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變∠BAC的大小，再進行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點D在∠BAC的內(nèi)部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理(3)如圖，若點D在銳角∠BAC外部，ED與AC相交于點G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請?zhí)剿鳌螧ED，6．（2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．

(1)如圖1，點M在線段CB上，在線段BC的延長線上取一點N，使得∠NAC=∠MAC．過點B作BD⊥AM，交AM延長線于點D，過點N作NE∥BD，交AB于點E，交AM于點F．判斷∠ENB與(2)如圖2，點M在線段CB的延長線上，在線段BC的延長線上取一點N，使得∠NAC=∠MAC．過點B作BD⊥AM于點D，過點N作NE∥BD，交BA延長線于點E，交MA延長線于點①依題意補全圖形；②若∠CAB=45°，求證：∠NEA=∠NAE．7．（2023春·江蘇揚州·八年級校考期末）【探究結(jié)論】（1）如圖1，AB∥CD，E為形內(nèi)一點，連結(jié)AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問題：（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則

8．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，點D在邊BC上．(1)如圖①，點E在線段AC上，若∠ADE=∠AED，證明：∠BAD=2∠CDE；(2)如圖②，AH平分∠CAD，點F在線段CD上，F(xiàn)H⊥AH交AD延長線于點Q，設(shè)∠ABC與∠AQF的角平分線交于點P，求∠P與∠BFQ的度數(shù)之比【類型3與三角形有關(guān)的角的挖空題】1．（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，作點AC⊥AD，設(shè)BD分別與AC、CE交于點F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求證：∠CFG=∠CGF．完成下面的證明過程：證明：∵AC⊥AD（已知）．

∴∠CAD=90°（垂直的定義）．∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（）∵∠2=∠3（已知）∴∠1=（等量代換）∴AD//BC∴=∠CAD=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的兩個銳角互余）同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE=90°∴∠CFG=∠BGE（）

又∵∠BGE=∠CGF（對頂角相等）∴∠CFG=∠CGF（等量代換）2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠BMN與∠DNM的平分線相交于點G，完成下面的證明：∵MG平分∠BMN，∴∠GMN＝12∠BMN（同理∠GNM＝12∠DNM∵AB∥CD∴∠BMN＋∠DNM＝________（）．∴∠GMN＋∠GNM＝________．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，∴∠G＝________．3．（2023春·江蘇鹽城·八年級校考期中）互動學(xué)生課堂上，某小組同學(xué)對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖，三角形ABC，點D是三角形ABC內(nèi)一點，連接BD，CD，試探究∠BDC與∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系．小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．（1）請你在橫線上補全小明的探究過程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性質(zhì)）∵∠A+∠1++∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．（）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程．4．（2023春·河北衡水·八年級校考期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．(1)求證：∠AFE＝∠ACB，完成下面的證明．證明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），∴∠AEC＝∠1（等量代換），∴AB∥FD（），∴∠3＝（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠3＝∠B（已知），∴＝∠B（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFE＝∠ACB（）；(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度數(shù)．5．（2023春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，全班同學(xué)分組進行了一副三角尺上角的探究活動，如圖所示，放置一副三角尺，兩個三角尺的頂點O重合，邊CD與邊AB重合，試求∠AOC的度數(shù)．（1）探究展示勤奮小組展示了如下的解決方法（請結(jié)合圖形1，完成填空）解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°∴∠BOC=__________（___________________）又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=__________．（2）反思交流：創(chuàng)新小組受勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2所示，繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)△DOC，當DC//AO時，求得∠AEO的度數(shù)．（請你寫出解答過程）（3）探索發(fā)現(xiàn)：小明受到旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究（如圖3），繼續(xù)繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)△DOC，使點B落在邊DC上，此時發(fā)現(xiàn)∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系．以下是他的解答過程，請補充完整解：在△AOE與△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C又∵∠AEO=∠CEB（___________________）∠A=__________，∠C=__________，∴∠1+∠A=∠2+∠C∠1?∠2=__________．【類型4探究與三角形有關(guān)的角之間的關(guān)系】1．（2023春·全國·八年級期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．(1)①∠DCE=30°時，∠ACB的度數(shù)為_______；②∠ACB=135°時，∠DCE的度數(shù)為_______；【探究】(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【應(yīng)用】(3)現(xiàn)按照這種折疊方式，用這樣兩塊直角三角尺的木板制作一個畫平行線的工具，需要滿足兩個三角尺存在一組邊互相平行，若∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．2．（2023春·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究問題情境：如圖1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，點E，F(xiàn)在直線AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．

(1)求∠ACE的度數(shù)．實踐探究：(2)若左右平行移動AD，那么∠BAC與∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變，請求出∠BAC與∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖2，若向左平行移動AD，當∠BEC=∠CAD時，請求出∠CAD的度數(shù)．3．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板PMN放置在△ABC上（P點在△ABC內(nèi)），三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點B和點C．試問∠ABP與∠ACP、∠A是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？(1)特殊探究：如圖①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP與∠ACP、∠A的數(shù)量關(guān)系是；(2)類比探究：如圖①，若∠A=α，請先寫出∠ABP+∠ACP與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)延伸探究：如圖②，改變直角三角板PMN的位置，使P點在△ABC外，三角板PMN的兩條直角邊PM、PN仍然分別經(jīng)過點B和點C，則（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請重新寫出∠ABP與∠ACP、∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．(1)探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．(2)探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．(3)探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A又有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：．5．（2023春·湖北·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是線段AC上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交射線BD于點F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點

(1)如圖，點E在線段AD上運動．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是___________；∠EFB的度數(shù)是___________；②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若點E在線段DC上運動時，請直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)實踐活動課上，研究小組探究如下問題：【問題情境】如圖，點A，O，B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖①放置，使直角頂點與點O重合，其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直線于點F．【獨立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度數(shù)；【實踐操作】（2）如圖②，將直角三角尺繞點O旋轉(zhuǎn)，當∠OFC=2∠AOC時，求∠AOC的度數(shù)；【深入探究】（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直角三角尺，若OC不與AB重合，試探究旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOC和∠OFC之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）已知，直線AB∥CD．

(1)如圖1，點E在AB、CD之間，求證：∠AEC=∠A+∠C；(2)如圖2，在（1）的條件下，∠BAE的平分線交CE的延長線于點F，∠DCE的平分線交AE的延長線于點G，試探究∠F，∠G和∠AEC這三個角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點E在直線AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分線交于點F，若∠E?∠F=20°，請直接寫出∠ECD?∠EAB的值．8．（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD(1)觀察猜想：若∠A=45°，∠E=65°，則∠CDE的度數(shù)為(2)探究問題：請在圖1中探究∠A，∠CDE與∠E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時∠CAB，∠CDE與∠E又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請寫出結(jié)論并說明理由.

專題11.7與三角形有關(guān)的角的四大類型解答【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對與三角形有關(guān)的角的四大類型解答的理解！【類型1與三角形有關(guān)的角的計算】1．（2023春·甘肅蘭州·八年級蘭州十一中校考期末）如圖，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)．

【答案】75°【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB=80，再由角平分線的定義得到∠ACE=40，進而利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CED=75°，根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理求出∠EDF=15°，進而根據(jù)垂直的定義求出∠CDF的度數(shù)即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∴∠CED=∠A+∠ACE=75°，∵DF⊥CE，即∠DFE=90°，∴∠EDF=180°?∠DEF?∠DFE=15°，∵CD⊥AB，即∠ADC=90°，∴∠CDF=∠ADC?∠EDF=75°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等等，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AE為BC邊上的高，點D為BC邊上的一點，連接AD．(1)當AD為BC邊上的中線時，若AE=6，△ABC的面積為30，求CD的長；(2)當AD為∠BAC的角平分線時，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】(1)CD=5(2)∠DAE=15°【分析】（1）由中線平分三角形面積可得△ADC的面積，再由面積公式即可求得CD的長；（2）由三角形內(nèi)角和可求得∠BAC的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)可求得∠ADE，然后在Rt△ADE【詳解】（1）解：∵AD為BC邊上的中線，∴S∵AE為邊BC上的高，AE=6，∴1∴CD=5．（2）解：∵∠BAC=180°?∠B?∠C=78°，∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD=1∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，∵AE⊥BC，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°?75°=15°．【點睛】本題考查了三角形中線、角平分線、三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握這些知識是基礎(chǔ)與關(guān)鍵．3．（2023春·安徽淮北·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠(1)求∠DBF+(2)求∠A【答案】(1)45°(2)90°【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）先證明BD平分∠ABC【詳解】（1）解：∵∠BDC=135°∴∠DBF+（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，∴BD平分∠ABC，即∠ABD∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∴∠A=180°?【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°．4．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于點P，∠C=70°，∠ADB=110°

【答案】45°【分析】首先根據(jù)三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)求出∠BPD的度數(shù)即可.【詳解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB，∴70°+∠CAD=110°．∴∠CAD=40°．∵∠BAD=1∴∠CAB=60°，∠BAD=20°．在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，∴70°+60°+∠ABC=180°，∴∠ABC=50°．∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=1∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和、外角和和角平分線的定義，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握.5．（2023春·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分線交BC的延長線于點E，BG⊥AE，垂足為點F，交CD于點

(1)求證：BG平分∠ABE．(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度數(shù)．【答案】(1)證明見詳解(2)35°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAE=∠BAE，從而得出∠E=∠BAE，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出BG平分∠ABE；（2）根據(jù)∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBE=60°，從而得出∠DCE=105°，最后根據(jù)∠BGC=∠DCE?∠GBE即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠E，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠E=∠BAE，∴AB=BE，∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）∵∠DAB=60°，AD∥BC，∴∠ABE=120°，∵BG平分∠ABE，∴∠GBE=60°，∵∠DCE=105°，∴∠BGC=∠DCE?∠GBE=105°?60°=35°．【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，連接AE．

(1)當∠E=65°時，請說明AE∥BC．(2)如圖2，當DE在AC上方時，且∠E=2∠BAE?29°時，求∠BAE與∠EAC的度數(shù)．(3)在整個運動中，當AE垂直三角形ABC中的一邊時，求出所有滿足條件的∠E的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BAE=23°，∠EAC=17°(3)25°或50°或90°【分析】（1）由平移的性質(zhì)可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性質(zhì)可得∠E+∠BAE=40°，即可求解；（3）分三種情況討論，由平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，∴AC∥DE，∴∠CAE=∠E=65°，∴∠C=∠CAE，∴AE∥BC；（2）解：∵將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，∴DE∥AC，∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，∴∠E+∠BAE=40°，∵∠E=2∠BAE?29°，∴∠BAE=23°，∠E=17°，∴∠EAC=17°；（3）解：如圖2，當DE⊥BC時，

∵∠BAC=40°，∠C=65°，∴∠ABC=75°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=15°，∵∠BDE=40°，∴∠E=25°；如圖3，當AE⊥AC時，

∵AC∥DE，∴∠E=∠CAE=90°，如圖4，當AE⊥AB時，∵AC∥DE∴∠E=90°?∠ADE=50°綜上所述：∠E=25°或50°或90°．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谥校⑷切渭埰珹BC沿直線DE折疊，使點A落在A'【感知】如果點A'落在邊AB上，這時圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A'與∠2【探究】如果點A'落在四邊形BCDE的內(nèi)部(如圖①)，那么∠A'與∠1【拓展】如果點A'落在四邊形BCDE的外部(如圖②)，那么請直接寫出∠A'與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系

【答案】感知：∠2=2∠A'探究：2∠【分析】[感知]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=∠A+∠EA'D[探究]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°?∠A'，兩式相加可得∠A'DA+∠[拓展]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME【詳解】解：[感知]：∠2=2∠A．理由如下：當點A'落在邊AB上時，由折疊可得：∠E∵∠2=∠A+∠EA∴∠2=2∠A，故答案為：∠2=2∠A；[探究]：2∠A=∠1+∠2．理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A∴∠A∴∠A+∠A∵∠1+∠A∴∠A由折疊可得：∠A=∠A'，∴2∠A故答案為：2∠A[拓展]：如圖②，

∵∠DME=∠A'+∠1由折疊可得：∠A=∠A∴∠2=∠A+∠A∴2∠A=∠2?∠1，2∠故答案為：2∠A【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，本題主要考查運用定理進行推理和計算的能力．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形運用外角的性質(zhì)列等式求解．8．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）已知點A在射線CE上，∠C=∠ADB．

(1)如圖1，若AD∥BC，求證：(2)如圖2，若BD⊥BC，垂足為B，BD交CE于點G，請?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF∥BC交射線CE于點F，當∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE時，求【答案】(1)證明見解析(2)∠DAE+2∠C=90°，理由見解析(3)99°【分析】（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根據(jù)∠C=∠ADB，即可得到（2）∠DAE+2∠C=90°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根據(jù)∠C=∠ADB即可得到∠DAE與∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α，∠AFD=180°?8α，根據(jù)DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°?8α，再根據(jù)∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°?8α=90°，求得【詳解】（1）證明：∵AD∥∴∠DAE=∠C，又∵∠C=∠ADB，∴∠DAE=∠ADB，∴AC∥（2）解：∠DAE+2∠C=90°理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB=∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD=90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°，又∵∠C=∠ADB，∴∠DAE+2∠C=90°；（3）設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α，∴∠AFD=180°?8α，∵DF∥∴∠C=∠AFD=180°?8α，又∵∠DAE+2∠C=90°，∴2180°?8α∴α=18°∴∠C=180°?8×18°=36°，∴∠ADB=∠C=36°，又∵∠BAC=∠BAD，∴∠ABC=180°?∠C?∠BAC=180°?∠ADB?∠BAD=∠ABD，∵∠CBD=90°，∴∠ABC=∠ABD=1∴在△ABD中，∠BAD=180°?45°?36°=99°，∴∠BAD的度數(shù)為99°．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余．靈活運用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，點F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于點D．

(1)如圖1，如果點F在線段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，則∠EFD=______．(2)如果點F在△ABC的外部，分別作出∠CAE和∠EDF的角平分線，交于點K，請在圖2中補全圖形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，若點F與點A重合，PE、PC分別平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，連接PA，過點P作PG⊥BC交BC延長線于點G，PH⊥AB交BA的延長線于點H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE【答案】(1)10°(2)畫圖見解析，∠AKD=3∠C?∠B(3)95°【分析】（1）先求出∠BAC=100°，進而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根據(jù)FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°?∠AED=10°；（2）根據(jù)題意先畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=（3）根據(jù)∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，從而求出∠B=90°?6α，進而求出∠CPE=2α，結(jié)合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°?145α．根據(jù)PG⊥BC，得到45°+α+63°?145α=90°，求出α=10°．從而分別求出【詳解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=100°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=∠CAE=1∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∵DF⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°?∠AED=10°，故答案為：10°；（2）解：∠AKD=3∠C?∠B在△ABC中，∠BAC=180°?∠B?∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=1∵DF⊥BC，∴∠FDE=90°，∵∠CAE和∠EDF的角平分線交于點K，∴∠CDK=1∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，∴45°?1∴∠AKD=3

（3）解：設(shè)∠EAD=∠CAD=2α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α，∴∠BAD=6α，∵AD⊥BC∴∠ADE=90°，∴∠B=90°?∠BAD=90°?6α，∠AED=90°?2α，∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α，∵PE、PC分別平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，∴∠PEC=1∴∠EPC=∠PCG?∠PEC=2α，∴∠CPG=7∵PG⊥BC，∴∠PCG+∠CPG=90°，即45°+α+∴α=10°．∴∠B=90°?6α=30°，∠PEC=35°，∴∠BEP=180°?∠PEM=145°，∵PH⊥AB，∴∠PHB=90°，∴在四邊形BEPH中，∠EPH=360°?∠BEP?∠B?∠BHP=95°（四邊形內(nèi)角和可以看做是兩個三角形的內(nèi)角和）．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強，第（3）步難度較大．熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意進行角的表示與代換是解題關(guān)鍵．【類型2與三角形有關(guān)的角的證明】1．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點E在AC上，求證：

【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠C=180°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，進而可證明出∠A=∠CED+∠D．【詳解】∵AB∴∠A+∠C=180°∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180°∴∠A=∠CED+∠D．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，∠B=60°，點G在直線EF上且

(1)求證：∠C=∠CGE．(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)70°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可證明；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CMG=【詳解】（1）證明：∵∠ABG=∠FGB，∴AB∥EF，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠C=∠CGE；（2）解：如圖，

∵∠C=∠CGB+20°，∴∠CGB=∠C?20°，∵AB∥CD，∠B=60∴∠CMG=∵∠C+∴∠C+∴∠【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）已知點D在∠ABC內(nèi)，E為射線BC上一點，連接DE，CD．

(1)如圖1所示，連接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．①線段AB與CD有何位置關(guān)系？請說明理由；②過點D作DM∥AE交直線BC于點M，求證：∠CDM=∠BAE；(2)如圖2所示，∠AED=∠A?∠D，若M為平面內(nèi)一動點，MA∥ED，請直接寫出∠MAB與【答案】(1)①AB∥(2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE【分析】（1）①過點E作EF∥AB，則∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，則FE∥CD，即可得到結(jié)論．②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，則∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE；（2）分點M在直線AB的右側(cè)和點M在直線AB的左側(cè)兩種情況，分別求出∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．【詳解】（1）解：①AB∥CD.理由：過點E作EF∥AB，如圖，

則∠AEF=∠BAE，∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED，∴∠CDE=∠FED，∴FE∥CD，∵AB∥EF，∴AB∥CD．②∵DM∥AE∴∠AED=∠MDE．∵∠CDE=∠FED，∴∠MDC=∠AEF．∵∠AEF=∠BAE，∴∠CDM=∠BAE．（2）當點M在直線AB的右側(cè)時，如下圖，∠MAB=∠CDE，理由：

設(shè)AE與CD交于點F，∵∠CFE=∠D+∠AED，∴∠AED=∠CFE?∠D．∵∠AED=∠BAE?∠D，∴∠BAE=∠CFE．∴AB∥CD．∴∠ABC=∠DCE．∵AM∥DE，∴∠AMB=∠DEC．∵∠MAB=180°?∠ABC?∠AMB，∠CDE=180°?∠DCE?∠DEC，∴∠MAB=∠CDE，②當點M在直線AB的左側(cè)時，如圖，∠MAB+∠CDE=180°，理由：

由（2）①可知：∠BAN=∠CDE．∵∠BAN+∠BAM=180°，∴∠MAB+∠CDE=180°．綜上，∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理靈活進行角的關(guān)系轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┥渚€OM、ON交于O點，OC平分∠MON，∠MON=60°，

(1)如圖1，PA、PB分別平分∠OAB、∠OBA時，直接寫出∠APB=__________；(2)如圖2，PA、PB分別平分∠MAB、∠NBA時，求出∠APB的度數(shù)；(3)在（2）條件下，如圖2中，求證∠PAB+∠OPB=90°．【答案】(1)120°(2)60°(3)證明見解析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分線的定義得∠PAB+∠PBA=1（2）由三角形內(nèi)角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定義得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分線的定義得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°?∠APO，代入∠PAB+∠OPB化簡即可.【詳解】（1）解：∵∠MON=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°∵PA、PB分別平分∠OAB、∠OBA，∴∠PAB=12∠OAB∴∠PAB+∠PBA=∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA故答案為：120°；（2）解：∵∠MON=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠MAB+∠MBA=240°，∵PA、PB分別平分∠MAB、∠NBA，∴∠PAB=12∠MAB∴∠PAB+∠PBA=1∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA（3）證明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°，∴∠MOC=1∵PA平分∠MAB，∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO，∵∠APB=60°∴∠OPB=60°?∠APO∴∠PAB+∠OPB=【點睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等，準確識圖是解題的關(guān)鍵，難點在于要注意整體思想的利用．5．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1，銳角∠BAC內(nèi)部有一點D，在其兩邊AB和AC上各取任意一點E，F(xiàn)，連接DE，求證：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接AD并延長至點M，∠BED=∠BAD+∠EDA，∠DFC=∠DAC+∠ADF（

依據(jù)

），又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠EDA+∠ADF=∠EDF，∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．證明：∵∠BED=80°,∠DFC=60°，∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器測量所得），∴∠BED+∠DFC=140°，∠BAC+∠EDF=140°（計算所得）．∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變∠BAC的大小，再進行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點D在∠BAC的內(nèi)部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理(3)如圖，若點D在銳角∠BAC外部，ED與AC相交于點G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請?zhí)剿鳌螧ED，【答案】(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)A(3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF【分析】（1）連接AD并延長至點M，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；（2）按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，即可得答案；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案【詳解】（1）解：小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）根據(jù)定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，故A正確；（3）不成立，∵∠AGE是△GDF的一個外角，∴∠AGE=∠DFC+∠EDF，∵∠BED為△AEG的一個外角，∴∠BED=∠BAC+∠AGE，∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED?∠DFC=∠BAC+∠EDF）．【點睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．6．（2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．

(1)如圖1，點M在線段CB上，在線段BC的延長線上取一點N，使得∠NAC=∠MAC．過點B作BD⊥AM，交AM延長線于點D，過點N作NE∥BD，交AB于點E，交AM于點F．判斷∠ENB與(2)如圖2，點M在線段CB的延長線上，在線段BC的延長線上取一點N，使得∠NAC=∠MAC．過點B作BD⊥AM于點D，過點N作NE∥BD，交BA延長線于點E，交MA延長線于點①依題意補全圖形；②若∠CAB=45°，求證：∠NEA=∠NAE．【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）依據(jù)∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，進而得出∠MAC=∠ENB，再根據(jù)∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；（2）①過點B作BD⊥AM于點D，過點N作NE∥BD，交BA延長線于點E，交MA延長線于點F；②依據(jù)∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°?∠ENB，∠EAN=135°?∠NAC，即可得到【詳解】（1）解：∠ENB=∠NAC，理由：∵BD⊥AM，∴∠ADB=90°，∵NE∥∴∠NFD=∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，∴∠MAC=∠ENB，又∵∠NAC=∠MAC，∴∠ENB=∠NAC；（2）解：①補全圖形如圖：

②同理可證∠ENB=∠NAC，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠ABC=45°，∴∠ABM=135°，∴∠NEA=∠ABM?∠NEB=135°?∠ENB，∵∠EAN=∠EAB?∠NAC?∠CAB=135°?∠NAC，∴∠NEA=∠NAE．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和是180°進行推算．7．（2023春·江蘇揚州·八年級?？计谀咎骄拷Y(jié)論】（1）如圖1，AB∥CD，E為形內(nèi)一點，連結(jié)AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問題：（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則

【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；（2）見解析；（3）42°或41°【分析】（1）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠1，∠2=∠C，由此即可得到結(jié)論；（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，設(shè)∠CEF=x，則∠AEC=3x，可求得∠BAE=4x?60°，結(jié)合∠BAE度數(shù)的取值范圍可求解x的取值范圍，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，過點E作EF∥AB，∴∠A=∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2=∠C．∵∠AEC=∠1+∠2，∴∠AEC=∠A+∠C，故答案為：∠AEC=∠A+∠C；

（2）由（1）可知：∠EG∵FG2平分∴∠EFG∵∠1=∠2，∴∠EG∵∠EG∴∠FG（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，設(shè)∠CEF=x，則∠AEC=3x，∵∠EFD=60°，∴x+3x=∠BAE+60°，∴∠BAE=4x?60°，又∵8°<∠BAE<20°，∴8°<4x?60°<20°，解得17°<x<20°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠C=∠DFE?∠CEF=∠DFE?x，∵∠C的度數(shù)為整數(shù)，∴x=18°或19°，∴∠C=60°?18°=42°或∠C=60°?19°=41°，故答案為：42°或41°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識的綜合運用，靈活運用平行線的性質(zhì)求解角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，點D在邊BC上．(1)如圖①，點E在線段AC上，若∠ADE=∠AED，證明：∠BAD=2∠CDE；(2)如圖②，AH平分∠CAD，點F在線段CD上，F(xiàn)H⊥AH交AD延長線于點Q，設(shè)∠ABC與∠AQF的角平分線交于點P，求∠P與∠BFQ的度數(shù)之比【答案】(1)見解析．(2)3:2【分析】（1）根據(jù)三角形的外角定理，∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,∠BAD=∠ADE+∠CDE?∠B，而∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE，代入上面式子有：∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE?∠B，而∠B=∠C，所以∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE?∠C=2∠CDE，證明了結(jié)論；（2）如圖，延長QF交AC于K，設(shè)∠P=x,∠BFQ=y；有∠AQK=∠AKQ，根據(jù)外角定理有，∠AKQ=∠KFC+∠C，而∠C=2∠1，∠KFC=y，2∠2=y+2∠1，而∠1+∠P=∠2+∠KFC，即∠1+x=∠2+y，聯(lián)立可以找到x、y的關(guān)系式，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,∴∠BAD=∠ADE+∠CDE?∠B又∵∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE?∠B∵∠B=∠C，∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE?∠C=2∠CDE即：∠BAD=2∠CDE．（2）解：如圖，延長QF交AC于K，設(shè)∠P=x,∠BFQ=y

∵AH⊥QK，∠HAQ=∠HAK∴∠QAH+∠AQH=90°，∠HAK+∠AKQ=90°∴∠AQK=∠AKQ∴2∠2=∠KFC+∠C=y+2∠1.∴∠2?∠1=∵∠1+x=∠2+y∴x=∴2x=3y∴x:y=2:3故：∠P與∠BFQ的度數(shù)之比為2:3．【點睛】本題主要考查了三角形外角定理、直角三角形性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練運用外角定理，找到相應(yīng)的等量關(guān)系，并通過等量代換找到角之間的關(guān)系是求解的關(guān)鍵．【類型3與三角形有關(guān)的角的挖空題】1．（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，作點AC⊥AD，設(shè)BD分別與AC、CE交于點F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求證：∠CFG=∠CGF．完成下面的證明過程：證明：∵AC⊥AD（已知）．

∴∠CAD=90°（垂直的定義）．∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（）∵∠2=∠3（已知）∴∠1=（等量代換）∴AD//BC∴=∠CAD=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的兩個銳角互余）同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE=90°∴∠CFG=∠BGE（）

又∵∠BGE=∠CGF（對頂角相等）∴∠CFG=∠CGF（等量代換）【答案】角平分線定義；∠3；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠ACB；等角的余角相等【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠CAD=90°，然后根據(jù)角平分線定義可得∠1=∠2，根據(jù)等量代換可得∠1=∠3，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可證AD//BC，從而得出∠ACB=∠CAD=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得【詳解】證明：∵AC⊥AD（已知）．

∴∠CAD=90°（垂直的定義）．∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵∠2=∠3（已知）∴∠1=∠3（等量代換）∴AD//∴∠ACB=∠CAD=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的兩個銳角互余）同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE=90°∴∠CFG=∠BGE（等角的余角相等）

又∵∠BGE=∠CGF（對頂角相等）∴∠CFG=∠CGF（等量代換）故答案為:角平分線定義；∠3；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠ACB；等角的余角相等．【點睛】此題考查的是垂直定義、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)，掌握垂直定義、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠BMN與∠DNM的平分線相交于點G，完成下面的證明：∵MG平分∠BMN，∴∠GMN＝12∠BMN（同理∠GNM＝12∠DNM∵AB∥CD∴∠BMN＋∠DNM＝________（）．∴∠GMN＋∠GNM＝________．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，∴∠G＝________．【答案】角分線的定義；180°；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；90°；180°；90°【分析】根據(jù)角平分線的定義，可得∠GMN＝12∠BMN，∠GNM＝12∠DNM．再由AB∥CD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，從而得到∠GMN＋∠【詳解】證明：∵MG平分∠BMN，∴∠GMN＝12∠BMN同理∠GNM＝12∠DNM∵AB∥CD，∴∠BMN＋∠DNM＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∴∠GMN＋∠GNM＝90°．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，∴∠G＝90°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┗訉W(xué)生課堂上，某小組同學(xué)對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖，三角形ABC，點D是三角形ABC內(nèi)一點，連接BD，CD，試探究∠BDC與∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系．小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．（1）請你在橫線上補全小明的探究過程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性質(zhì)）∵∠A+∠1++∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．（）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程．【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理；∠2；∠DBC；等量代換；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等式的性質(zhì)解答；（2）延長BD交AC于E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形內(nèi)角和定理）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性質(zhì)）∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2（等量代換），故答案為：三角形內(nèi)角和定理；∠2；∠BDC；等量代換；（2）如圖，延長BD交AC于E，由三角形的外角性質(zhì)可知，∠BEC＝∠A+∠1，∴∠BDC＝∠BEC+∠2=∠A+∠1+∠2．【點睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北衡水·八年級?？计谀┤鐖D，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．(1)求證：∠AFE＝∠ACB，完成下面的證明．證明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），∴∠AEC＝∠1（等量代換），∴AB∥FD（），∴∠3＝（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠3＝∠B（已知），∴＝∠B（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFE＝∠ACB（）；(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度數(shù)．【答案】(1)同位角相等，兩直線平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；兩直線平行，同位角相等(2)40°【分析】（1）由題意可得∠AEC＝∠1，從而可判斷AB∥FD，求出∠AEF＝∠B，得到FE∥CB，即得∠AFE＝∠ACB；（2）利用三角形的內(nèi)角和可求得∠BCE的度數(shù)，再利用角平分線的定義得∠ACB＝2∠BCE，從而得解．【詳解】（1）解：∵∠2+∠AEC＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），∴∠AEC＝∠1（等量代換），∴AB∥FD（同位角相等，兩直線平行），∴∠3＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠3＝∠B（已知），∴∠AEF＝∠B（等量代換），∴FE∥CB（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFE＝∠ACB（兩直線平行，同位角相等），故答案為：同位角相等，兩直線平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；兩直線平行，同位角相等；（2）∵∠3＝∠B，∠3＝50°，∴∠B＝50°，∵∠2＝110°，∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠2＝20°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCE＝40°，∵FE∥CB，∴∠AFE＝∠ACB＝40°．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運用．5．（2023春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，全班同學(xué)分組進行了一副三角尺上角的探究活動，如圖所示，放置一副三角尺，兩個三角尺的頂點O重合，邊CD與邊AB重合，試求∠AOC的度數(shù)．（1）探究展示勤奮小組展示了如下的解決方法（請結(jié)合圖形1，完成填空）解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°∴∠BOC=__________（___________________）又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=__________．（2）反思交流：創(chuàng)新小組受勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2所示，繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)△DOC，當DC//AO時，求得∠AEO的度數(shù)．（請你寫出解答過程）（3）探索發(fā)現(xiàn)：小明受到旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究（如圖3），繼續(xù)繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)△DOC，使點B落在邊DC上，此時發(fā)現(xiàn)∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系．以下是他的解答過程，請補充完整解：在△AOE與△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C又∵∠AEO=∠CEB（___________________）∠A=__________，∠C=__________，∴∠1+∠A=∠2+∠C∠1?∠2=__________．【答案】（1）75°；三角形內(nèi)角和是180°；15°；（2）105°；見解析；（3）對頂角相等；30°；45°；15°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）利用平行線的性質(zhì)求得∠AOC=45°，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）在△AOE與△BCE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，計算即可求解．【詳解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形內(nèi)角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°?∠AOC?∠BAO=180°?45°?30°=105°（三角形內(nèi)角和是180°）；（3）在△AOE與△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，又∵∠AEO=∠CEB（對頂角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1?∠2=15°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【類型4探究與三角形有關(guān)的角之間的關(guān)系】1．（2023春·全國·八年級期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．(1)①∠DCE=30°時，∠ACB的度數(shù)為_______；②∠ACB=135°時，∠DCE的度數(shù)為_______；【探究】(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【應(yīng)用】(3)現(xiàn)按照這種折疊方式，用這樣兩塊直角三角尺的木板制作一個畫平行線的工具，需要滿足兩個三角尺存在一組邊互相平行，若∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①150°；②45°；(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；(3)存在，30°,45°,120°,135°,165°．【分析】（1）①首先計算出∠DCB的度數(shù)，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先計算出∠DCB的度數(shù)，再計算出∠DCE即可；（2）根據(jù)（1）中的計算結(jié)果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根據(jù)圖中的角的和差關(guān)系進行推理；（3）分五種情況進行討論：當CB∥AD時，當EB∥AC時，當CE∥AD時，當EB∥CD時，當BE∥AD時，分別求得∠ACE的度數(shù)．【詳解】（1）解：①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，∴∠DCB=90°?30°=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，故答案為：150°；②∵∠ACB=135°，∠ACD=90°，∴∠DCB=135°?90°=45°，∴∠DCE=90°?45°=45°，故答案為：45°；（2）解：∠ACB+∠DCE=180°，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；即∠ACB+∠DCE=180°；（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．理由：當CB∥AD時，如圖1所示：∴∠DCB=∠D=30°，∴∠ACE=∠DCB=30°；當EB∥AC時，如圖2所示：∴∠ACE=∠E=45°；當CE∥AD時，如圖3所示：∴∠DCE=∠D=30°，∴∠ACE=90°+30°=120°；當EB∥CD時，如圖4所示：∴∠DCE=∠E=45°，∴∠ACE=90°+45°=135°；當BE∥AD時，延長AC交BE于F，如圖5所示：∴∠CFB=∠A=60°，∵∠ECF+∠E+∠CFE=180°，∠CFB+∠CFE=180°，∴∠ECF=15°，∴∠ACE=180°?∠ECF=180°?15°=165°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，幾何圖形中的角度計算，平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究問題情境：如圖1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，點E，F(xiàn)在直線AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．

(1)求∠ACE的度數(shù)．實踐探究：(2)若左右平行移動AD，那么∠BAC與∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變，請求出∠BAC與∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖2，若向左平行移動AD，當∠BEC=∠CAD時，請求出∠CAD的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)∠BFC=2∠BAC，理由見解析(3)90°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求出∠BCD=120°，再根據(jù)題意及角平分線的定義得出∠ACF+∠FCE=1（2）由平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）由題可得AD∥BC，∠D=60°，∠BCD=120°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠DCA=∠BCE，由角平分線的定義可得∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，求出【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠ABC=60°，∴∠BCD=120°，∵CE平分∠BCF，∴∠FCE=∠BCE=1∵∠ACD=∠ACF，∴∠ACF+∠FCE=1（2）∠BFC=2∠BAC，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵∠ACD=∠ACF，∴∠BAC=∠ACF，∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，∴∠BFC=2∠BAC；（3）∵AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，∴AD∥BC，∠D=60°，∵∠BEC=∠CAD，∴∠DCA=∠BCE，∵∠ACD=∠ACF，∠FCE=∠BCE，∴∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，∵∠BCD=120°，∴∠DCA=1∴∠CAD=180°?∠D?∠DCA=90°【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，正確識圖是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板PMN放置在△ABC上（P點在△ABC內(nèi)），三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點B和點C．試問∠ABP與∠ACP、∠A是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？(1)特殊探究：如圖①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP與∠ACP、∠A的數(shù)量關(guān)系是；(2)類比探究：如圖①，若∠A=α，請先寫出∠ABP+∠ACP與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)延伸探究：如圖②，改變直角三角板PMN的位置，使P點在△ABC外，三角板PMN的兩條直角邊PM、PN仍然分別經(jīng)過點B和點C，則（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請重新寫出∠ABP與∠ACP、∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)90；40；∠ABP+∠ACP=90°?∠A(2)∠ABP+∠ACP=90°?∠A；理由見解析(3)不成立；∠ACP?∠ABP=90°?∠A；理由見解析【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；（2）根據(jù)題意可得∠PBC+∠PCB=90°，在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（3）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，再由∠PBC+∠PCB=90°，兩式相減，即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠BPC=90°，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PBC+∠PCB=90°；∵∠A=50°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∴∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB∴∠ABP+∠ACP+∠A=40°+50°=90°．故答案為：90；40；∠ABP+∠ACP=90°?∠A．（2）解：∠ABP+∠ACP=90°?∠A；理由如下：根據(jù)題意得：∠BPC=90°，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∵∠PBC+∠PCB+即90°+∠ABP+∠ACP∴∠ABP+∠ACP=90°?∠A．（3）解：不成立．結(jié)論：∠ACP?∠ABP=90°?∠A．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠MPN=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABC+∠ACB?∴∠ABC+∠ACP+∠PCB?∠ABP?∠ABC?∠PCB=90°?∠A，∴∠ACP?∠ABP=90°?∠A．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鏈是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．(1)探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．(2)探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．(3)探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A又有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：．【答案】(1)∠BOC=90°+1(2)∠BOC=1(3)∠BOC=90°?【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義，可得∠1=12∠ABC，∠2=（2）先由角平分線得出∠1=12∠ABC，∠2=（3）首先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，再根據(jù)角平分線的定義，可得∠OBC=12∠DBC【詳解】（1）解：∠BOC=90°+1理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線∴∠1=12∴∠1+∠2=又∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A∴∠1+∠2=∴∠BOC=180°?=180°?=90°+1（2）解：∠BOC=1理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC與外角∠ACD的角平分線，∴∠1=12∠ABC又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=1∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2?∠1=1（3）解：結(jié)論∠BOC=90°?1根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∵O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，∴∠OBC=12∠DBC∴∠OBC+∠OCB=1∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°+1∴在△OBC中，∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB故答案為：∠BOC=90°?1【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖北·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是線段AC上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交射線BD于點F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點

(1)如圖，點E在線段AD上運動．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是___________；∠EFB的度數(shù)是___________；②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若點E在線段DC上運動時，請直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①80°；20°②∠BGE=90°?(2)∠BGE=90°+【分析】（1）①直接運用三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)可求解；②證明∠BGE=∠GEF+∠GFE=1（2）證明∠BGE=180°?∠GEF+∠GFE【詳解】（1）①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∵EF∥∴∠EFB=∠FBC=20°,故答案為：80°；20°；②∵EF∥∴∠GFE=∠CBF,∠FED=∠C,∵BD平分∠ABC,EG平分∠DEF,∴∠CBF=∴∠GFE=又∠BGE=∠GEF+∠G