北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)專題1.4圓的方程(7類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題1.4圓的方程TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：圓的一般方程】 1【考點(diǎn)2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1【考點(diǎn)3：二元二次方程表示圓的條件】 1【考點(diǎn)4：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 1【考點(diǎn)5：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】 2【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的軌跡問題】 2【考點(diǎn)7：與圓有關(guān)的最值問題】 2【考點(diǎn)1：圓的一般方程】【知識(shí)點(diǎn)：圓的一般方程】定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)1．（2022?廣州三模）設(shè)甲：實(shí)數(shù)a＜3；乙：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圓，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021秋?阿拉善左旗校級(jí)期末）圓2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A．（?32，1）和194 C．（?32，1）和192 D．（3．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，6），（3，﹣4），則這個(gè)圓的方程為（）A．x2+y2+4x﹣2y+7＝0 B．x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0 C．x2+y2+8x+2y﹣6＝0 D．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝04．（2021秋?湖北期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)．若圓M過A，B，C三點(diǎn)，則圓M的方程是（）A．x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0 D．x2+y2﹣4x﹣12y+3＝05．（2021秋?亳州期末）圓心在x軸上且過點(diǎn)(1，3)的圓與A．x2+y2﹣4x＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2﹣4y＝0 D．x2+y2+4y＝0（多選）6．（2022春?新邵縣校級(jí)月考）已知圓C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0的直徑為4，則（）A．m＝1 B．m＝2 C．圓心為（1，﹣2） D．圓心為（﹣1，﹣2）（多選）7．（2021秋?潮陽(yáng)區(qū)期末）已知方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)a＝10時(shí)，表示圓心為（2，﹣4）的圓 B．當(dāng)a＜10時(shí)，表示圓心為（2，﹣4）的圓 C．當(dāng)a＝0時(shí)，表示的圓的半徑為25D．當(dāng)a＝8時(shí)，表示的圓與y軸相切8．（2021秋?齊齊哈爾期末）四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功、幸福、平安、健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往．梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的時(shí)候，利用了曲線方程C：x2+y2＝2|x|+2|y|（如圖所示）進(jìn)行圖案繪制．試求曲線C圍成的封閉圖形的面積．9．（2021秋?天津期末）已知圓C經(jīng)過A（1，3），B（4，2），M（1，﹣7）三點(diǎn)，并且與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【知識(shí)點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r1．（2022春?昌平區(qū)校級(jí)月考）圓（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圓心、半徑是（）A．（1，﹣2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），4 D．（﹣1，2），22．（2022?福州模擬）已知A（?3，0），B（3，0），C（0，3），則△ABCA．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x﹣1）2+y2＝4 C．x2+（y﹣1）2＝2 D．x2+（y﹣1）2＝43．（2021秋?白山期末）已知圓M的圓心在直線x+y﹣4＝0上，且點(diǎn)A（1，0），B（0，1）在M上，則M的方程為（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+1）2＝54．（2021秋?合肥期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過A（﹣3，3），B（0，2）兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x﹣2y﹣1＝0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．5．（2021秋?紅山區(qū)期末）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（﹣1，4），求：（1）過點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）過點(diǎn)A，B且圓心在直線2x﹣y﹣4＝0上的圓的方程．【考點(diǎn)3：二元二次方程表示圓的條件】【知識(shí)點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件】1．（2022?武漢模擬）“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021秋?龍?zhí)秴^(qū)校級(jí)期末）若曲線x2+y2+2x+my+2＝0表示圓，則m的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）3．（2021秋?撫州期末）若方程x2+y2﹣2y+m2﹣m+1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣2，1） B．(?1，1C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（0，1）4．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）方程x2+y2+2ax﹣2y+a2+a＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＞1 D．0＜a＜15．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的值是．6．（2022?臨潼區(qū)二模）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+2x+8y+5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是．【考點(diǎn)4：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】①點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)1．（2022?丹東模擬）“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022?河南模擬）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）3．（2021秋?萊西市期末）點(diǎn)（2a，a﹣1）在圓x2+y2﹣2y﹣12＝0的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．?9＜a＜15 B．?1＜a＜95 C．4．（2022春?樂山期末）點(diǎn)（1，0）與圓x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的位置關(guān)系是．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）5．（2021秋?宜春期末）已知點(diǎn)P（1，2）是圓C：x2+y2+x﹣2y+m＝0外一點(diǎn)，則m的取值范圍為．6．（2022?下陸區(qū)校級(jí)模擬）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【考點(diǎn)5：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】【知識(shí)點(diǎn)：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】①圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．(2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)．②圓關(guān)于直線對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．(2)兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線．1．（2020秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）圓（x+3）2+y2＝4關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的圓的方程為（）A．x2+（y﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4 C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝42．（2022春?澄城縣期末）若圓x2﹣2x+y2＝0與圓C關(guān)于直線x+y＝0對(duì)稱，則圓C的方程為（）A．x2+2x+y2＝0 B．x2+y2﹣2y＝0 C．x2+y2+2y＝0 D．x2﹣2x+y2＝03．（2022春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）圓C：（x+3）2+（y﹣4）2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝49 C．（x+4）2+（y﹣3）2＝1 D．（x+4）2+（y+3）2＝494．（2021秋?雨花區(qū)期中）圓（x﹣3）2+（y+4）2＝1關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱圓的方程是．5．（2021秋?清遠(yuǎn)期末）圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線l：x﹣y+1＝0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）圓（x+2）2+（y﹣3）2＝1關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的軌跡問題】【知識(shí)點(diǎn)：求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法】1、已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．2、已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．【考點(diǎn)7：與圓有關(guān)的最值問題】【知識(shí)點(diǎn)：與圓有關(guān)最值問題的求解策略】處理與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問題，常見類型及解題思路如下：常見類型解題思路μ＝eq\f(y－b,x－a)型轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題t＝ax＋by型轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題，或用三角代換求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方的最值問題1.已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運(yùn)動(dòng)，則eq\f(y－1,x－2)的最大值與最小值分別為________．2.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－eq\r(4－x－12)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________．3、已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．專題1.4圓的方程TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：圓的一般方程】 1【考點(diǎn)2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【考點(diǎn)3：二元二次方程表示圓的條件】 7【考點(diǎn)4：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 9【考點(diǎn)5：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】 11【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的軌跡問題】 13【考點(diǎn)7：與圓有關(guān)的最值問題】 14【考點(diǎn)1：圓的一般方程】【知識(shí)點(diǎn)：圓的一般方程】定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)1．（2022?廣州三模）設(shè)甲：實(shí)數(shù)a＜3；乙：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圓，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)圓的一般方程求出命題乙的充要條件，根據(jù)集合的包含關(guān)系以及充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圓，（﹣1）2+32﹣4a＞0，解得：a＜5故命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選：B．2．（2021秋?阿拉善左旗校級(jí)期末）圓2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A．（?32，1）和194 C．（?32，1）和192 D．（【分析】化簡(jiǎn)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出圓的圓心與半徑．【解答】解：圓2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0，可得x2+y2+3x﹣2y?3即（x+32）2+（y﹣1）2=194，可得圓心坐標(biāo)（故選：C．3．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，6），（3，﹣4），則這個(gè)圓的方程為（）A．x2+y2+4x﹣2y+7＝0 B．x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0 C．x2+y2+8x+2y﹣6＝0 D．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形為一般方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，6），（3，﹣4），則圓的圓心為（4，1），半徑r=1則圓的方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝26，即x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0，故選：B．4．（2021秋?湖北期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)．若圓M過A，B，C三點(diǎn)，則圓M的方程是（）A．x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0 D．x2+y2﹣4x﹣12y+3＝0【分析】先求出點(diǎn)A，B，C，利用AB的垂直平分線必過圓心，設(shè)圓心的坐標(biāo)，由MC＝MA，求出圓心和半徑，即可得到答案．【解答】解：令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，所以A（1，0），B（3，0），又令x＝0，解得y＝3，所以C（0，3），因?yàn)閳AM過A，B，C三點(diǎn)，所以AB的垂直平分線必過圓心，設(shè)圓M的圓心為M（2，m），則MC＝MA，所以(2?1)2+則圓心M（2，2），半徑r=(2?1所以圓M的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0．故選：C．5．（2021秋?亳州期末）圓心在x軸上且過點(diǎn)(1，3)的圓與A．x2+y2﹣4x＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2﹣4y＝0 D．x2+y2+4y＝0【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），則r＝|a|，再由兩點(diǎn)間的距離公式列式求解a值，則答案可求．【解答】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），則r＝|a|，由題意可得：(a?1)2+(∴該圓的方程是（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0．故選：A．（多選）6．（2022春?新邵縣校級(jí)月考）已知圓C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0的直徑為4，則（）A．m＝1 B．m＝2 C．圓心為（1，﹣2） D．圓心為（﹣1，﹣2）【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出m的值，分析選項(xiàng)可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m，其圓心為（1，﹣2），其半徑為5?m，若其直徑為4，則5?m=2，解可得m故選：AC．（多選）7．（2021秋?潮陽(yáng)區(qū)期末）已知方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)a＝10時(shí)，表示圓心為（2，﹣4）的圓 B．當(dāng)a＜10時(shí)，表示圓心為（2，﹣4）的圓 C．當(dāng)a＝0時(shí)，表示的圓的半徑為25D．當(dāng)a＝8時(shí)，表示的圓與y軸相切【分析】根據(jù)題意，將方程變形為（x﹣2）2+（y+4）2＝20﹣2a，由此依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，變形可得（x﹣2）2+（y+4）2＝20﹣2a，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，a＝10時(shí)，方程為（x﹣2）2+（y+4）2＝0，不能表示圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＜10時(shí)，20﹣2a＞0，方程表示圓心為（2，﹣4）的圓，B正確，對(duì)于C，當(dāng)a＝0時(shí)，方程為（x﹣2）2+（y+4）2＝20，表示圓心為（2，﹣4），半徑為25的圓，C正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝8時(shí)，方程為（x﹣2）2+（y+4）2＝4，表示圓心為（2，﹣4），半徑為2的圓，與y軸相切，D正確；故選：BCD．8．（2021秋?齊齊哈爾期末）四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功、幸福、平安、健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往．梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的時(shí)候，利用了曲線方程C：x2+y2＝2|x|+2|y|（如圖所示）進(jìn)行圖案繪制．試求曲線C圍成的封閉圖形的面積8+4π．【分析】先對(duì)x，y分情況討論，去掉絕對(duì)值，然后結(jié)合方程表示的圖形求解面積．【解答】解：當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，方程可化為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，即表示圓心為（1，1），半徑為2的圓在第一象限的部分；當(dāng)x＞0，y≤0時(shí)，方程可化為（x﹣1）2+（y+1）2＝2，即表示圓心為（1，﹣1），半徑為2的圓在第四象限的部分；當(dāng)x≤0，y＞0時(shí)，方程可化為（x+1）2+（y﹣1）2＝2，即表示圓心為（﹣1，1），半徑為2的圓在第二象限的部分；當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，方程可化為（x+1）2+（y+1）2＝2，即表示圓心為（﹣1，﹣1），半徑為2的圓在第三象限的部分；綜上：四個(gè)部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個(gè)封閉的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域的面積可以割成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形，其中正方形的邊長(zhǎng)就是半圓的直徑，故總面積S＝（22）2+2π（2）2＝8+4π，故答案為：8+4π．9．（2021秋?天津期末）已知圓C經(jīng)過A（1，3），B（4，2），M（1，﹣7）三點(diǎn)，并且與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的長(zhǎng)度．【分析】由題意，利用用待定系數(shù)法求圓的一般方程，再令x＝0，利用韋達(dá)定理，求得線段PQ的長(zhǎng)度．【解答】解：設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f＝0，由題意，可得1+9+d+3e+f=016+4+4d+2e+f=0求得d=?2e=4f=?20，可得圓的方程為x2+y2﹣2x+4再令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0，∴y＝﹣2±26，∴線段PQ的長(zhǎng)度為﹣2+26?（﹣2﹣26）＝46【考點(diǎn)2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【知識(shí)點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r1．（2022春?昌平區(qū)校級(jí)月考）圓（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圓心、半徑是（）A．（1，﹣2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），4 D．（﹣1，2），2【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)求解．【解答】解：圓（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圓心為（﹣1，2），半徑r＝2．故選：D．2．（2022?福州模擬）已知A（?3，0），B（3，0），C（0，3），則△ABCA．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x﹣1）2+y2＝4 C．x2+（y﹣1）2＝2 D．x2+（y﹣1）2＝4【分析】由題意可得所求外接圓的圓心在y軸上，由圓的半徑的定義解方程可得圓心和半徑，進(jìn)而得到所求圓的方程．【解答】解：由A（?3，0），B（3，0），可得△ABC外接圓的圓心在y設(shè)圓心為M（0，b），由|MC|＝|MB|，可得|b﹣3|=b2+3則外接圓的半徑為r＝2，可得外接圓的方程為x2+（y﹣1）2＝4，故選：D．3．（2021秋?白山期末）已知圓M的圓心在直線x+y﹣4＝0上，且點(diǎn)A（1，0），B（0，1）在M上，則M的方程為（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+1）2＝5【分析】求得AB垂直平分線的方程，聯(lián)立方程組，求得圓心，進(jìn)而求得半徑，即可得圓的方程；【解答】解：由點(diǎn)A（1，0），B（0，1）可知AB的垂直平分線的方程為y＝x，又因?yàn)閳A心M在直線x+y﹣4＝0上，所以聯(lián)立x=yx+y?4=0，解得x＝2，y即M（2，2），r＝|MA|=(2?1故圓M的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，故選：C．4．（2021秋?合肥期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過A（﹣3，3），B（0，2）兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x﹣2y﹣1＝0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】直接利用標(biāo)準(zhǔn)式求出圓的方程．【解答】解：由于圓心O在AB的垂直平分線上；故kAB=3?2?3=?AB的中點(diǎn)為（?32，直線AB的垂直平分線為y?52=3×（所以x?2y?1=0y?解得x=?5y=?3故圓的半徑為r=(?5?0)2+故圓的方程為（x+5）2+（y+3）2＝50．5．（2021秋?紅山區(qū)期末）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（﹣1，4），求：（1）過點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）過點(diǎn)A，B且圓心在直線2x﹣y﹣4＝0上的圓的方程．【分析】（1）要求的圓，即以AB為直徑的圓，求出圓心和半徑，可得結(jié)果．（2）設(shè)圓心為D（m，2m﹣4），根據(jù)DA＝DB，求得m的值，可得要求的圓的方程．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，﹣2），B（﹣1，4），∴過點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點(diǎn)C（0，1），AC=10，故要求的圓的方程為x2+（y﹣1）2（2）∵圓心在直線2x﹣y﹣4＝0上，設(shè)圓心為D（m，2m﹣4），∴過點(diǎn)A，B，∴DA＝DB，∴（m﹣1）2+（2m﹣4+2）2＝（m+1）2+（2m﹣4﹣4）2，求得m＝3，∴圓心為D（3，2），半徑AD=20故要求的圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2＝20．【考點(diǎn)3：二元二次方程表示圓的條件】【知識(shí)點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件】1．（2022?武漢模擬）“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先求出方程表示圓的等價(jià)條件，再根據(jù)充分條件、必要條件定義判定即可．【解答】解：∵方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圓，∴4+16﹣4a＞0，∴a＜5，∵（﹣∞，5）?（﹣∞，8），∴a＜8是方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圓的必要不充分條件，故選：B．2．（2021秋?龍?zhí)秴^(qū)校級(jí)期末）若曲線x2+y2+2x+my+2＝0表示圓，則m的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【分析】直接利用曲線表示圓的條件建立不等式，進(jìn)一步求出m的取值范圍．【解答】解：曲線x2+y2+2x+my+2＝0表示圓，整理得(x+1)由于m24?1＞0，整理得故選：C．3．（2021秋?撫州期末）若方程x2+y2﹣2y+m2﹣m+1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣2，1） B．(?1，1C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（0，1）【分析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列式求解即可．【解答】解：方程x2+y2﹣2y+m2﹣m+1＝0可變形為x2+（y﹣1）2＝﹣m2+m，因?yàn)榉匠瘫硎緢A，則﹣m2+m＞0，解得0＜m＜1．故選：D．4．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）方程x2+y2+2ax﹣2y+a2+a＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＞1 D．0＜a＜1【分析】利用圓的一般式方程，D2+E2﹣4F＞0即可求出a的范圍．【解答】解：由題意得，4a2+4﹣4（a2+a）＞0，化為1﹣a＞0，解得a＜1．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，1）．故選：B．5．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的值是?12【分析】直接利用圓的方程的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，故2a2＝a+1，解得a＝1或?1當(dāng)a＝1時(shí)，圓的方程為x2+y當(dāng)a=?12時(shí)，滿足圓的方程構(gòu)成的條件，故a故答案為：?16．（2022?臨潼區(qū)二模）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+2x+8y+5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）．【分析】先利用方程得到a2＝a+2≠0，求出a＝﹣1和a＝2，然后分別求解即可．【解答】解：方程a2x2+（a+2）y2+2x+8y+5a＝0表示圓，所以a2＝a+2≠0，解得a＝﹣1或a＝2，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，方程x2+y2+2x+8y﹣5＝0，配方可得（x+1）2+（y+4）2＝22，所得圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；當(dāng)a＝2時(shí)，方程4x2+4y2+2x+8y﹣10＝0，即x2+y2+12x+2y+52=0，此時(shí)D2+F綜上所述，圓心坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）．故答案為：（﹣1，﹣4）．【考點(diǎn)4：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】①點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)1．（2022?丹東模擬）“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】把圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外的充要條件進(jìn)行計(jì)算出a的范圍可解決此題．【解答】解：將x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2﹣a．當(dāng)點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外時(shí)，有a2?a＞0(0?a所以“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）”在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的必要不充分條件．故選：B．2．（2022?河南模擬）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圓可得m24?1＞0，由點(diǎn)A在圓C外得(1+【解答】解：圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化為（x+m2）2+（y﹣1）2∴m24?1＞0，∴m∵點(diǎn)A（1，2）在圓C外，∴(1+m2)∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，∴m的取值范圍為（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．故選：A．3．（2021秋?萊西市期末）點(diǎn)（2a，a﹣1）在圓x2+y2﹣2y﹣12＝0的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．?9＜a＜15 B．?1＜a＜95 C．【分析】根據(jù)點(diǎn)（2a，a﹣1）在圓x2+y2﹣2y﹣12＝0的內(nèi)部，可得不等式4a2+（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣12＜0，解之即可求得a的取值范圍．【解答】解：∵點(diǎn)（2a，a﹣1）在圓x2+y2﹣2y﹣12＝0的內(nèi)部，∴（2a）2+（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣12＜0?﹣1＜a＜9故選：B．4．（2022春?樂山期末）點(diǎn)（1，0）與圓x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的位置關(guān)系是在圓內(nèi)．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）【分析】利用點(diǎn)（1，0）到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系去判斷點(diǎn)（1，0）與圓x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的位置關(guān)系，即可求解．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的圓心坐標(biāo)為（2，1），半徑為2，點(diǎn)（1，0）到圓心的距離(2?1)2因?yàn)?＜2所以點(diǎn)（1，0）在圓內(nèi)．故答案為：在圓內(nèi)．5．（2021秋?宜春期末）已知點(diǎn)P（1，2）是圓C：x2+y2+x﹣2y+m＝0外一點(diǎn)，則m的取值范圍為(?2，54【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及圓的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵圓C：x2+y2+x﹣2y+m＝0，∴(x+12)2+(y?1)∵點(diǎn)P（1，2）是圓C：x2+y2+x﹣2y+m＝0外一點(diǎn)，∴(1+12)綜上所述，﹣2＜m＜5故m的取值范圍為(?2，5故答案為：(?2，56．（2022?下陸區(qū)校級(jí)模擬）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣22，0）∪（0，22）．【分析】利用圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1和圓x2+y2＝4相交，兩圓圓心距大于兩圓半徑之差、小于兩圓半徑之和即可．【解答】解：∵圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，∴圓O：x2+y2＝4與圓C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，∵|OC|=a由R﹣r＜|OC|＜R+r得：1＜a∴0＜|a|＜22∴﹣22＜a＜0或0＜a＜22故答案為：（﹣22，0）∪（0，22）．【考點(diǎn)5：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】【知識(shí)點(diǎn)：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程】①圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．(2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)．②圓關(guān)于直線對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．(2)兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線．1．（2020秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）圓（x+3）2+y2＝4關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的圓的方程為（）A．x2+（y﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4 C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4【分析】求出對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)即可求得結(jié)果．【解答】解：圓（x+3）2+y2＝4的圓心（﹣3，0），關(guān)于（0，0）對(duì)稱的圓心坐標(biāo)（3，0）所求圓的方程是（x﹣3）2+y2＝4，故選：B．2．（2022春?澄城縣期末）若圓x2﹣2x+y2＝0與圓C關(guān)于直線x+y＝0對(duì)稱，則圓C的方程為（）A．x2+2x+y2＝0 B．x2+y2﹣2y＝0 C．x2+y2+2y＝0 D．x2﹣2x+y2＝0【分析】由題意可得圓x2﹣2x+y2＝0關(guān)于直線x+y＝0對(duì)稱的圓C的圓心為（0，﹣1），半徑為1，可得圓的方程．【解答】解：∵圓x2﹣2x+y2＝0可化為（x﹣1）2+y2＝1，圓心為（1，0），半徑為1，∴圓x2﹣2x+y2＝0關(guān)于直線x+y＝0對(duì)稱的圓C的圓心為（0，﹣1），半徑為1，∴圓C的方程為：x2+（y+1）2＝1，即x2+y2+2y＝0，故選：C．3．（2022春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）圓C：（x+3）2+（y﹣4）2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝49 C．（x+4）2+（y﹣3）2＝1 D．（x+4）2+（y+3）2＝49【分析】求得圓心與半徑，再求得圓心（﹣3，4）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)，可求圓的方程．【解答】解：（x+3）2+（y﹣4）2＝1表示以（﹣3，4）為圓心，以1為半徑的圓．設(shè)（﹣3，4）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為（a，b），則有a?32?b+42=0所以C：（x+3）2+（y﹣4）2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為（x﹣4）2+（y+3）2＝1．故選A．4．（2021秋?雨花區(qū)期中）圓（x﹣3）2+（y+4）2＝1關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱圓的方程是（x+1）2+（y﹣8）2＝1．【分析】設(shè)所求圓的圓心為（a，b），則（a，b）關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對(duì)稱，由此能求出圓（x﹣3）2+y2＝1關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對(duì)稱的圓的方程．【解答】解：圓（x﹣3）2+（y+4）2＝1的圓心O（3，﹣4），半徑為r＝1，設(shè)所求圓的圓心為（a，b），則（a，b）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，∴3+a2=1?4+b2=2∴圓（x﹣3）2+（y+4）2＝1關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱圓的方程是（x+1）2+（y﹣8）2＝1．故答案為：（x+1）2+（y﹣8）2＝1．5．（2021秋?清遠(yuǎn)期末）圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線l：x﹣y+1＝0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝5．【分析】把曲線方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，求出圓心（2，﹣1）關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，3），對(duì)稱圓的半徑和已知圓的半徑相同，從而得到對(duì)稱圓的方程．【解答】解：圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0即（x﹣1）2+（y+2）2＝5表示圓心在（1，﹣2），半徑等于5的圓．把點(diǎn)（1，﹣2）代入x=y?1y=x+1的右邊，即得點(diǎn)（1，﹣2）關(guān)于直線x﹣y故曲線x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線x﹣y+1＝0成軸對(duì)稱的曲線的方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝5．故答案為：（x+3）2+（y﹣2）2＝5．6．（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）圓（x+2）2+（y﹣3）2＝1關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．【分析】直接利用點(diǎn)的對(duì)稱求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)一步確定圓的方程．【解答】解：圓（x+2）2+（y﹣3）2＝1的圓心為（﹣2，3），則圓心（﹣2，3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），故關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．故答案為：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的軌跡問題】【知識(shí)點(diǎn)：求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法】1、已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.2、已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解】(1)法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C