人教版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題8.1二元一次方程組的解法【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題8.1二元一次方程組的解法【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程（組）的概念辨析】 1【題型2根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】 2【題型3二元一次方程組的一般解法】 3【題型4換元法解二元一次方程組】 4【題型5判斷二元一次方程組的解的情況】 5【題型6已知一個方程組的解求另一個方程組的解】 5【題型7同解方程組中求字母的值】 6【題型8二元一次方程有唯一解】 6【題型9二元一次方程組的錯解和遮擋問題】 6【題型10二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】 7【知識點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】1、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。【題型1二元一次方程（組）的概念辨析】【例1】（2023·上?！て吣昙壠谀┫铝蟹匠探M中，二元一次方程組有（

）①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式1-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，是二元一次方程的為（

）A．3x+2=?7 B．x+3=5y C．1x?y 【變式1-2】（2023春·云南楚雄·七年級統(tǒng)考期末）若mx?3y=2x?7是關(guān)于x,y的二元一次方程，則m滿足的條件是（

）A．m≠0 B．m≠2 C．m≠?1 D．m≠3【變式1-3】（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若方程組x+ya?2【知識點(diǎn)2二元一次方程（組）的解】二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。【題型2根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】【例2】（2023春·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）若x=3y=2是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整數(shù)，則a+b的可能取值為（

A．4 B．5 C．7 D．9【變式2-1】（2023春·四川南充·七年級?？计谀╆P(guān)于x，y的方程組2x?y=mx+my=n的解是x=1y=3，則m+n的值是（A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-2】（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若二元一次方程組2x?y=?2018?x+2y=?2017的解為x=ay=b，則a＋b的值為【變式2-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一個解，則9a+3b+4的值是（

A．5 B．6 C．7 D．8【知識點(diǎn)3二元一次方程組的解法】1.代入消元法①變：從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；②代：將變形后的關(guān)系式代入另一個方程（不能代入原來的方程哦），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④再代：將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個方程）中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤聯(lián)：把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.2.加減消元法①化、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；②加減、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解、解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；④代、將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，⑤聯(lián)、把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.【題型3二元一次方程組的一般解法】【例3】（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：(1)2x+y=4x=y?1(2)3x?y=135x+2y=7【變式3-1】（2023春·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：①x=2y3x?5y=9②4x?2y=73x+2y=10③4x+5y=92x?3y=7④x+y=0A．①②用代入法，③④用加減法 B．①③用代入法，②④用加減法C．②③用代入法，①④用加減法 D．①④用代入法，②③用加減法【變式3-2】（2023春·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）下面是小希同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程組：x+3y=1,現(xiàn)有兩種思路，思路一：第一步將①轉(zhuǎn)化為用含y的代數(shù)式表示x，得到方程③；第二步將③代入②，可消去未知數(shù)x．思路二：第一步給①×3，得到方程③；第二步用③?②任務(wù)：(1)我選擇思路_____，該思路解二元一次方程組的方法為____________________；(2)按（1）中選擇的思路，完成此方程組的解題過程；(3)上述解二元一次方程組過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_____________________．A．轉(zhuǎn)化

B．公理化

C．演繹

D．?dāng)?shù)形結(jié)合【變式3-3】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）解方程組3x【題型4換元法解二元一次方程組】【例4】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）先閱讀，再解方程組．解方程組x?y?1=0①4(x?y)?y=5②時，可由①得x?y=1解得y=?1，從而進(jìn)一步得x=0y=?1請用上述方法解方程組2x?3y+2=0【變式4-1】（2023春·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：4x+3y3觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個整體，把(6x?y)看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為__________，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16探索猜想：（2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：32x+y【變式4-2】（2023春·吉林長春·七年級長春市第五十二中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：解方程組x?y?5=0①3x?y+2y=9②時，可由①得x?y=5③，然后再將③代入②，得3×5+2y=9，解得y=?利用上述方法解方程組：3x+y+1=03x+y?6【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┫乳喿x下列材料；再解決相關(guān)問題：解方程組a?1解：設(shè)a?1=x，b+2=y，原方程組可轉(zhuǎn)化為x+2y=6解方程組得x=2y=2，即a?1=2b+2=2，所以(1)如果用換元法解方程組：1m+1n=2,1m?1(2)用換元法解方程組：2【題型5判斷二元一次方程組的解的情況】【例5】（2023春·上海浦東新·七年級?？计谥校﹌、b為何值時，關(guān)于x、y方程組y=kx+by=【變式5-1】（2023春·江蘇南通·七年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于x，y的方程組x+y=1ax+by=c有唯一的一組解，那么a,b,cA．a(chǎn)≠b B．b≠c C．a(chǎn)≠c D．a(chǎn)≠c且c≠1【變式5-2】（2023春·七年級課時練習(xí)）若方程組y=kx+by=3k?1x+2有無窮多組解，則【變式5-3】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結(jié)論：當(dāng)k=5時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數(shù)k取何值，此方程組一定無整數(shù)解（x、y均為整數(shù)），其中正確的個數(shù)是（

A．0 B．1 C．2 D．3【題型6已知一個方程組的解求另一個方程組的解】【例6】（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b【變式6-1】（2023春·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）若方程組a1x+b1y=c1a2x+b【變式6-2】（2023春·湖南·七年級期末）若關(guān)于x，y的方程組4x+1+3ax?2y=16?bx+1+2x?2y=15（aA．x=4y=?7 B．x=2y=?7 C．x=2y=?4【變式6-3】（2023春·福建泉州·七年級泉州七中校考期中）已知關(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx?ny=8的解是x=1y=2，則關(guān)于x，y的方程組12A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=4y=?2【題型7同解方程組中求字母的值】【例7】（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知方程組5x+y=3px+5y=4和x?2y=55x+qy=1有相同的解，則p，q的值為（A．p=1q=2 B．p=?4q=?6 C．p=?6q=2【變式7-1】（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+3y=74x+y=9和?x+5y=35x+by=8同解，則a+b=【變式7-2】（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與x?y=3(1)求這個相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同學(xué)說，無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，這句話對嗎？請你說明理由．【變式7-3】（2023春·四川自貢·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，與方程組x+y=52x?y=4A．x+y=5 B．2x?y=4C．x+y?52+2x?y?4【題型8二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a?2)x+(a+1)y+8?a=0．無論a取什么值時，方程都有一個公共的解，則這個公共解是（

）A．x=3y=?2 B．x=2y=?1 C．x=4y=6【變式8-1】（2023春·江蘇南通·七年級校考期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(3a+2)x?(2a?3)y?11?10a=0，無論a取何值，方程都有一個固定的解，則這個固定解為．【變式8-2】（2023春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是．【變式8-3】（2023秋·山東棗莊·七年級校考期末）在關(guān)于m，n的方程m+2n?8+λ4m+3n?7=0中，能使λ無論取何值時，方程恒成立的m，n【題型9二元一次方程組的錯解和遮擋問題】【例9】（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）馬虎的小李同學(xué)在解方程組y=kx+by=2x?1的過程中，錯把b看成了8，他的其他解答過程沒有錯，解得此方程組的解為x=1y=1；而粗心的小楊同學(xué)把方程組抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答過程也沒有錯，解得此方程組的解為x=3【變式9-1】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）小剛解出了方程組3x?y=32x+y=Δ的解為x=4y=□．因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組和解中的兩個數(shù)，則Δ、□分別為【變式9-2】（2023春·河南洛陽·七年級偃師市實(shí)驗中學(xué)?？计谀┮阎鴛+?y=1□x?7y=1是一個被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯了第二個方程中的x的系數(shù)，求出的解是【變式9-3】（2023春·江西·七年級?？茧A段練習(xí)）已知方程組2x+my=10?①nx?2y=?6?②，小聰由于看錯了方程①中的系數(shù)m，得到方程組的解為x=26y=42；小明由于看錯了方程②中的系數(shù)【題型10二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】【例10】（2023春·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期中）若方程組3x?y=4k?102x+6y=k的解滿足x+y=2022，則k等于【變式10-1】（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x、y的方程組2x+y=1?3k①x+2y=2②的解互為相反數(shù)，則kA．k=?1 B．k=0 C．k=1 D．k=2【變式10-2】（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x,y的方程3x?2y=2k+1和y?2x=4的公共解滿足x?y=3，則k=．【變式10-3】（2023春·福建廈門·七年級廈門外國語學(xué)校校考期末）如果關(guān)于未知數(shù)x和y的二元一次方程組ax+by=2ex+fy=1（abef≠0）的解滿足：x+2y=5，那么關(guān)于未知數(shù)x1和y1的二元一次方程組2ax1A．?20 B．2 C．5 D．10專題8.1二元一次方程組的解法【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程（組）的概念辨析】 1【題型2根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】 3【題型3二元一次方程組的一般解法】 6【題型4換元法解二元一次方程組】 9【題型5判斷二元一次方程組的解的情況】 12【題型6已知一個方程組的解求另一個方程組的解】 14【題型7同解方程組中求字母的值】 16【題型8二元一次方程有唯一解】 18【題型9二元一次方程組的錯解和遮擋問題】 20【題型10二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】 23【知識點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】1、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。【題型1二元一次方程（組）的概念辨析】【例1】（2023·上?！て吣昙壠谀┫铝蟹匠探M中，二元一次方程組有（

）①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；②、第一個方程與第二個方程所含未知數(shù)共有3個，故②不符合題意；③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；④、該方程組中第一個方程是二次方程，故④不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時需要掌握二元一次方程組滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個未知數(shù)．③每個方程都是一次方程．【變式1-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，是二元一次方程的為（

）A．3x+2=?7 B．x+3=5y C．1x?y 【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的定義判斷即可，含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．【詳解】解：A．3x+2=?7只有一個未知數(shù)，故A選項不符合題意；B．x+3=5y，B選項符合題意；C．1xD．23故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·云南楚雄·七年級統(tǒng)考期末）若mx?3y=2x?7是關(guān)于x,y的二元一次方程，則m滿足的條件是（

）A．m≠0 B．m≠2 C．m≠?1 D．m≠3【答案】B【分析】首先把所給的方程化為m?2x?3y+7=0，然后根據(jù)二元一次方程的定義可得x和y的系數(shù)不為零，即可求得m【詳解】解：∵mx?3y=2x?7，∴m?2x?3y+7=0根據(jù)二元一次方程的定義可得：∴m?2≠0，∴m≠2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程，熟練掌握二元一次方程的定義：只含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，運(yùn)用二元一次方程滿足的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若方程組x+ya?2【答案】?3或3或2或?2【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得到a?2=1或a?2=0，然后解方程與不等式即可得到滿足條件的【詳解】解：∵方程組是二元一次方程組，∴a?2=1或a∴a=?3或3或2或?2．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．【知識點(diǎn)2二元一次方程（組）的解】二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解?！绢}型2根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】【例2】（2023春·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）若x=3y=2是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整數(shù)，則a+b的可能取值為（

A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17得3a+2b=17，再根據(jù)a，b是正整數(shù)，可得a、b【詳解】解：把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=173a+2b=17，∵a，b是正整數(shù)，∴a=1b=7或a=3b=4或∴a+b=8或7或6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整數(shù)解，理解方程解的意義是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·四川南充·七年級?？计谀╆P(guān)于x，y的方程組2x?y=mx+my=n的解是x=1y=3，則m+n的值是（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】把x與y的值代入方程計算求出m與n的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：把x=1y=3代入方程組得：2x?y=m解得：m=?1，n=?2，則原式=?1?2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解和絕對值，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式2-2】（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若二元一次方程組2x?y=?2018?x+2y=?2017的解為x=ay=b，則a＋b的值為【答案】-4035【分析】方程組的兩個方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可．【詳解】解：2x?y=?2018①?x+2y=?2017②①+②得：x+y=-4035，∵二元一次方程組2x?y=?2018?x+2y=?2017的解為x=a∴a+b=-4035，故答案為：-4035．【點(diǎn)睛】題考查了解二元一次方程組和二次一次方程組的解，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谀┤魓=ay=b是方程3x+y=1的一個解，則9a+3b+4的值是（

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】把方程的解代入得3a+b=1，從而確定9a+3b=3，整體代入計算即可．【詳解】解：∵x=ay=b是方程3x+y=1∴3a+b=1，∴9a+3b=3，∴9a+3b+4=7，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程解的定義，即使得二元一次方程左右相等的一組未知數(shù)的值，熟練掌握定義，靈活變形計算是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)3二元一次方程組的解法】1.代入消元法①變：從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；②代：將變形后的關(guān)系式代入另一個方程（不能代入原來的方程哦），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④再代：將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個方程）中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤聯(lián)：把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.2.加減消元法①化、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；②加減、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解、解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；④代、將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，⑤聯(lián)、把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.【題型3二元一次方程組的一般解法】【例3】（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：(1)2x+y=4x=y?1(2)3x?y=135x+2y=7【答案】(1)x=1(2)x=3【分析】（1）利用代入消元法，把②代入①求出y的值，再將y的值代入②求出x的值即可；（2）利用加減消元法，①×2得出的式子再加②即可求出x的值，再將x的值代入①求出y【詳解】（1）解：2x+y=4①把②代入①得：2y?1解得：y=2，把y=2代入②得：x=2?1=1，故原方程組的解是：x=1y=2（2）3x?y=13①①×2得：6x?2y=26③②+③得：解得：x=3，把x=3代入①得：9?y=13，解得：y=?4，故原方程組的解是：x=3y=?4【點(diǎn)睛】本題主要考查代入消元法和加減消元法解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．【變式3-1】（2023春·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：①x=2y3x?5y=9②4x?2y=73x+2y=10③4x+5y=92x?3y=7④x+y=0A．①②用代入法，③④用加減法 B．①③用代入法，②④用加減法C．②③用代入法，①④用加減法 D．①④用代入法，②③用加減法【答案】D【分析】根據(jù)代入消元法和加減消元法的特性選擇適宜方法，轉(zhuǎn)化一元一次方程，即可解得方程組的解．【詳解】解：①中的第一個方程為x=2y，顯然可用代入法；②中的y的系數(shù)互為相反數(shù)，顯然用加減法；③中的第二個方程可以乘以2得4x?6y=14，即可用加減法進(jìn)行消元；④中的第一個方程可以轉(zhuǎn)化為x=?y，即可用代入法進(jìn)行消元．①④用代入法，②③用加減法選第二個答案．故答案選D．【點(diǎn)睛】根據(jù)代入消元法和加減消元法的定義，細(xì)心觀察方程組的特點(diǎn)，靈活選擇簡便方法是解題的關(guān)鍵．是否熟練掌握代入消元法（即用其中一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，再代入其中一個方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求解）和加減消元法（即將其中一個未知數(shù)的系數(shù)化為相同或相反時，用加減法即可達(dá)到消元的目的，轉(zhuǎn)化為一元一次方程）是解題的重點(diǎn)．【變式3-2】（2023春·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）下面是小希同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程組：x+3y=1,現(xiàn)有兩種思路，思路一：第一步將①轉(zhuǎn)化為用含y的代數(shù)式表示x，得到方程③；第二步將③代入②，可消去未知數(shù)x．思路二：第一步給①×3，得到方程③；第二步用③?②任務(wù)：(1)我選擇思路_____，該思路解二元一次方程組的方法為____________________；(2)按（1）中選擇的思路，完成此方程組的解題過程；(3)上述解二元一次方程組過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_____________________．A．轉(zhuǎn)化

B．公理化

C．演繹

D．?dāng)?shù)形結(jié)合【答案】(1)一，代入消元法（或二，加減消元法）(2)見解析(3)A【分析】（1）根據(jù)自己的意愿選擇思路即可；（2）根據(jù)（1）根據(jù)中選擇的思路解方程組即可；（3）根據(jù)（3）中解方程組的過程即可得出答案．【詳解】（1）解：一，代入消元法（或二，加減消元法）；（2）解：思路一：由①得：x=1?3y③將③代入②得：3(1?3y)+y=?5，解得：y=1；將y=1代入③，得x=?2，所以原方程組的解為x=?2y=1思路二：①×3，得3x+9y=3③?②，得解得：y=1，將y=1代入①，得x=?2，所以原方程組的解為x=?2y=1（3）解：根據(jù)（2）中解二元一次方程組中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）解方程組3x【答案】x=1【分析】先將原方程組化簡，使得含未知數(shù)的各項系數(shù)均為整數(shù)，再將化簡后的一個方程進(jìn)行變形，然后用代入消元法進(jìn)行求解．【詳解】解：原方程組化簡，得15x+8y=31,由①得y=31?15x把③代入②，得10x?9×31?15x解這個方程，得x＝把x＝1代入③，得所以這個方程組的解是x=1【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，化簡原方程組是解題的關(guān)鍵．【題型4換元法解二元一次方程組】【例4】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）先閱讀，再解方程組．解方程組x?y?1=0①4(x?y)?y=5②時，可由①得x?y=1解得y=?1，從而進(jìn)一步得x=0y=?1請用上述方法解方程組2x?3y+2=0【答案】x=5【分析】將①變形為2x?3y=?2③，再整體代入②中，即可求出y的值．再將y的值代入③，即可求出x【詳解】解：2x?3y+2=0由①得，2x?3y=?2③代入②得5+27解得y=4，把y=4代入③得，2x?3×4=?2，解得x=5．故原方程組的解為x=5y=4【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．讀懂題意，掌握“整體代入法”的步驟是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：4x+3y3觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個整體，把(6x?y)看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為__________，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16探索猜想：（2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：32x+y【答案】（1）m3+n8【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為m3解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16解方程組，得x=3y=2故答案為：m3+n（2）設(shè)2x+y=m，x?2y=n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13解關(guān)于m，n的方程組，得m=8n=?1所以2x+y=8x?2y=?1解方程組，得x=3y=2【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·吉林長春·七年級長春市第五十二中學(xué)校考期中）閱讀材料：解方程組x?y?5=0①3x?y+2y=9②時，可由①得x?y=5③，然后再將③代入②，得3×5+2y=9，解得y=?利用上述方法解方程組：3x+y+1=03x+y?6【答案】x=?【分析】由③得：3x+y=?1，把3x+y=?1代入④可求出y，把y=4代入③即可求出x【詳解】解：3x+y+1=0可由③得：3x+y=?1，把3x+y=?1代入④得：?1?67+2y=7，解得：把y=4代入③得：x=?∴方程的解為x=?5【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的計算，讀懂題意是關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┫乳喿x下列材料；再解決相關(guān)問題：解方程組a?1解：設(shè)a?1=x，b+2=y，原方程組可轉(zhuǎn)化為x+2y=6解方程組得x=2y=2，即a?1=2b+2=2，所以(1)如果用換元法解方程組：1m+1n=2,1m?1(2)用換元法解方程組：2【答案】(1)1m,(2)a=9【分析】（1）觀察方程組的特點(diǎn)，可以設(shè)x=1（2）設(shè)x=a【詳解】（1）解：用換元法解方程組：1m+1則該方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程組x+y=2x?y=7故答案為：1m,1（2）設(shè)x=a則原方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程組2x+3y=75x?2y=8解這個方程組，得x=2y=1即a3解得a=9b=?5【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的求解，正確理解題意、掌握換元法求解的方法是解題的關(guān)鍵．【題型5判斷二元一次方程組的解的情況】【例5】（2023春·上海浦東新·七年級?？计谥校﹌、b為何值時，關(guān)于x、y方程組y=kx+by=【答案】當(dāng)k≠12時，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時，方程組無解；當(dāng)【分析】兩式作差，得到關(guān)于x的方程，確定此方程解得情況即可．【詳解】解：y=kx+b①?②可得：kx+b=（1）當(dāng)2k?1≠0時，即k≠12，方程2k?1x=b?2（2）當(dāng)2k?1=0，b?2≠0時，即k=12，b≠2，方程2k?1x=b?2（3）當(dāng)2k?1=0，b?2=0時，即k=12，b=2，方程2k?1x=b?2綜上，當(dāng)k≠12時，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時，方程組無解；當(dāng)【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的求解，一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的求解方法．【變式5-1】（2023春·江蘇南通·七年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于x，y的方程組x+y=1ax+by=c有唯一的一組解，那么a,b,cA．a(chǎn)≠b B．b≠c C．a(chǎn)≠c D．a(chǎn)≠c且c≠1【答案】A【分析】先消去y，得到關(guān)于x的方程，因為有唯一解，根據(jù)方程可得出a，b，c的值的條件．【詳解】x+y=1①ax+by=c②②-①×b得：a?bx=c?b∴x=c?b要使方程有唯一解，則a≠b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組以及解一元一次方程，解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式5-2】（2023春·七年級課時練習(xí)）若方程組y=kx+by=3k?1x+2有無窮多組解，則【答案】5【分析】方程組有無數(shù)解，則這個方程組包含兩個相同方程．【詳解】解：由題意知，方程組包含的兩個方程是同一個方程等式，∴k=3k?1，b=2，解得∴2k+b故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，理解方程組有無數(shù)解是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結(jié)論：當(dāng)k=5時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數(shù)k取何值，此方程組一定無整數(shù)解（x、y均為整數(shù)），其中正確的個數(shù)是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①將k=5代入，得到方程組3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判斷；②解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=【詳解】解：∵當(dāng)k=5時，方程組為3x+5y=63x+5y=10∵解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=把x=23，y=4∵解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?又∵k為整數(shù)，若y是整數(shù)，則k?5=4，?4，2，?2，1，?1此時x不是整數(shù)，∴x、y不能均為整數(shù)，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【題型6已知一個方程組的解求另一個方程組的解】【例6】（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b【答案】x=?2020【分析】設(shè)x+2022=my?2022=n，可得m=2【詳解】解：設(shè)x+2022=my?2022=n由a1a1因為方程組a1x+b所以m=2n=?1是方程組a所以x+2022=2y?2022=?1解得x=?2020y=2021故答案：x=?2020y=2021【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握用換元、整體代換方法解方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）若方程組a1x+b1y=c1a2x+b【答案】x=?10【分析】根據(jù)已知方程組的解，將所求方程組變形后仿照解的規(guī)律求出x與y的值即可．【詳解】解：∵方程組a1x+b∴?6a∵3a1x+4∴35解得：x=?10y=5故答案為：x=?10y=5【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式6-2】（2023春·湖南·七年級期末）若關(guān)于x，y的方程組4x+1+3ax?2y=16?bx+1+2x?2y=15（aA．x=4y=?7 B．x=2y=?7 C．x=2y=?4【答案】A【分析】根據(jù)兩方程組各方程間的關(guān)系，可得出方程組4x+3ay=16?bx+2y=15的解為x=3+1【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組4x+1+3ax?2y=16?bx+1+2∴方程組4x+3ay=16?bx+2y=15的解為x=3+1y=3?2×5，即故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解，方程組之間的關(guān)系，熟練掌握方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·福建泉州·七年級泉州七中?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx?ny=8的解是x=1y=2，則關(guān)于x，y的方程組12A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=4y=?2【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得：12【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx?ny=8的解是x=1∴方程組12ax+y解得：x=4y=?2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵是得到12【題型7同解方程組中求字母的值】【例7】（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知方程組5x+y=3px+5y=4和x?2y=55x+qy=1有相同的解，則p，q的值為（A．p=1q=2 B．p=?4q=?6 C．p=?6q=2【答案】D【分析】由題意解方程組5x+y=3x?2y=5，把求得的解代入方程組5x+qy=1【詳解】解：解方程組5x+y=3x?2y=5，得：x=1把x=1y=?2代入5x+qy=1px+5y=4中，得解得：p=14q=2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，充分理解二元一次方程組的解是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．【變式7-1】（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+3y=74x+y=9和?x+5y=35x+by=8同解，則a+b=【答案】0【分析】由系數(shù)已知兩方程組成方程組，求解得x=2y=1【詳解】解：由題意，得4x+y=9求解得，x=2y=1代入ax+3y=7得，2a+3=7，解得a=2，代入5x+by=8得，10+b=8，解得b=?2，∴a+b=0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查方程組解的定義，二元一次方程組的求解；理解方程組的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與x?y=3(1)求這個相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同學(xué)說，無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，這句話對嗎？請你說明理由．【答案】(1)x=2(2)m=6(3)對，見解析【分析】（1）根據(jù)兩個方程組有相同的解，即可聯(lián)立兩個方程組中不含m，n的方程，再求解即可；（2）將（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出關(guān)于m，n的方程組，解之即可；（3）將（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化簡，即得出5=5，即說明這句話對．【詳解】（1）由題意可得：x+y=1x?y=3解得x=2y=?1（2）將x=2y=?1代入含有m，n解得：m=6n=4（3）將x=2y=?1代入3+a3+a×2+化簡得：6+2a?2a?1=5，即5=5．所以無論a取何值，x=2y=?1都是方程3+a【點(diǎn)睛】本題考查同解方程組，由二元一次方程組的解求參數(shù)．理解同解方程組的概念是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·四川自貢·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，與方程組x+y=52x?y=4A．x+y=5 B．2x?y=4C．x+y?52+2x?y?4【答案】C【分析】利用方程組的定義，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法分別分析即可.【詳解】解：A、x+y=5是二元一次方程，有無數(shù)組解，故選項不符合；B、2x?y=4是二元一次方程，有無數(shù)組解，故選項不符合；C、∵x+y?52+2x?y?4D、∵2x?y?4x+y?5=0，∴2x?y?4=0或故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵.【題型8二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a?2)x+(a+1)y+8?a=0．無論a取什么值時，方程都有一個公共的解，則這個公共解是（

）A．x=3y=?2 B．x=2y=?1 C．x=4y=6【答案】A【分析】如果當(dāng)a取一個確定的值時就得到一個方程，這些方程有一個公共解，說明無論a取何值，都不影響方程，即含a的項的系數(shù)相加為0．【詳解】解：方程整理為ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．∵無論a取什么值時，方程都有一個公共的解，∴x+y?1=0?2x+y+8=0解得：x=3y=?2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，利用方程的解與a無關(guān)得出方程組是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·江蘇南通·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程(3a+2)x?(2a?3)y?11?10a=0，無論a取何值，方程都有一個固定的解，則這個固定解為．【答案】x=4【分析】根據(jù)題意先給a取任意兩個值，然后代入，得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之得到x、y的值，再代入原方程驗證即可．【詳解】∵無論a取何值，方程都有一個固定的解，∴a值可任意取兩個值，可取a=0，方程為2x+3y?11=0，取a=1，方程為5x+y?21=0，聯(lián)立兩個方程解得x=4,y=1，將x=4,y=1代入(3a+2)x?(2a?3)y?11?10a=0，得(3a+2)×4?(2a?3)×1?11?10a=12a+8?2a+3?11?10a=0對任意a值總成立，所以這個固定解是x=4y=1故答案為：x=4y=1【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握帶有參數(shù)的方程的解法是解答的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是．【答案】x=?4【分析】將等式移項，然后根據(jù)等式恒成立得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：∵2x+3y?1?2k∴2x+3y?1=2k∵無論k取何值，等式2x+3y?1?2k∴2x+3y?1=0?4y+x+16=0解得：x=?4y=3故答案為：x=?4y=3【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于x，y的二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·山東棗莊·七年級?？计谀┰陉P(guān)于m，n的方程m+2n?8+λ4m+3n?7=0中，能使λ無論取何值時，方程恒成立的m，n【答案】3【分析】要使λ無論取何值時，方程恒成立，必須滿足m+2n?8=0且4m+3n?7=0聯(lián)立方程組成方程組，解方程組得出m、n即可．【詳解】解：由題意，得：m+2n?8=04m+3n?7=0解得：m=?2n=5∴m＋n＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握方程為0的條件和根據(jù)題意正確列出二元一次方程組．【題型9二元一次方程組的錯解和遮擋問題】【例9】（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）馬虎的小李同學(xué)在解方程組y=kx+by=2x?1的過程中，錯把b看成了8，他的其他解答過程沒有錯，解得此方程組的解為x=1y=1；而粗心的小楊同學(xué)把方程組抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答過程也沒有錯，解得此方程組的解為x=3【答案】28【分析】把方程組的解為x=1y=1代入y=kx+8，求出k，把k的值代入y=kx+b中，再把方程組的解為x=3【詳解】解：由題意，方程y=kx+8的解為x=1y=1∴1=k+8，解得k=-7，當(dāng)k=-7時，方程組y=kx+by=2x+1為y=?7x+b由于該方程組的解為x=3y=7所以7=-21+b∴b=28故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查方程組的解和解一元一次方程．方程組的解是使方程組的兩個方程都成立的一對未知數(shù)的值，故可將所得方程組的解代入其中一個方程，依次求出對應(yīng)的k和b．【變式9-1】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）小剛解出了方程組3x?y=32x+y=Δ的解為x=4y=□．因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組和解中的兩個數(shù)，則Δ、□分別為【答案】17，9【分析】把x=4代入3x?y=3中求出y，再把x，y代入另外一個不等式計算即可；【詳解】將x=4代入3x?y=3，∴12?y=3，∴y=9，將x=4，y=9代入2x+y=△中，∴△=8+9=17；故答案是：17，9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【