蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列7.5三角形的外角【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題7.5三角形的外角【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1三角形的外角】 1【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。?2【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】 3【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】 4【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】 5【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】 6【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】 7【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】 8【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】 9【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】 11【知識點(diǎn)1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．【題型1三角形的外角】【例1】（2022?海滄區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，連接AE和DE，則下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【變式1-1】（2022?思明區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【變式1-2】如圖，有個(gè)三角形，∠1是的外角，∠ADB是的外角．【變式1-3】（2022?江北區(qū)校級月考）如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個(gè)角中，屬于△ABC外角的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【知識點(diǎn)2三角形的外角性質(zhì)】①三角形的外角和為360°；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。俊纠?】（2022?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【變式2-1】（2022?臨淄區(qū)期中）點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則∠APC與∠B的大小關(guān)系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能確定【變式2-2】（2022春?興隆縣期末）如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【變式2-3】（2022?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D，連接DE．則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】【例3】（2022?石阡縣模擬）如圖，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式3-1】（2022?梁子湖區(qū)期末）三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1：3：6，它的三個(gè)外角的比為（）A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2【變式3-2】（2022春?光明區(qū)期末）某零件的形狀如圖所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式3-3】（2022春?江陰市期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】【例4】（2022?沈陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)D，若∠C＝26°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．61° B．64° C．71° D．109°【變式4-1】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點(diǎn)M，若∠M＝35°，則∠CFE＝．【變式4-2】（2022春?邗江區(qū)期中）如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式4-3】（2022?武岡市期末）如圖，已知P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分線，CE是∠ACP的角平分線，BD與CE交于點(diǎn)F，則∠BFC等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】【例5】（2022?赤峰）如圖，點(diǎn)D在BC的延長線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【變式5-1】（2022春?鄂州校級期中）如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，且交于點(diǎn)O，問：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度數(shù)．【變式5-2】（2022春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點(diǎn)，如果設(shè)∠BAC＝n°，那么用含n的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【變式5-3】（2022春?騰沖縣期末）已知：如圖所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度數(shù)．【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】【例6】（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經(jīng)過點(diǎn)D，則∠EDB＝°．【變式6-1】（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【變式6-2】（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【變式6-3】（2022?安徽二模）一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】【例7】（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，則∠1＝（）A．100° B．110° C．125° D．135°【變式7-1】（2022春?東西湖區(qū)校級月考）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【變式7-2】（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【變式7-3】（2022?細(xì)河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】【例8】（2022?東城區(qū)校級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【變式8-1】（2022?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【變式8-2】（2022春?宜興市校級期末）如圖，將△ABC的∠C折疊，使C點(diǎn)在AC邊上，折痕為DE，則（）A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE【變式8-3】（2022春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′落在CD邊上時(shí)，∠DAE與∠1之間的數(shù)量關(guān)系為（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】【例9】（2022春?茌平區(qū)期末）．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，是與平分線的交點(diǎn)，是的兩外角平分線的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【變式9-1】（2022?中原區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝°．【變式9-2】（2022?郟縣期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【變式9-3】（2022春?江都區(qū)月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】【例10】（2022春?靖江市月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如圖2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O1，O2，則∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根據(jù)以上閱讀理解，你能猜想（n等分時(shí)，內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)）（用n的代數(shù)式表示）∠BOn﹣1C＝（）A．×180°+∠A B．×180°+∠A C．×180°+∠A D．×180°+∠A【變式10-1】（2022?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點(diǎn)；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分【變式10-3】（2022春?寶應(yīng)縣期中）【問題引入】（1）如圖1，△ABC，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB相鄰的外角平分線的交點(diǎn)，若∠A＝40°，請求出∠BOC的度數(shù)．【深入探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，若∠B+∠D＝110°，請求出∠AOC的度數(shù)．【類比猜想】（3）如圖3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，則∠BOC＝（用α的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果，不需要寫出解答過程）．（4）如果BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB則∠BOC＝（用n、a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果，不需要寫出解答過程）．專題7.5三角形的外角【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1三角形的外角】 1【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。?3【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】 5【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】 7【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】 9【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】 11【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】 13【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】 16【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】 19【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】 23【知識點(diǎn)1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．【題型1三角形的外角】【例1】（2022?海滄區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，連接AE和DE，則下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【分析】根據(jù)三角形外角的定義可判斷求解．【解答】解：由題意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角．故選：C．【變式1-1】（2022?思明區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【分析】根據(jù)三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角解答即可．【解答】解：△AEO的外角是∠EOC，故選：D．【變式1-2】如圖，有8個(gè)三角形，∠1是△BDC的外角，∠ADB是△ADE的外角．【分析】根據(jù)三角形的定義數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)，由外角的定義找出三角形的外角．【解答】解：圖中的三角形有：△ABD，△ADE，△ABE，△CBD，△CDE，△CBE，△ABC，△ADC，共8個(gè)三角形．∠1是△BDC的外角，∠ADB是△ADE的外角．故空中填：8，△BDC，△ADE．【變式1-3】（2022?江北區(qū)校級月考）如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個(gè)角中，屬于△ABC外角的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的一條邊的延長線于另一邊的夾角叫做這個(gè)三角形的外角判斷．【解答】解：屬于△ABC外角的有∠4共1個(gè)．故選：A．【知識點(diǎn)2三角形的外角性質(zhì)】①三角形的外角和為360°；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。俊纠?】（2022?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角解答．【解答】解：∵∠1是三角形的一個(gè)外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一個(gè)外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故選：B．【變式2-1】（2022?臨淄區(qū)期中）點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則∠APC與∠B的大小關(guān)系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能確定【分析】作出圖形，延長AP與BC相交于點(diǎn)D，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角解答．【解答】解：如圖，延長AP與BC相交于點(diǎn)D，由三角形的外角性質(zhì)得，∠PDC＞∠B，∠APC＞∠PDC，所以，∠APC＞∠B．故選：A．【變式2-2】（2022春?興隆縣期末）如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：如圖，在△AEF中，∠1＞∠2，在△BCE中，∠2＞∠B，∴∠1＞∠2＞∠B．故選：D．【變式2-3】（2022?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D，連接DE．則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2，∴∠1＞∠D，故本選項(xiàng)符合題意；B．∠2＞∠D，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D，又∵∠3和∠A不一定相等，∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∠3和∠A不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】【例3】（2022?石阡縣模擬）如圖，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可直接求解．【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C，∠CAD＝120°，∠C＝80°，∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°，故選：B．【變式3-1】（2022?梁子湖區(qū)期末）三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1：3：6，它的三個(gè)外角的比為（）A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2【分析】由三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1：3：6，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求得它的三個(gè)外角的比．【解答】解：∵三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1：3：6，∴它的三個(gè)外角的比為：（3+6）：（1+6）：（1+3）＝9：7：4．故選：C．【變式3-2】（2022春?光明區(qū)期末）某零件的形狀如圖所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】延長DC交AB于E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠CEB的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：延長DC交AB于E，∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠BCD＝110°，∠B＝20°，∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°，∵∠CEB＝∠A+∠D，∠D＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，故選：B．【變式3-3】（2022春?江陰市期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】設(shè)AE交BC于G，交CD于F，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AFC，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)可求得∠DFE的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠D+∠E即可．【解答】解：如圖，∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，∴∠EFD＝∠AFC＝70°，∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，故選：B．【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】【例4】（2022?沈陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)D，若∠C＝26°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．61° B．64° C．71° D．109°【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DAC＝45°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ADB＝∠DAC+∠C，即可求出∠ADB的度數(shù)．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠DAC＝45°，∵∠C＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝45°+26°＝71°，故選：C．【變式4-1】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點(diǎn)M，若∠M＝35°，則∠CFE＝55°．【分析】由平角的性質(zhì)和角平分線的定義可求∠EAN＝90°，由外角的性質(zhì)可求解．【解答】證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線AE、AN為角平分線，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．故答案為：55°．【變式4-2】（2022春?邗江區(qū)期中）如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：延長DC，與AB交于點(diǎn)E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故選：B．【變式4-3】（2022?武岡市期末）如圖，已知P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分線，CE是∠ACP的角平分線，BD與CE交于點(diǎn)F，則∠BFC等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分線的性質(zhì)可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，∴∠ABP+∠ACP＝110°﹣60°＝50°，∵BD是∠ABP的平分線，CE是∠ACP的平分線，∴∠FBP+∠FCP＝25°，∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+25°＝85°，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣85°＝95°．故選：D．【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】【例5】（2022?赤峰）如圖，點(diǎn)D在BC的延長線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【分析】根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理解答．【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°∴∠AFE＝∠CFD＝55°，∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．故選：B．【變式5-1】（2022春?鄂州校級期中）如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，且交于點(diǎn)O，問：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度數(shù)．【分析】（1）∠4即是△EOB的外角，也是△DOC的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到∠1＝∠2．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠3與∠2的度數(shù)，然后利用外角的性質(zhì)求出∠4．【解答】解：∵∠BEO＝∠CDO＝90°，∴∠4＝∠BEO+∠1＝∠CDO+∠2，∴∠1＝∠2；（2）∵∠3＝180°﹣∠BEC﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∠2＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠4＝∠ODC+∠2＝90°+40°＝130°．【變式5-2】（2022春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點(diǎn)，如果設(shè)∠BAC＝n°，那么用含n的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【分析】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，計(jì)算即可得到∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故選：D．【變式5-3】（2022春?騰沖縣期末）已知：如圖所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度數(shù)．【分析】由三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠A＝60°．又因?yàn)锽E是AC邊上的高，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°．同理，∠ACF＝30度，又因?yàn)椤螧HC是△CEH的一個(gè)外角，所以∠BHC＝120°．【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣54°＝60°．又∵BE是AC邊上的高，所以∠AEB＝90°，∴∠ABE＝180°﹣∠BAC﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°．同理，∠ACF＝30°，∴∠BHC＝∠BEC+∠ACF＝90°+30°＝120°．【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】【例6】（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經(jīng)過點(diǎn)D，則∠EDB＝75°．【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求解∠ABC的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)可求解∠BDF的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，∵∠EDF＝90°，∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，故答案為75．【變式6-1】（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可知：∠α＝30°+45°＝75°，故選：B．【變式6-2】（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【分析】根據(jù)三角板上角的度數(shù)的特點(diǎn)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答．【解答】解：如圖，由題意得：∠ABG＝90°，∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°，∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故選：A．【變式6-3】（2022?安徽二模）一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】延長BE交AC于D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：延長BE交AC于D，∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠2+∠CDE＝∠BEC＝90°，同理：∠1+∠A＝∠CDE，∴∠2+∠1+∠A＝90°，∴∠1+∠2＝45°，故選：B．【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】【例7】（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，則∠1＝（）A．100° B．110° C．125° D．135°【分析】依據(jù)∠1＝55°+45°，即可得到∠1的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠1＝55°+45°＝100°．故選：A．【變式7-1】（2022春?東西湖區(qū)校級月考）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【分析】本題考查三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)得知，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以計(jì)算出α+β﹣γ的值為180°．【解答】解：由題可知α＝180°﹣β+γ，所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°，即α+β﹣γ＝180°．故選B．【變式7-2】（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差關(guān)系求解．【解答】解：如圖所示，∵直線a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故選：B．【變式7-3】（2022?細(xì)河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD＝130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠F＝∠CEB＝25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】【例8】（2022?東城區(qū)校級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故選：A．【變式8-1】（2022?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】如圖，延長BE、CD并交于點(diǎn)F，連接AF．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠ADC+∠AFD，得∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠ADC+∠AFD，即∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：如圖，延長BE、CD并交于點(diǎn)F，連接AF．由題可知：∠EAD＝∠EFD．∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠DAF+∠AFD，∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠DAF+∠AFD．∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．∴∠1+∠2＝2∠EAD．故選：B．【變式8-2】（2022春?宜興市校級期末）如圖，將△ABC的∠C折疊，使C點(diǎn)在AC邊上，折痕為DE，則（）A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和以及折疊重合的兩個(gè)角相等，得B正確．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：CD＝C′D，DE⊥AC．∵CD＝C′D，∴∠DCE＝∠C′，又∵∠BDC＝∠DCE+∠C′＝2∠DCE．故選：B．【變式8-3】（2022春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′落在CD邊上時(shí)，∠DAE與∠1之間的數(shù)量關(guān)系為③（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由題意得：∠DAE＝∠DA′E，可推斷出∠1＝2∠DAE．（2）如圖2，連接AA′．由三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由題意知：∠EAD＝∠EA′D，進(jìn)而推斷出∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：（1）由題意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案為：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如圖2，連接AA′．由題意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】【例9】（2022春?茌平區(qū)期末）．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，是與平分線的交點(diǎn)，是的兩外角平分線的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由角平分線得，由，求得．【解答】解：由題意得：，分別平分，，，，，，，且是的外角，．故選：．【變式9-1】（2022?中原區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝30°．【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案為：30°．【變式9-2】（2022?郟縣期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【分析】依據(jù)角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故選：C．【變式9-3】（2022春?江都區(qū)月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，根據(jù)角平分線的定義得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB＝55°，再在△BPC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，根據(jù)角平分線的定義得出∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）根據(jù)角平分線的定義得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ＝90°，分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點(diǎn)Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，綜合上述，∠A的度數(shù)是45°或60°或120°或135°．【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】【例10】（2022春?靖江市月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如圖2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O1，O2，則∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根據(jù)以上閱讀理解，你能猜想（n等分時(shí)，內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)）（用n的代數(shù)式表示）∠BOn﹣1C＝（）A．×180°+∠A B．×180°+∠A C．×180°+∠A D．×180°+∠A【分析】本題可分別將n＝1，2，3…的情況列出來，分別解出∠BOC的度數(shù)，再進(jìn)行總結(jié)歸納即可．【解答】解：n＝1時(shí)，∠BOn﹣1C＝180°﹣∠A；n＝2時(shí)，∠BOn﹣1C＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°