人教版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三17.2勾股定理的應(yīng)用【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題17.2勾股定理的應(yīng)用【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1勾股定理之大樹折斷模型】 1【題型2勾股定理之風(fēng)吹荷花模型】 3【題型3勾股定理之螞蟻行程模型】 4【題型4勾股定理之方向角問題】 5【題型5勾股定理之梯子問題】 7【題型6勾股定理之范圍影響問題】 9【題型7勾股定理之選址使到兩地距離相等】 13【題型8勾股定理應(yīng)用之其他問題】 14【題型1勾股定理之大樹折斷模型】【例1】（2022春?上杭縣期中）為了美化環(huán)境，凈化城市的天空，某市要將建在西里（城中村）的一座高50m的煙囪拆除，由于煙囪附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若煙囪折斷時，頂端下來正好砸在距煙囪底部10m的地方最安全，那么按以上要求該煙囪應(yīng)從底部向上米處折斷．【變式1-1】（2022春?高安市月考）如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強臺風(fēng)中于離地面6米B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【變式1-2】（2022春?乾安縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【變式1-3】（2022春?赤壁市期中）由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離為12米，求這棵樹原來的高度．【題型2勾股定理之\o"勾股定理之風(fēng)吹荷花模型"風(fēng)吹荷花模型】【例2】（2022春?鄒城市校級月考）如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面的部分BC為1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敹伺c岸齊，則蘆葦高度是尺．【變式2-1】（2022春?乾安縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【變式2-2】（2022?晉州市期末）如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．（1）開始時，船距岸A的距離是m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動m．【變式2-3】（2022?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【題型3勾股定理之\o"勾股定理之螞蟻行程模型"螞蟻行程模型】【例3】（2022春?璧山區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【變式3-1】如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？【變式3-2】如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為6π，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為【變式3-3】（2022春?東湖區(qū)校級期中）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A．（3+13）cm B．97cm C．85cm D．109cm【題型4勾股定理之方向角問題】【例4】（2022?未央?yún)^(qū)校級期中）如圖，在燈塔O的東北方向8海里處有一輪船A，在燈塔的東南方向6海里處有一漁船B，則AB間的距離為（）A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里【變式4-1】（2022春?白水縣期末）如圖，兩艘海艦在海上進(jìn)行為時2小時的軍事演習(xí)，一海艦以120海里/時的速度從港口A出發(fā)，向北偏東60°方向航行到達(dá)B，另一海艦以90海里/時的速度同時從港口A出發(fā)，向南偏東30°方向航行到達(dá)C，則此時兩艘海艦相距多少海里？【變式4-2】（2022春?合肥期末）某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行15海里到達(dá)B島，然后沿某方向航行20海里到達(dá)C島，最后沿某個方向航行了25海里回到港口A，判斷此時△ABC的形狀，該船從B島出發(fā)到C是沿哪個方向航行的，請說明理由．【變式4-3】（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，某港口O位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．（1）若它們離開港口一個半小時后分別位于A、B處，且相距30海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？說明理由．（2）若“遠(yuǎn)航”號沿北偏東60°方向航行，經(jīng)過兩個小時后位于F處，此時船上有一名乘客需要緊急回到PE海岸線上，若他從F處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時80海里．他能在半小時內(nèi)回到海岸線嗎？說明理由．【題型5勾股定理之梯子問題】【例5】（2022春?淮南期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為米．???????【變式5-1】（2022?花溪區(qū)校級期末）一個長度為5米的梯子的底端距離墻腳2米，這個梯子的頂端能達(dá)到4.5米的墻頭嗎？【變式5-2】（2022?廣南縣校級期中）某同學(xué)不小心把衣服從教學(xué)樓4樓掉落在離地面高為2.3米的樹上．其中一位同學(xué)趕快搬來一架長為2.5米的梯子，架在樹干上，梯子底端離樹干1.5米遠(yuǎn)，另一位同學(xué)爬上梯子去拿衣服．問這位同學(xué)能拿到衣服嗎？如果再把梯子底端向樹干靠近0.8米，問此時這位同學(xué)能拿到衣服嗎？【變式5-3】（2022?泉港區(qū)期末）一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【題型6勾股定理之范圍影響問題】【例6】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，有一臺環(huán)衛(wèi)車沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學(xué)校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有多少分鐘？【變式6-1】（2022春?孝南區(qū)月考）如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離O點80米處有一所學(xué)校A，當(dāng)重型運輸卡車P沿道路ON的方向行駛時，以P為圓心，50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大，若重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為5米/秒．（1）求卡車P對學(xué)校A的噪聲影響最大時，卡車P與學(xué)校A的距離；（2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次，它給學(xué)校A帶來噪聲影響的總時間．【變式6-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期中）如圖所示，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【變式6-3】（2022春?綦江區(qū)期末）今年第6號臺風(fēng)“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)中心的移動速度為28千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【題型7勾股定理之選址使到兩地距離相等】【例7】（2022春?啟東市期中）如圖，在筆直的高速路旁邊有A、B兩個村莊，A村莊到公路的距離AC＝8km，B村莊到公路的距離BD＝14km，測得C、D兩點的距離為20km，現(xiàn)要在CD之間建一個服務(wù)區(qū)E，使得A、B兩村莊到E服務(wù)區(qū)的距離相等，求CE的長．【變式7-1】（2022?市北區(qū)期末）如圖，某學(xué)校（A點）到公路（直線l）的距離為300米，到公交車站（D點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路邊上建一個商店（C點），使之到學(xué)校A及到車站D的距離相等，則商店C與車站D之間的距離是米．【變式7-2】（2022?牡丹區(qū)期末）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米．【變式7-3】（2022?和平區(qū)三模）如圖，某校A距離筆直的公路l為3km，與該公路上某車站D的距離為5km，現(xiàn)要在公路旁建一個小商店C，使之與學(xué)校A及車站D的距離相等，則BC＝．【題型8勾股定理應(yīng)用之其他問題】【例8】（2022?龍崗區(qū)校級月考）如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是以AB為直徑的半圓，下方是長方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高2.5米，寬1.6米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？請說出你的理由．【變式8-1】（2022?洛寧縣期末）為整治城市街道的汽車超速現(xiàn)象，交警大隊在某街道旁進(jìn)行了流動測速．如圖，一輛小汽車在某城市街道上直行，某一時刻剛好行駛到離車速檢測儀A60m的C處，過了4s后，小汽車到達(dá)離車速檢測儀A100m的B處，已知該段城市街道的限速為60km/h，請問這輛小汽車是否超速？【變式8-2】（2022春?合肥期中）如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們設(shè)計的機器人，在平坦的操場上進(jìn)行走展示．輸入指令后，機器人從出發(fā)點A先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米到達(dá)終止點B．求終止點B與原出發(fā)點A的距離AB．【變式8-3】（2022?廣陵區(qū)二模）如圖①，老舊電視機屏幕的長寬比為4：3，但是多數(shù)電影圖象的長寬比為2.4：1，故在播放電影時電視機屏幕的上方和下方會有兩條等寬的黑色帶子．（1）若圖①中電視機屏幕為20寸（即屏幕對角線長度）：①該屏幕的長＝16寸，寬＝12寸；②已知“屏幕浪費比=黑色帶子的總面積（2）為了兼顧電影的收視需求，一種新的屏幕的長寬比誕生了．如圖②，這種屏幕（矩形ABCD）恰好包含面積相等且長寬比分別為4：3的屏幕（矩形EFGH）與2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求這種屏幕的長寬比．（參考數(shù)據(jù)：5≈專題17.2勾股定理的應(yīng)用【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1勾股定理之大樹折斷模型】 1【題型2勾股定理之風(fēng)吹荷花模型】 3【題型3勾股定理之螞蟻行程模型】 5【題型4勾股定理之方向角問題】 8【題型5勾股定理之梯子問題】 12【題型6勾股定理之范圍影響問題】 14【題型7勾股定理之選址使到兩地距離相等】 19【題型8勾股定理應(yīng)用之其他問題】 22【題型1勾股定理之大樹折斷模型】【例1】（2022春?上杭縣期中）為了美化環(huán)境，凈化城市的天空，某市要將建在西里（城中村）的一座高50m的煙囪拆除，由于煙囪附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若煙囪折斷時，頂端下來正好砸在距煙囪底部10m的地方最安全，那么按以上要求該煙囪應(yīng)從底部向上24米處折斷．【分析】根據(jù)題意設(shè)出從底部向上x米處折斷，則由題意可知另外兩邊分別為50﹣x，10．利用勾股定理列出方程進(jìn)行求解．【解答】解：設(shè)從底部向上x米處折斷，則另外兩邊分別為50﹣x，10故102+x2＝（50﹣x）2解得x＝24（米）故煙囪應(yīng)從底部向上24米處折斷．故答案為24．【變式1-1】（2022春?高安市月考）如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強臺風(fēng)中于離地面6米B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【分析】先根據(jù)勾股定理求出大樹折斷部分的高度，再根據(jù)大樹的高度等于折斷部分的長與未斷部分的和即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=AB2∴大樹的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故選：D．【變式1-2】（2022春?乾安縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【分析】設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，設(shè)秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：繩索AD的長度是8.5m．【變式1-3】（2022春?赤壁市期中）由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離為12米，求這棵樹原來的高度．【分析】首先構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而求出BD的長，進(jìn)而求出AC的長，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：延長AB，過點C作CD⊥AB延長線于點D，由題意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD=132即AD＝9m，則AC=AD2故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：這棵樹原來的高度是19米．【題型2勾股定理之\o"勾股定理之風(fēng)吹荷花模型"風(fēng)吹荷花模型】【例2】（2022春?鄒城市校級月考）如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面的部分BC為1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敹伺c岸齊，則蘆葦高度是13尺．【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，可知邊長為10尺的正方形，則B'C＝5尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【解答】解：設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，因為邊長為10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即蘆葦長13尺．故答案是：13．【變式2-1】（2022春?乾安縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【分析】設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，設(shè)秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：繩索AD的長度是8.5m．【變式2-2】（2022?晉州市期末）如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．（1）開始時，船距岸A的距離是12m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動（12?39）m【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長；（2）根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=132故答案為：12；（2）∵淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，∴CD＝8（m），∴AD=CD2∴BD＝AB﹣AD＝（12?39）m故答案為：（12?39【變式2-3】（2022?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長度．然后求其差．【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC=AB2所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm～6cm之間．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．【題型3勾股定理之\o"勾股定理之螞蟻行程模型"螞蟻行程模型】【例3】（2022春?璧山區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方體，再然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為10cm，則AD＝10×12=又因為CD＝AB＝12cm，所以AC=122故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是13cm．故選：B．【變式3-1】如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：將臺階展開，如下圖，因為AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．答：螞蟻爬行的最短線路為13cm．【變式3-2】如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為6π，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為13【分析】將圓柱側(cè)面展開得到一個矩形，根據(jù)兩點之間線段最短，求出對角線長即可．【解答】解：因為圓柱底面圓的周長為2π×6所以將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為52故螞蟻爬行的最短距離為13．【變式3-3】（2022春?東湖區(qū)校級期中）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A．（3+13）cm B．97cm C．85cm D．109cm【分析】把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計算．【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是9和4，則所走的最短線段是42第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是7和6，所以走的最短線段是72第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10和3，所以走的最短線段是32三種情況比較而言，第二種情況最短．故選：C．【題型4勾股定理之方向角問題】【例4】（2022?未央?yún)^(qū)校級期中）如圖，在燈塔O的東北方向8海里處有一輪船A，在燈塔的東南方向6海里處有一漁船B，則AB間的距離為（）A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【解答】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB=O故選：B．【變式4-1】（2022春?白水縣期末）如圖，兩艘海艦在海上進(jìn)行為時2小時的軍事演習(xí)，一海艦以120海里/時的速度從港口A出發(fā)，向北偏東60°方向航行到達(dá)B，另一海艦以90海里/時的速度同時從港口A出發(fā)，向南偏東30°方向航行到達(dá)C，則此時兩艘海艦相距多少海里？【分析】根據(jù)題意可得∠BAC＝90°，分別求出2小時兩輛海艦走過的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得兩艘海艦的距離BC的長度．【解答】解：由題意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC=A答：此時兩艘海艦相距300海里．【變式4-2】（2022春?合肥期末）某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行15海里到達(dá)B島，然后沿某方向航行20海里到達(dá)C島，最后沿某個方向航行了25海里回到港口A，判斷此時△ABC的形狀，該船從B島出發(fā)到C是沿哪個方向航行的，請說明理由．【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性質(zhì)可求解∠CBD＝32°，進(jìn)而可求解．【解答】解：該船從B島出發(fā)到C是沿西偏南32°方向航行的．理由：由題意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，∵152+202＝252，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，由題意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，故該船從B島出發(fā)到C是沿西偏南32°方向航行的．【變式4-3】（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，某港口O位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．（1）若它們離開港口一個半小時后分別位于A、B處，且相距30海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？說明理由．（2）若“遠(yuǎn)航”號沿北偏東60°方向航行，經(jīng)過兩個小時后位于F處，此時船上有一名乘客需要緊急回到PE海岸線上，若他從F處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時80海里．他能在半小時內(nèi)回到海岸線嗎？說明理由．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，進(jìn)而解答即可；（2）過點A作AD⊥PE于D，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，∴∠AON＝45°，∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，∴“海天”號沿西北方向航行；（2）過點F作FD⊥PE于D，OF＝16×2＝32，∵∠NOF＝60°，∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，∴FD=1∴16÷80＝0.2（小時），∵0.2＜0.5，∴能在半小時內(nèi)回到海岸線．【題型5勾股定理之梯子問題】【例5】（2022春?淮南期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為2.2米．???????【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB＞0，∴AB＝2.5（米），在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，∴BD2+A′D2＝A′B2，即BD2+22＝2.52（米2），∵BD＞0，∴BD＝1.5（米），∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案為：2.2．【變式5-1】（2022?花溪區(qū)校級期末）一個長度為5米的梯子的底端距離墻腳2米，這個梯子的頂端能達(dá)到4.5米的墻頭嗎？【分析】根據(jù)勾股定理，求出梯子頂端到地面的垂直高度（距離），再和墻的高度作比較．【解答】解：梯子頂端到地面的垂直距離為：52因為21＞所以這個梯子的頂端能達(dá)到4.5米的墻頭．【變式5-2】（2022?廣南縣校級期中）某同學(xué)不小心把衣服從教學(xué)樓4樓掉落在離地面高為2.3米的樹上．其中一位同學(xué)趕快搬來一架長為2.5米的梯子，架在樹干上，梯子底端離樹干1.5米遠(yuǎn)，另一位同學(xué)爬上梯子去拿衣服．問這位同學(xué)能拿到衣服嗎？如果再把梯子底端向樹干靠近0.8米，問此時這位同學(xué)能拿到衣服嗎？【分析】根據(jù)梯子的長和距離樹干的距離求出樹干的高度和2.3米比較即可得到答案．【解答】解：由題意得，梯子頂端距離地面的距離為：2．52米＜2.3米，故這位同學(xué)不能拿到衣服；1.5﹣0.8＝0.7（米），2．52.3米＜2.4米，故如果再把梯子底端向樹干靠近0.8米，此時這位同學(xué)能拿到衣服．【變式5-3】（2022?泉港區(qū)期末）一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距離墻的距離為7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：梯子距離地面的高度為：25（2）梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根據(jù)勾股定理得：25=2解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑動了8米．【題型6勾股定理之范圍影響問題】【例6】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，有一臺環(huán)衛(wèi)車沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學(xué)校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有多少分鐘？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間．【解答】解：（1）學(xué)校C會受噪聲影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=∵環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學(xué)校C會受噪聲影響．（2）當(dāng)EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時，正好影響C學(xué)校，∵ED=EC2∴EF＝100（m），∵環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2分鐘．【變式6-1】（2022春?孝南區(qū)月考）如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離O點80米處有一所學(xué)校A，當(dāng)重型運輸卡車P沿道路ON的方向行駛時，以P為圓心，50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大，若重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為5米/秒．（1）求卡車P對學(xué)校A的噪聲影響最大時，卡車P與學(xué)校A的距離；（2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次，它給學(xué)校A帶來噪聲影響的總時間．【分析】（1）過點A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案；（2）當(dāng)AC＝AN＝50米時，則卡車在CD段對學(xué)校A有影響，利用勾股定理求出CH的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD的長，從而求出時間．【解答】解：（1）過點A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12∴卡車P對學(xué)校A的噪聲影響最大時，卡車P與學(xué)校A的距離為40米；（2）當(dāng)AC＝AN＝50米時，則卡車在CD段對學(xué)校A有影響，由（1）知AH＝40米，∴CH=A∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡車P沿道路ON方向行駛一次，它給學(xué)校A帶來噪聲影響的總時間為12秒．【變式6-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期中）如圖所示，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【分析】根據(jù)題意得出∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB=B答：甲、乙兩漁船相距15海里，故選：D．【變式6-3】（2022春?綦江區(qū)期末）今年第6號臺風(fēng)“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)中心的移動速度為28千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)；（2）利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響，理由：過點C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺風(fēng)影響；（3）當(dāng)EC＝260km，F(xiàn)C＝260km時，正好影響C港口，∵ED=EC2∴EF＝2ED＝200km，∵臺風(fēng)的速度為28千米/小時，∴200÷28=50答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為507【題型7勾股定理之選址使到兩地距離相等】【例7】（2022春?啟東市期中）如圖，在筆直的高速路旁邊有A、B兩個村莊，A村莊到公路的距離AC＝8km，B村莊到公路的距離BD＝14km，測得C、D兩點的距離為20km，現(xiàn)要在CD之間建一個服務(wù)區(qū)E，使得A、B兩村莊到E服務(wù)區(qū)的距離相等，求CE的長．【分析】根據(jù)題意設(shè)出E點坐標(biāo)，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)CE＝x，則DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由題意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E應(yīng)建在距C點13.3km，即CE＝13.3km．【變式7-1】（2022?市北區(qū)期末）如圖，某學(xué)校（A點）到公路（直線l）的距離為300米，到公交車站（D點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路邊上建一個商店（C點），使之到學(xué)校A及到車站D的距離相等，則商店C與車站D之間的距離是312.5米．【分析】過點A作AB⊥l于B，根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：過點A作AB⊥l于B，則AB＝300m，AD＝500m．∴BD=AD2設(shè)CD＝xm，則CB＝（400﹣x）m，根據(jù)勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店與車站之間的距離為312.5米，故答案為：312.5．【變式7-2】（2022?牡丹區(qū)期末）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高7.5米．【分析】首先設(shè)樹的高度為x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出樹的高度．【解答】解：設(shè)樹的高度為x米．∵兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案為：7.5．【變式7-3】（2022?和平區(qū)三模）如圖，某校A距離筆直的公路l為3km，與該公路上某車站D的距離為5km，現(xiàn)要在公路旁建一個小商店C，使之與學(xué)校A及車站D的距離相等，則BC＝78km【分析】根據(jù)題意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的長易求BD，設(shè)CD＝x米，則AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中運用勾股定理得關(guān)系式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．在直角三角形ABD中，∵AB＝3km，AD＝5km，∴BD=52設(shè)CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即x2＝32+（4﹣x）2，解得：x=25∴BC＝BD﹣CD＝4?258故答案為：78km【