6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義第六章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的概念.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)值.3.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線“在某點(diǎn)”和“過(guò)某點(diǎn)”的切線方程.5.提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)的概念1.已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x=h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求該物體在以2和2+Δt為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的平均速度,并分別計(jì)算當(dāng)Δt=±0.01,±0.001,±0.0001,±0.00001,±0.000001時(shí)平均速度的大小.2.觀察問(wèn)題1中的計(jì)算結(jié)果,考慮當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度具有什么樣的變化趨勢(shì)?提示:當(dāng)Δt趨近于0時(shí),無(wú)論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2,平均速度都趨近于一個(gè)確定的值-13.1.3.從物理的角度看,當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|無(wú)限變小時(shí),平均速度無(wú)限趨近于哪個(gè)量?提示:平均速度無(wú)限趨近于瞬時(shí)速度.5.若f(x)=x2-3x,則f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0答案:C二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.如圖,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,f(x)),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,f(x0)),直線PT為曲線在點(diǎn)P處的切線.(1)割線PQ的斜率k是多少?(2)當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí),割線PQ的斜率k與切線PT的斜率kPT有什么關(guān)系?提示:k無(wú)限趨近于kPT.2.如果將函數(shù)y=f(x)的圖象看成曲線(稱為曲線y=f(x)),而且曲線在點(diǎn)A(x0,f(x0))處的切線為l,則Δx很小時(shí),B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一點(diǎn),割線AB的斜率是,則當(dāng)Δx無(wú)限接近于0時(shí),割線的斜率將無(wú)限趨近于切線l的

斜率

.這就是說(shuō),f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率,從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知,切線的方程是

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則f'(xA)與f'(xB)的大小關(guān)系是(

)A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB) D.不能確定解析:由題圖易知,點(diǎn)A,B處的切線的斜率kA,kB滿足kA<kB<0.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知f'(xA)<f'(xB).答案:B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)與x0和Δx都有關(guān).(×)(2)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(×)(3)若f'(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線不存在.(×)(4)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(√)合作探究釋疑解惑探究一求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【例1】

已知f(x)=x2+3.(1)求f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù);(2)求f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)值的改變量Δf=f(x0+Δx)-f(x0).反思感悟【變式訓(xùn)練1】

求函數(shù)f(x)=3x2+ax+b在x=1處的導(dǎo)數(shù).解:當(dāng)自變量在x=1處的改變量為Δx時(shí),∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,探究二瞬時(shí)速度【例2】

以初速度v0(v0>0)垂直向上拋的物體,在t時(shí)刻的高度為,求該物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.延伸探究若把例2中的“v0”改為“v0=20”,求該物體在t=3時(shí)刻的瞬時(shí)速度.求物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即求函數(shù)s(t)在t=t0處的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.反思感悟答案:D探究三導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程的求法(1)當(dāng)斜率存在,即函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)時(shí),求函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),從而得到切線斜率k=f'(x0),對(duì)應(yīng)的切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)當(dāng)斜率不存在時(shí),對(duì)應(yīng)的切線方程為x=x0.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

曲線y=x2+x+1在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為

.

∴所求切線方程為y-3=3(x-1),即3x-y=0.答案:3x-y=0【易錯(cuò)辨析】

因考慮不全而致誤【典例】

求過(guò)曲線y=f(x)=x3上的點(diǎn)(1,1)的切線方程.錯(cuò)解:因?yàn)棣=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,所以所求切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程時(shí),該點(diǎn)不一定是切點(diǎn),錯(cuò)解只考慮了該點(diǎn)是切點(diǎn)的情況,導(dǎo)致漏解.1.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程時(shí),該點(diǎn)就是切點(diǎn),因此可直接求出切線斜率,寫出切線方程.2.求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程時(shí),要注意該點(diǎn)不一定是切點(diǎn).因此,在解題時(shí)要先設(shè)出切點(diǎn),再求出切線斜率,根據(jù)切點(diǎn)與斜率寫出切線方程,最后將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入.在解題過(guò)程中不必考慮該點(diǎn)是否為切點(diǎn).防范措施【變式訓(xùn)練】

已知曲線C:f(x)=2x2+1,求過(guò)點(diǎn)P(0,0),且與曲線C相切的直線l的方程.隨堂練習(xí)1.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y+2=0,則f'(1)=(

)A.4