強度計算.結(jié)構(gòu)分析：振動分析：有限元方法

強度計算.結(jié)構(gòu)分析：振動分析：有限元方法1緒論1.1有限元方法簡介有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值計算技術(shù)，廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，特別是結(jié)構(gòu)工程、流體力學、熱傳導(dǎo)和電磁學等，用于求解復(fù)雜的物理系統(tǒng)。FEM的基本思想是將連續(xù)的物理域離散化為有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示，通過在這些節(jié)點上求解近似方程，來獲得整個物理域的解。1.1.1原理有限元方法基于變分原理和加權(quán)殘值法。它將結(jié)構(gòu)的連續(xù)體分解為多個小的、簡單的、相互連接的單元，每個單元的解可以用單元內(nèi)部的節(jié)點位移來表示。通過在每個單元上應(yīng)用局部的平衡方程，然后將所有單元的方程組合起來，形成一個全局的線性方程組，最后求解這個方程組來得到整個結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。1.1.2內(nèi)容離散化：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分解為有限數(shù)量的單元。單元分析：在每個單元上建立力學模型，如彈性方程。全局方程組：將所有單元的局部方程組合成一個全局方程組。求解：使用數(shù)值方法求解全局方程組，如直接求解法或迭代法。1.2振動分析在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用振動分析是結(jié)構(gòu)工程中的一個重要分支，它研究結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下的響應(yīng)。在設(shè)計橋梁、建筑物、飛機和汽車等結(jié)構(gòu)時，振動分析是確保結(jié)構(gòu)安全性和性能的關(guān)鍵步驟。1.2.1原理振動分析通常包括模態(tài)分析和瞬態(tài)分析。模態(tài)分析用于確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)形狀，而瞬態(tài)分析則用于研究結(jié)構(gòu)在特定動態(tài)載荷下的響應(yīng)。1.2.2內(nèi)容模態(tài)分析：計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)形狀。瞬態(tài)分析：研究結(jié)構(gòu)在時間變化載荷下的響應(yīng)。諧響應(yīng)分析：分析結(jié)構(gòu)在周期性載荷下的響應(yīng)。1.3強度計算的基本概念強度計算是結(jié)構(gòu)工程中的基礎(chǔ)，它涉及到結(jié)構(gòu)在各種載荷作用下抵抗破壞的能力。通過強度計算，工程師可以確保結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。1.3.1原理強度計算基于材料力學和結(jié)構(gòu)力學的基本原理，包括應(yīng)力、應(yīng)變和材料的強度特性。通過分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下的應(yīng)力分布，可以判斷結(jié)構(gòu)是否滿足設(shè)計要求。1.3.2內(nèi)容應(yīng)力和應(yīng)變：定義和計算方法。材料強度：材料的屈服強度和極限強度。安全系數(shù)：確保結(jié)構(gòu)安全的計算方法。1.3.3示例代碼以下是一個使用Python進行簡單梁的強度計算的例子，計算梁在集中載荷作用下的最大應(yīng)力。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義材料屬性和梁的幾何參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=1e-4#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長度，單位：m

P=1000#集中載荷，單位：N

#計算梁的最大應(yīng)力

x=L/2#載荷作用點

y_max=P*L**2/(4*E*I)#最大撓度

sigma_max=P*L/(2*I)#最大應(yīng)力

#輸出結(jié)果

print(f"梁的最大應(yīng)力為：{sigma_max}Pa")1.3.4解釋在這個例子中，我們使用了材料力學中的公式來計算梁在集中載荷作用下的最大應(yīng)力。E是材料的彈性模量，I是梁的慣性矩，L是梁的長度，P是作用在梁上的集中載荷。通過計算，我們可以得到梁在載荷作用下的最大應(yīng)力，從而判斷梁是否滿足強度要求。以上內(nèi)容涵蓋了“強度計算.結(jié)構(gòu)分析：振動分析：有限元方法”的緒論部分，包括有限元方法的基本介紹、振動分析在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用，以及強度計算的基本概念。通過這些理論知識和示例代碼，讀者可以對這些主題有更深入的理解。2有限元方法基礎(chǔ)2.1節(jié)點與單元在有限元分析中，結(jié)構(gòu)被離散化為一系列小的、可管理的單元，這些單元通過節(jié)點連接。節(jié)點是結(jié)構(gòu)中的特定點，單元則是連接這些節(jié)點的幾何體，可以是線、面或體。這種離散化過程允許我們使用數(shù)值方法來解決復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題。2.1.1節(jié)點節(jié)點是有限元模型中的基本點，它們定義了單元的位置和形狀。在每個節(jié)點上，我們可以定義位移、力、溫度等邊界條件。節(jié)點之間的連接關(guān)系決定了單元的類型，如梁單元、殼單元或?qū)嶓w單元。2.1.2單元單元是有限元模型中的基本構(gòu)建塊，它們可以是線性的或非線性的，可以是二維的或三維的。每個單元都有自己的屬性，如材料屬性、幾何形狀和邊界條件。單元的類型決定了其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用，例如，梁單元適用于分析長細比大的結(jié)構(gòu)，而實體單元則適用于分析三維實體結(jié)構(gòu)。2.2剛度矩陣與載荷向量2.2.1剛度矩陣剛度矩陣是有限元分析中的核心概念，它描述了結(jié)構(gòu)在給定載荷下的響應(yīng)。剛度矩陣是一個方陣，其元素表示節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關(guān)系。對于線性彈性問題，剛度矩陣是常數(shù)，而對于非線性問題，剛度矩陣可能需要在每一步迭代中更新。示例代碼假設(shè)我們有一個簡單的梁單元，使用Python和NumPy庫來構(gòu)建其剛度矩陣：importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05#慣性矩，單位：m^4

#單元長度

L=1.0#單元長度，單位：m

#計算梁單元的剛度矩陣

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])2.2.2載荷向量載荷向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的所有外力和力矩。在有限元分析中，載荷向量被轉(zhuǎn)換為節(jié)點上的力，這樣就可以與剛度矩陣一起使用，求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。示例代碼繼續(xù)使用上述梁單元的例子，我們來定義一個載荷向量，假設(shè)在梁的末端施加了一個垂直向下的力：#載荷向量

F=np.array([0,-1000,0,0])#單位：N2.3有限元方程的求解有限元分析的核心是求解一組線性方程，通常表示為：K其中，K是剛度矩陣，U是節(jié)點位移向量，F(xiàn)是載荷向量。求解這個方程可以得到結(jié)構(gòu)在給定載荷下的位移響應(yīng)。2.3.1示例代碼使用Python和NumPy庫來求解上述梁單元的位移向量：#求解位移向量

U=np.linalg.solve(k,F)

print("節(jié)點位移向量：",U)在實際應(yīng)用中，剛度矩陣和載荷向量可能非常大，因此通常使用更高效的求解器，如稀疏矩陣求解器或迭代求解器，來處理大規(guī)模的有限元模型。通過上述內(nèi)容，我們了解了有限元方法的基礎(chǔ)概念，包括節(jié)點與單元的定義，剛度矩陣和載荷向量的構(gòu)建，以及如何求解有限元方程來獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這些原理是進行結(jié)構(gòu)分析和振動分析的基礎(chǔ)，通過有限元方法，我們可以精確地預(yù)測結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的行為。3振動理論3.1自由振動與固有頻率自由振動是指當結(jié)構(gòu)受到初始擾動后，在沒有外部激勵的情況下，結(jié)構(gòu)自身振動的現(xiàn)象。固有頻率是結(jié)構(gòu)自由振動時的頻率，它由結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量決定，是結(jié)構(gòu)的固有屬性。3.1.1原理考慮一個單自由度系統(tǒng)，其動力學方程可以表示為：m其中，m是質(zhì)量，k是剛度，x是位移的二階導(dǎo)數(shù)，即加速度。解這個方程，可以得到固有頻率ωnω3.1.2內(nèi)容對于多自由度系統(tǒng)，固有頻率和振型的求解通常需要使用矩陣方法。假設(shè)一個系統(tǒng)有n個自由度，其動力學方程可以表示為：M其中，M是質(zhì)量矩陣，K是剛度矩陣，{X}和{3.1.3示例假設(shè)我們有一個兩自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣如下：M其中，m1=10kg,m2=5kg,k1=importnumpyasnp

#定義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣

M=np.array([[10,0],[0,5]])

K=np.array([[1500,-500],[-500,500]])

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(M)@K)

#計算固有頻率

omega_n=np.sqrt(eigenvalues)

#輸出固有頻率和振型

print("固有頻率:",omega_n)

print("振型:",eigenvectors)3.2強迫振動與響應(yīng)分析強迫振動是指當結(jié)構(gòu)受到外部激勵時的振動現(xiàn)象。響應(yīng)分析是研究結(jié)構(gòu)在外部激勵下的動態(tài)響應(yīng)，包括位移、速度、加速度等。3.2.1原理對于單自由度系統(tǒng)，其動力學方程可以表示為：m其中，c是阻尼系數(shù)，F(xiàn)t3.2.2內(nèi)容對于多自由度系統(tǒng)，響應(yīng)分析通常需要使用模態(tài)分析或直接積分法。模態(tài)分析是將多自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個單自由度系統(tǒng)，然后分別求解每個系統(tǒng)的響應(yīng)，最后疊加得到整個系統(tǒng)的響應(yīng)。直接積分法是直接求解動力學方程，通常使用數(shù)值積分方法，如Newmark法或Wilson-θ法。3.2.3示例假設(shè)我們有一個單自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量、阻尼和剛度分別為m=1kg,c=0.1Ns/m,k=100fromegrateimportodeint

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義動力學方程

defdynamics(y,t,m,c,k,F):

x,v=y

a=(F(t)-c*v-k*x)/m

returnv,a

#定義外部激勵力

defF(t):

return10*np.sin(10*t)

#初始條件

y0=[0,0]

#時間向量

t=np.linspace(0,10,1000)

#求解響應(yīng)

sol=odeint(dynamics,y0,t,args=(1,0.1,100,F))

#繪制位移響應(yīng)

plt.plot(t,sol[:,0])

plt.xlabel('時間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.show()3.3阻尼對振動的影響阻尼是指結(jié)構(gòu)在振動過程中能量的耗散，它對振動的幅度和頻率有重要影響。3.3.1原理阻尼可以通過在動力學方程中添加阻尼項來考慮：m其中，c是阻尼系數(shù)。阻尼系數(shù)的大小決定了振動的衰減程度，當阻尼系數(shù)為零時，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)；當阻尼系數(shù)大于零時，系統(tǒng)為有阻尼系統(tǒng)。3.3.2內(nèi)容阻尼對振動的影響主要體現(xiàn)在兩個方面：一是振動的衰減，二是固有頻率的改變。對于有阻尼系統(tǒng)，其固有頻率會小于無阻尼系統(tǒng)的固有頻率，且振動的幅度會隨時間逐漸衰減。3.3.3示例假設(shè)我們有一個單自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量、剛度分別為m=1kg,k=100N/m，分別考慮無阻尼和有阻尼（cfromegrateimportodeint

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義動力學方程

defdynamics(y,t,m,c,k):

x,v=y

a=(-c*v-k*x)/m

returnv,a

#初始條件

y0=[1,0]

#時間向量

t=np.linspace(0,10,1000)

#無阻尼情況

sol_undamped=odeint(dynamics,y0,t,args=(1,0,100))

#有阻尼情況

sol_damped=odeint(dynamics,y0,t,args=(1,0.1,100))

#繪制位移響應(yīng)

plt.plot(t,sol_undamped[:,0],label='無阻尼')

plt.plot(t,sol_damped[:,0],label='有阻尼')

plt.xlabel('時間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.legend()

plt.show()通過上述代碼，我們可以觀察到有阻尼系統(tǒng)和無阻尼系統(tǒng)的振動特性差異，有阻尼系統(tǒng)的振動幅度會隨時間逐漸衰減。4結(jié)構(gòu)動力學分析4.1模態(tài)分析模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動力學中的一個關(guān)鍵步驟，用于確定結(jié)構(gòu)的固有頻率、阻尼比和模態(tài)形狀。這些信息對于理解結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷下的行為至關(guān)重要。模態(tài)分析基于結(jié)構(gòu)的線性假設(shè)，通過求解特征值問題來獲得模態(tài)參數(shù)。4.1.1原理模態(tài)分析的數(shù)學模型可以表示為：M其中，M是質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，u是位移向量。通過求解特征值問題：K可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率ω和模態(tài)形狀U。4.1.2內(nèi)容模態(tài)分析通常包括以下步驟：建立有限元模型：使用有限元方法對結(jié)構(gòu)進行離散化，得到質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K。求解特征值問題：使用數(shù)值方法求解上述特征值問題，得到固有頻率和模態(tài)形狀。模態(tài)參數(shù)提?。簭那蠼饨Y(jié)果中提取模態(tài)頻率、模態(tài)形狀和阻尼比。模態(tài)驗證：通過實驗或理論方法驗證模態(tài)分析結(jié)果的準確性。4.1.3示例使用Python的scipy庫進行模態(tài)分析：importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

#假設(shè)的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M

K=np.array([[1000,-500],[-500,1000]])

M=np.array([[1,0],[0,1]])

#求解特征值問題

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#計算固有頻率

omega=np.sqrt(eigenvalues)

#輸出結(jié)果

print("固有頻率:",omega)

print("模態(tài)形狀:",eigenvectors)4.2諧波響應(yīng)分析諧波響應(yīng)分析用于評估結(jié)構(gòu)在正弦載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)。它可以幫助工程師了解結(jié)構(gòu)在特定頻率下的振幅和相位。4.2.1原理諧波響應(yīng)分析基于以下方程：M其中，F(xiàn)是載荷幅值，ω是載荷頻率，t是時間。通過求解該方程，可以得到結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)。4.2.2內(nèi)容諧波響應(yīng)分析包括：定義載荷：確定載荷的頻率和幅值。求解響應(yīng)：使用數(shù)值方法求解上述方程，得到結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。結(jié)果分析：分析響應(yīng)的振幅和相位，識別共振頻率。4.2.3示例使用Python進行諧波響應(yīng)分析：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義質(zhì)量、阻尼和剛度

m=1.0

c=0.1

k=10.0

#定義載荷頻率和幅值

omega=2.0

F=1.0

#定義微分方程

defharmonic(t,y):

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=-(c/m)*v-(k/m)*u+(F/m)*np.cos(omega*t)

return[du_dt,dv_dt]

#初始條件

y0=[0,0]

#時間范圍

t_span=(0,10)

#求解微分方程

sol=solve_ivp(harmonic,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#輸出結(jié)果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(sol.t,sol.y[0])

plt.xlabel('時間')

plt.ylabel('位移')

plt.show()4.3瞬態(tài)響應(yīng)分析瞬態(tài)響應(yīng)分析用于預(yù)測結(jié)構(gòu)在非周期性載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)，如沖擊載荷或地震載荷。4.3.1原理瞬態(tài)響應(yīng)分析基于以下方程：M其中，F(xiàn)t4.3.2內(nèi)容瞬態(tài)響應(yīng)分析包括：定義載荷：確定載荷的時間歷程。求解響應(yīng)：使用數(shù)值積分方法求解上述方程，得到結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。結(jié)果分析：分析響應(yīng)的時間歷程，識別最大響應(yīng)和響應(yīng)譜。4.3.3示例使用Python進行瞬態(tài)響應(yīng)分析：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義質(zhì)量、阻尼和剛度

m=1.0

c=0.1

k=10.0

#定義載荷時間歷程

defload(t):

ift<1:

return0

else:

return10*np.exp(-10*(t-1))

#定義微分方程

deftransient(t,y):

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=-(c/m)*v-(k/m)*u+load(t)/m

return[du_dt,dv_dt]

#初始條件

y0=[0,0]

#時間范圍

t_span=(0,5)

#求解微分方程

sol=solve_ivp(transient,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,5,1000))

#輸出結(jié)果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(sol.t,sol.y[0])

plt.xlabel('時間')

plt.ylabel('位移')

plt.show()以上示例展示了如何使用Python進行模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析和瞬態(tài)響應(yīng)分析。通過這些分析，工程師可以更好地理解結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷下的行為，從而優(yōu)化設(shè)計和提高結(jié)構(gòu)的安全性。5有限元軟件應(yīng)用5.1前處理：網(wǎng)格劃分與邊界條件設(shè)置5.1.1網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是有限元分析的第一步，它將結(jié)構(gòu)分解為許多小的、簡單的形狀，稱為單元。這些單元通過節(jié)點連接，形成一個可以進行數(shù)學分析的模型。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響分析的準確性和計算效率。例如，使用Python的FEniCS庫進行網(wǎng)格劃分：fromdolfinimport*

#創(chuàng)建一個矩形域

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

#創(chuàng)建邊界條件

bc=DirichletBC(FunctionSpace(mesh,'CG',1),Constant(0),boundary)

#打印網(wǎng)格信息

print("Meshcreatedwith%dcells"%mesh.num_cells())5.1.2邊界條件設(shè)置邊界條件描述了結(jié)構(gòu)與周圍環(huán)境的相互作用，包括固定、滑動、載荷等。在有限元分析中，正確設(shè)置邊界條件至關(guān)重要，它決定了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。例如，固定一個結(jié)構(gòu)的一端：#定義固定邊界

deffixed_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0)

#創(chuàng)建固定邊界條件

bc=DirichletBC(FunctionSpace(mesh,'CG',1),Constant(0),fixed_boundary)5.2求解設(shè)置：載荷與材料屬性5.2.1載荷設(shè)置載荷可以是力、壓力、溫度變化等，它們作用于結(jié)構(gòu)上，引起變形和應(yīng)力。在有限元分析中，載荷的設(shè)置需要與實際工況相匹配。例如，應(yīng)用一個均勻分布的力：#定義載荷

f=Constant((0,-10))

#創(chuàng)建載荷函數(shù)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'CG',1)

f_load=interpolate(f,V)

#打印載荷函數(shù)

print("Loadfunctioncreated")5.2.2材料屬性材料屬性包括彈性模量、泊松比、密度等，它們決定了結(jié)構(gòu)對載荷的響應(yīng)。在有限元分析中，準確的材料屬性是獲得可靠結(jié)果的關(guān)鍵。例如，定義一個材料的彈性模量和泊松比：#定義材料屬性

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#創(chuàng)建材料屬性函數(shù)

material_properties={'E':E,'nu':nu}

#打印材料屬性

print("Materialpropertiesdefined:E=%f,nu=%f"%(E,nu))5.3后處理：結(jié)果可視化與解釋5.3.1結(jié)果可視化分析完成后，結(jié)果通常需要可視化，以便于理解和解釋。這包括位移、應(yīng)力、應(yīng)變等的分布。使用Python的matplotlib庫可以實現(xiàn)結(jié)果的可視化：importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建結(jié)果可視化

u=Function(FunctionSpace(mesh,'CG',1))

u.vector()[:]=solve(a==L,u).vector()[:]

#繪制位移分布

plot(u)

plt.show()5.3.2結(jié)果解釋可視化結(jié)果后，需要對結(jié)果進行解釋，判斷結(jié)構(gòu)的性能是否滿足設(shè)計要求。例如，檢查最大位移是否在允許范圍內(nèi)：#計算最大位移

max_displacement=u.vector().get_local().max()

#檢查最大位移

ifmax_displacement<0.1:

print("Structureiswithindesignlimits")

else:

print("Structureexceedsdesignlimits")以上示例展示了如何使用Python和FEniCS庫進行有限元分析的前處理、求解設(shè)置和后處理。通過定義網(wǎng)格、邊界條件、載荷和材料屬性，然后求解并可視化結(jié)果，可以對結(jié)構(gòu)的振動特性進行深入分析。6案例研究6.1橋梁結(jié)構(gòu)的振動分析6.1.1原理與內(nèi)容橋梁結(jié)構(gòu)的振動分析是結(jié)構(gòu)工程中的一個重要分支，主要通過有限元方法(FEM)來評估橋梁在各種動態(tài)載荷下的響應(yīng)。動態(tài)載荷包括風、地震、車輛通行等，這些載荷可能引起橋梁的振動，從而影響其安全性和耐久性。有限元方法通過將橋梁結(jié)構(gòu)離散成多個小的單元，每個單元的力學行為可以用簡單的數(shù)學模型描述，進而通過求解整個結(jié)構(gòu)的微分方程來預(yù)測其動態(tài)響應(yīng)。6.1.2示例：橋梁振動分析假設(shè)我們有一個簡化的橋梁模型，由多個梁單元組成。我們將使用Python中的scipy庫來執(zhí)行振動分析。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

#定義橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)

n_nodes=10#節(jié)點數(shù)

n_elements=n_nodes-1#元件數(shù)

L=100#橋梁總長度

E=2.1e11#彈性模量

I=1.5e-5#慣性矩

m=1000#單位長度質(zhì)量

rho=7850#材料密度

#創(chuàng)建剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

K=np.zeros((2*n_nodes,2*n_nodes))

M=np.zeros((2*n_nodes,2*n_nodes))

#填充剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

foriinrange(n_elements):

node1=i

node2=i+1

k_element=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

m_element=(m*L/6)*np.array([[2,1,2,1],

[1,2,1,2],

[2,1,2,1],

[1,2,1,2]])

K[node1*2:node1*2+4,node1*2:node1*2+4]+=k_element

K[node1*2:node1*2+4,node2*2:node2*2+4]+=k_element[0:2,2:4]

K[node2*2:node2*2+4,node1*2:node1*2+4]+=k_element[2:4,0:2]

K[node2*2:node2*2+4,node2*2:node2*2+4]+=k_element[2:4,2:4]

M[node1*2:node1*2+4,node1*2:node1*2+4]+=m_element

M[node1*2:node1*2+4,node2*2:node2*2+4]+=m_element[0:2,2:4]

M[node2*2:node2*2+4,node1*2:node1*2+4]+=m_element[2:4,0:2]

M[node2*2:node2*2+4,node2*2:node2*2+4]+=m_element[2:4,2:4]

#應(yīng)用邊界條件

K=csc_matrix(K)

M=csc_matrix(M)

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

M[0,:]=0

M[:,0]=0

M[0,0]=1

#求解固有頻率和模態(tài)

w,v=eig(K.todense(),M.todense())

#輸出前三個固有頻率

foriinrange(3):

print(f"固有頻率{i+1}:{np.sqrt(w[i])/(2*np.pi)}Hz")此代碼示例展示了如何構(gòu)建橋梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，然后使用scipy.linalg.eig函數(shù)求解固有頻率和模態(tài)。邊界條件被應(yīng)用于第一個節(jié)點，以模擬固定支座。6.2高層建筑的風振響應(yīng)6.2.1原理與內(nèi)容高層建筑的風振響應(yīng)分析是評估建筑物在風載荷作用下的動態(tài)行為。風載荷可以引起建筑物的振動，特別是在高層建筑中，這種振動可能對居住者造成不適，甚至在極端情況下威脅結(jié)構(gòu)安全。有限元方法可以用來模擬建筑物的結(jié)構(gòu)，包括其幾何形狀、材料屬性和連接方式，從而預(yù)測在風載荷下的振動模式和振幅。6.2.2示例：高層建筑風振響應(yīng)分析我們將使用Python中的numpy和scipy庫來模擬一個高層建筑的風振響應(yīng)。importnumpyasnp

fromegrateimportodeint

#定義高層建筑參數(shù)

mass=100000#結(jié)構(gòu)質(zhì)量

stiffness=1e8#結(jié)構(gòu)剛度

damping=1e6#結(jié)構(gòu)阻尼

height=100#建筑高度

#定義風載荷函數(shù)

defwind_load(t):

return10000*np.sin(0.1*t)

#定義結(jié)構(gòu)動力學方程

defstructural_dynamics(y,t,m,k,c,F):

y1,y2=y

dy1dt=y2

dy2dt=(-c*y2-k*y1+F(t))/m

return[dy1dt,dy2dt]

#求解結(jié)構(gòu)動力學方程

t=np.linspace(0,100,1000)

y0=[0,0]#初始位移和速度

sol=odeint(structural_dynamics,y0,t,args=(mass,stiffness,damping,wind_load))

#輸出位移響應(yīng)

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(t,sol[:,0])

plt.xlabel('時間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('高層建筑的風振響應(yīng)')

plt.show()此代碼示例展示了如何定義一個高層建筑的結(jié)構(gòu)動力學方程，以及如何使用egrate.odeint函數(shù)來求解該方程，以預(yù)測在風載荷作用下的位移響應(yīng)。6.3機械零件的模態(tài)分析6.3.1原理與內(nèi)容機械零件的模態(tài)分析是通過有限元方法來確定零件的固有頻率和振動模式。這對于避免共振和優(yōu)化設(shè)計至關(guān)重要，因為共振可能導(dǎo)致零件的過度振動，從而加速疲勞和損壞。模態(tài)分析可以幫助工程師理解零件在不同頻率下的振動行為，從而采取措施來減少振動或調(diào)整設(shè)計以避免共振。6.3.2示例：機械零件模態(tài)分析我們將使用Python中的numpy和scipy庫來執(zhí)行一個機械零件的模態(tài)分析。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

#定義機械零件參數(shù)

n_nodes=5#節(jié)點數(shù)

n_elements=n_nodes-1#元件數(shù)

L=1#零件長度

E=2e11#彈性模量

A=0.01#截面積

m=7850*A*L#質(zhì)量

rho=7850#材料密度

#創(chuàng)建剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

K=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

M=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

#填充剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

foriinrange(n_elements):

node1=i

node2=i+1

k_element=(E*A/L)*np.array([[1,-1],

[-1,1]])

m_element=(m/2)*np.array([[1,0],

[0,1]])

K[node1:node1+2,node1:node1+2]+=k_element

K[node1:node1+2,node2:node2+2]+=k_element[0:2,1:2]

K[node2:node2+2,node1:node1+2]+=k_element[1:2,0:2]

K[node2:node2+2,node2:node2+2]+=k_element[1:2,1:2]

M[node1:node1+2,node1:node1+2]+=m_element

M[node1:node1+2,node2:node2+2]+=m_element[0:2,1:2]

M[node2:node2+2,node1:node1+2]+=m_element[1:2,0:2]

M[node2:node2+2,node2:node2+2]+=m_element[1:2,1:2]

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

M[0,:]=0

M[:,0]=0

M[0,0]=1

#求解固有頻率和模態(tài)

w,v=eig(K,M)

#輸出前三個固有頻率

foriinrange(3):

print(f"固有頻率{i+1}:{np.sqrt(w[i])/(2*np.pi)}Hz")此代碼示例展示了如何構(gòu)建機械零件的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，然后使用scipy.linalg.eig函數(shù)求解固有頻率和模態(tài)。邊界條件被應(yīng)用于第一個節(jié)點，以模擬固定端。7進階主題7.1非線性振動分析7.1.1原理非線性振動分析涉及結(jié)構(gòu)在非線性力作用下的響應(yīng)。非線性可以來源于材料的非線性（如塑性、粘彈性）、幾何非線性（大變形、大應(yīng)變）或邊界條件的非線性（如接觸、間隙）。在有限元方法中，非線性問題的求解通常需要迭代過程，以逐步逼近精確解。7.1.2內(nèi)容材料非線性：考慮材料的塑性、粘彈性等特性。幾何非線性：處理大變形和大應(yīng)變問題。邊界條件非線性：分析接觸、間隙等非線性邊界條件的影響。7.1.3示例：材料非線性分析假設(shè)有一個簡單的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，其中彈簧具有非線性特性，其力-位移關(guān)系由以下方程描述：F其中，F(xiàn)是力，x是位移，k是線性剛度系數(shù)，c是非線性剛度系數(shù)。Python代碼示例importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義非線性彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的微分方程

defnonlinear_oscillator(t,y,k,c,m):

x,v=y

dxdt=v

dvdt=-(k*x+c*x**3)/m

return[dxdt,dvdt]

#參數(shù)設(shè)置

k=100#線性剛度

c=1#非線性剛度

m=1#質(zhì)量

y0=[0.1,0]#初始條件：位移0.1，速度0

#時間范圍

t_span=(0,10)

t_eval=np.linspace(0,10,1000)

#解微分方程

sol=solve_ivp(nonlinear_oscillator,t_span