2022-2023學(xué)年遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求．1.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，虛部為.故選：C.2.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則以下命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗D〖解析〗A：如圖：由圖可知異面，所以A錯誤；B：如圖：由圖可知，所以B錯誤；C：如圖：由圖可知，所以C錯誤；D：過作平面與平面交于，因為，所以，又因為，所以，由面面垂直的判定定理即可證得，故D正確.故選：D.3.正方體的棱長為2，P為中點，過A，P，三點的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，截面為四邊形，取中點，連接，則，且，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，則，，所以，且，又，所以截面為等腰梯形，且上底長為，下底長為，腰長為，所以截面的面積為.故選：C.4.若圓周率的近似值可以表示成，則的近似值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知.故選：C.5.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時與燈塔之間的距離為（）A海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.6.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由于向量與平行，所以，由正弦定理得，由于，所以，由于，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D.7.已知點為的外心，且，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定〖答案〗C〖解析〗三個角所對的三邊分別為，取的中點，的中點，的中點，連接，，，則，，，所以，，，因為，所以，即，由余弦定理得，因為，所以，即為鈍角三角形.故選：C.8.故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮剑瑥T殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，，，底面ABCD，且．則幾何體外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連接AC，BD，設(shè)，取EF的中點N，連接MN，由題意知，球心O在直線MN上，取BC的中點G，連接FG，則，且，連接MG，過點F作于點P，則四邊形MPFN是矩形，，則，設(shè)外接球半徑為R，，則，，解得，故，所以外接球的表面積．故選：A.二、多選題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.與向量方向相同的單位向量是B.C.向量在向量方向上的投影的數(shù)量是D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，與向量共線且方向相同單位向量為，故A正確；對B，因為，，故，故，故成立，故B正確；對C，向量在向量上的投影數(shù)量是，故C錯誤；對D，，故，故D正確.故選：ABD.10.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．下列命題正確的有（）A.若，，，則B.若為銳角三角形，則C.若，則為銳角三角形D.若，則是等邊三角形〖答案〗BD〖解析〗選項A，由余弦定理知，，所以，即選項A錯誤；選項B，由題得，則，。則根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性知：，，即，，則根據(jù)不等式性質(zhì)有，故B正確；選項C，因為，所以，結(jié)合正弦定理，得，由余弦定理知，，因為，所以為銳角，但無法確定和的大小，即選項C錯誤；選項D，因為，則，可得，若，則，可得，即，則是等邊三角形，故D正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.平面ABCDC.三棱錐的體積為定值D.直線AC與平面AEF的成角為〖答案〗ABC〖解析〗A選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，所以A選項正確；B選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，所以B選項正確；C選項，對于三棱錐，三角形的面積為定值，到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C選項正確；D選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，設(shè)到平面的距離為，，即，解得，設(shè)直線AC與平面AEF的成角為，則，所以不是，D選項錯誤.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象可由函數(shù)的圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到C.若在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為D.若存在，使得，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A項，令得：，，則的對稱軸為，，故A項正確；對于B項，的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗蟮玫?，故B項不成立；對于C項，由題意知，，所以，又因為，，解得：，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，故C項正確；對于D項，因為，即：，所以，所以或，又因為，所以解得：或，所以，或，所以當(dāng)且時，取得最大值為，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則B的大小為______.〖答案〗〖解析〗在中，因為，，，由正弦定理，可得，又由，且，所以，所以.故〖答案〗為：.14.國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，將底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明總成立．據(jù)此，圖中圓柱體（右側(cè)圖）的底面半徑b為2，高a為3，則該半橢球體（左側(cè)圖）的體積為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，因為總成立，所以半橢球體的體積為，由題意知：，，所以半橢球體的體積為：．故〖答案〗為：．15.已知函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則____________．〖答案〗2〖解析〗由圖象可知A=2，且點(0，1)在圖象上，所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=，因為|φ|<，所以φ=，又是函數(shù)的一個零點，由五點作圖法可得ω+=2π，所以ω=2，所以，所以.故〖答案〗為：2.16.如圖，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角為，則異面直線AC與BF所成角的余弦值為______．〖答案〗〖解析〗連接，，取中點，連接，四邊形為矩形，，，平面平面，平面，平面，即為二面角的平面角，，又，，，為等邊三角形，；分別為中點，，，或其補角即為異面直線與所成角，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在①，②為虛數(shù)，③為純虛數(shù)，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.已知復(fù)數(shù)：.（1）若_______，求實數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為，求的值.解：（1）選擇①，則，解得.選擇②為虛數(shù)，則，解得.選擇③為純虛數(shù)，則，，解得.（2）由可知：復(fù)數(shù)，依題意，解得.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若角的角平分線與交于點，，，求的面積．解：（1）因為，所以根據(jù)正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，所以.（2）由，得，解得，所以的面積為.19.如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面.解：（1）證明：如圖，取的中點，連接，．，分別是和的中點，，．又四邊形為正方形，，從而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，∵平面，則平面.（2）為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，平面，則，，，，則，得．又，平面，平面.20.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，由余弦定理可得，整理得，所以，因為，所以.（2）因為，可得，所以，又因為為銳角三角形，，解得，由正弦定理可得，因為，可得，所以，所以，即的取值范圍．21.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為2，且B1C=，，D是棱BB1的中點.（1）證明：平面ABC⊥平面ABB1A1；（2）求點B到平面ACD的距離.解：（1）證明：如圖，取棱AB的中點O，連接OB1，OC，AB1，由題意可知AA1B1B為菱形，且，則為正三角形，因為O是棱AB的中點，所以.由題意可知△ABC是邊長為2的等邊三角形，則OC⊥AB，，因為△是邊長為2的等邊三角形，所以，因為，所以，所以.因為AB，OC平面ABC，且，所以⊥平面ABC.因為OB1平面ABB1A1，所以平面ABC⊥平面（2）作DH⊥AB，垂足為H，連接CH，則DH⊥平面ABC，因為D是棱BB1的中點，所以，，則，，因DH⊥平面ABC，且CH平面ABC，所以DH⊥CH，則.設(shè)點B到平面ACD的距離是d，因為，所以，解得，即點B到平面ACD的距離是.22.已知函數(shù)，滿足．（1）求實數(shù)a的值，以及函數(shù)的最小正周期（無需證明）；（2）求在區(qū)間上的零點個數(shù)；（3）是否存在正整數(shù)n，使得在區(qū)間上恰有2022個零點，若存在，求出n的值，若不存在，請說明理由．解：（1），又，，解得，所以，函數(shù)的最小正周期為，理由為：因為，，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，當(dāng)時，，設(shè)則，所以，其中當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)，則，于是，所以，所以在只有時，，故函數(shù)的最小正周期為.（2）當(dāng)時，，設(shè)則，令，可得或，或，又，或或或，其中，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為個.（3）當(dāng)時，，設(shè)，則，于是，令，解得或，故在沒有實根，結(jié)合（2）可得，在上有4個零點，而，所以函數(shù)在恰有2022個零點，即存在，使得在區(qū)間上恰有2022個零點.遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求．1.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，虛部為.故選：C.2.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則以下命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗D〖解析〗A：如圖：由圖可知異面，所以A錯誤；B：如圖：由圖可知，所以B錯誤；C：如圖：由圖可知，所以C錯誤；D：過作平面與平面交于，因為，所以，又因為，所以，由面面垂直的判定定理即可證得，故D正確.故選：D.3.正方體的棱長為2，P為中點，過A，P，三點的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，截面為四邊形，取中點，連接，則，且，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，則，，所以，且，又，所以截面為等腰梯形，且上底長為，下底長為，腰長為，所以截面的面積為.故選：C.4.若圓周率的近似值可以表示成，則的近似值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知.故選：C.5.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時與燈塔之間的距離為（）A海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.6.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由于向量與平行，所以，由正弦定理得，由于，所以，由于，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D.7.已知點為的外心，且，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定〖答案〗C〖解析〗三個角所對的三邊分別為，取的中點，的中點，的中點，連接，，，則，，，所以，，，因為，所以，即，由余弦定理得，因為，所以，即為鈍角三角形.故選：C.8.故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，，，底面ABCD，且．則幾何體外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連接AC，BD，設(shè)，取EF的中點N，連接MN，由題意知，球心O在直線MN上，取BC的中點G，連接FG，則，且，連接MG，過點F作于點P，則四邊形MPFN是矩形，，則，設(shè)外接球半徑為R，，則，，解得，故，所以外接球的表面積．故選：A.二、多選題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.與向量方向相同的單位向量是B.C.向量在向量方向上的投影的數(shù)量是D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，與向量共線且方向相同單位向量為，故A正確；對B，因為，，故，故，故成立，故B正確；對C，向量在向量上的投影數(shù)量是，故C錯誤；對D，，故，故D正確.故選：ABD.10.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．下列命題正確的有（）A.若，，，則B.若為銳角三角形，則C.若，則為銳角三角形D.若，則是等邊三角形〖答案〗BD〖解析〗選項A，由余弦定理知，，所以，即選項A錯誤；選項B，由題得，則，。則根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性知：，，即，，則根據(jù)不等式性質(zhì)有，故B正確；選項C，因為，所以，結(jié)合正弦定理，得，由余弦定理知，，因為，所以為銳角，但無法確定和的大小，即選項C錯誤；選項D，因為，則，可得，若，則，可得，即，則是等邊三角形，故D正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.平面ABCDC.三棱錐的體積為定值D.直線AC與平面AEF的成角為〖答案〗ABC〖解析〗A選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，所以A選項正確；B選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，所以B選項正確；C選項，對于三棱錐，三角形的面積為定值，到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C選項正確；D選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，設(shè)到平面的距離為，，即，解得，設(shè)直線AC與平面AEF的成角為，則，所以不是，D選項錯誤.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象可由函數(shù)的圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到C.若在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為D.若存在，使得，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A項，令得：，，則的對稱軸為，，故A項正確；對于B項，的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗蟮玫剑蔅項不成立；對于C項，由題意知，，所以，又因為，，解得：，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，故C項正確；對于D項，因為，即：，所以，所以或，又因為，所以解得：或，所以，或，所以當(dāng)且時，取得最大值為，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則B的大小為______.〖答案〗〖解析〗在中，因為，，，由正弦定理，可得，又由，且，所以，所以.故〖答案〗為：.14.國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，將底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明總成立．據(jù)此，圖中圓柱體（右側(cè)圖）的底面半徑b為2，高a為3，則該半橢球體（左側(cè)圖）的體積為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，因為總成立，所以半橢球體的體積為，由題意知：，，所以半橢球體的體積為：．故〖答案〗為：．15.已知函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則____________．〖答案〗2〖解析〗由圖象可知A=2，且點(0，1)在圖象上，所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=，因為|φ|<，所以φ=，又是函數(shù)的一個零點，由五點作圖法可得ω+=2π，所以ω=2，所以，所以.故〖答案〗為：2.16.如圖，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角為，則異面直線AC與BF所成角的余弦值為______．〖答案〗〖解析〗連接，，取中點，連接，四邊形為矩形，，，平面平面，平面，平面，即為二面角的平面角，，又，，，為等邊三角形，；分別為中點，，，或其補角即為異面直線與所成角，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在①，②為虛數(shù)，③為純虛數(shù)，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.已知復(fù)數(shù)：.（1）若_______，求實數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為，求的值.解：（1）選擇①，則，解得.選擇②為虛數(shù)，則，解得.選擇③為純虛數(shù)，則，，解得.（2）由可知：復(fù)數(shù)，依題意，解得.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若角的角平分線與交于點，，，求的面積．解：（1）因為，所以根據(jù)正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，所以.（2）由，得，解得，所以的面積為.19.如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面.解：（1）證明：如圖，取的中點，連接，．，分別是和的中點，，．又四邊形為正方形，，從而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，∵平面，則平面.（2）為