2022-2023學年天津市南開區(qū)高一下學期6月階段性質(zhì)量檢測期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2天津市南開區(qū)2022-2023學年高一下學期6月階段性質(zhì)量檢測期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從裝有4個黑球、2個白球的袋中任取3個球，若事件A為“所取的3個球中至多有1個白球”，則與事件A互斥的事件是（）A.所取的3個球中至少有一個白球 B.所取的3個球中恰有2個白球1個黑球C.所取的3個球都是黑球 D.所取的3個球中恰有1個白球2個黑球〖答案〗B〖解析〗將事件的結(jié)果分為三類：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑，事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根據(jù)互斥事件的定義可知，只有事件“所取的3個球中恰有2個白球1個黑球”與事件互斥．故選：B．2.設(shè)復數(shù)，則復數(shù)的模為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.3.已知，，且與的夾角，則等于（）A. B.6 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，且與的夾角，所以.故選：A.4.某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖（如圖所示），則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為，則，解得.故選：C.5.如圖，在正三棱柱中，，，則四棱錐的體積是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：正三棱柱的體積，三棱錐的體積，所以四棱錐的體積.故選：A.6.某校高一年級隨機抽取15名男生，測得他們的身高數(shù)據(jù)，如下表所示：編號123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）．A.170 B.175 C.176 D.〖答案〗D〖解析〗將身高按升序排列得：，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是.故選：D7.從數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，則所抽取的三個數(shù)字之和能被整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，方法有：共種，其中所抽取的三個數(shù)字之和能被整除的有：共種，故所求概率為.故選：C.8.已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為正四面體的棱長為2，所以底面三角形的高，棱錐的高為，設(shè)外接球半徑為，則，解得，所以外接球的表面積為.故選：B.9.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選：D.10.已知為的一個內(nèi)角，向量.若，則角（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，即.選：C.二、填空題：本大題共5個小題，每小題3分，共15分11.某個年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一介容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為________．〖答案〗32〖解析〗由題意可得：樣本中女生人數(shù)為.故〖答案〗為：32.12.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以復數(shù)的共軛復數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知向量，，則在方向上的投影向量為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知正三棱柱，O為的外心，則異面直線與OB所成角的大小為________．〖答案〗〖解析〗延長交于點，因為為正三角形，則點為的中點，可得，又因為平面，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以異面直線與OB所成角的大小為.故〖答案〗為：.15.在矩形中，，，點在對角線上，點在邊上，且，，則________．〖答案〗〖解析〗以基底向量，則，因為，，且，則，所以.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5個小題，共55分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.復數(shù)（）.（1）若為純虛數(shù)求實數(shù)值，及在復平面內(nèi)對應的點的坐標；（2）若在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，求實數(shù)的取值范圍.解：因為，所以，（1）若為純虛數(shù)，則，解得：，此時，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：，所以為純虛數(shù)時實數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：.（2）若在復平面內(nèi)對應的點位于三象限，則，解得，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍：.17.甲、乙、丙三人進行投球練習，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影響，（1）求乙、丙兩人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，“丙投球命中”為事件C，則，解得，，解得，所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為、.（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數(shù)λ的值；（2）若，求的坐標；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標．解：（1），因為三點共線，所以存在實數(shù)，使得，即，得，因為是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以解得.（2）.（3）因為四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)，則，因為，所以，解得，即點的坐標為．19.已知的內(nèi)角的對邊分別是，，，且，．（1）求角A；（2）求周長的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，則周長，因為，則，可得，所以周長，即周長的取值范圍為.20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點.（1）求證：EF∥平面PBC；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC.解：證明：（1）取PC的中點G，連接FG，BG，如圖所示：∵F是PD的中點，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中點，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，又EF?平面PBC，BG?平面PBC，∴EF∥平面PBC.（2）設(shè)AC∩BD＝O，則O是BD中點，連接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中點，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.天津市南開區(qū)2022-2023學年高一下學期6月階段性質(zhì)量檢測期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從裝有4個黑球、2個白球的袋中任取3個球，若事件A為“所取的3個球中至多有1個白球”，則與事件A互斥的事件是（）A.所取的3個球中至少有一個白球 B.所取的3個球中恰有2個白球1個黑球C.所取的3個球都是黑球 D.所取的3個球中恰有1個白球2個黑球〖答案〗B〖解析〗將事件的結(jié)果分為三類：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑，事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根據(jù)互斥事件的定義可知，只有事件“所取的3個球中恰有2個白球1個黑球”與事件互斥．故選：B．2.設(shè)復數(shù)，則復數(shù)的模為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.3.已知，，且與的夾角，則等于（）A. B.6 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，且與的夾角，所以.故選：A.4.某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖（如圖所示），則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為，則，解得.故選：C.5.如圖，在正三棱柱中，，，則四棱錐的體積是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：正三棱柱的體積，三棱錐的體積，所以四棱錐的體積.故選：A.6.某校高一年級隨機抽取15名男生，測得他們的身高數(shù)據(jù)，如下表所示：編號123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）．A.170 B.175 C.176 D.〖答案〗D〖解析〗將身高按升序排列得：，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是.故選：D7.從數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，則所抽取的三個數(shù)字之和能被整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，方法有：共種，其中所抽取的三個數(shù)字之和能被整除的有：共種，故所求概率為.故選：C.8.已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為正四面體的棱長為2，所以底面三角形的高，棱錐的高為，設(shè)外接球半徑為，則，解得，所以外接球的表面積為.故選：B.9.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選：D.10.已知為的一個內(nèi)角，向量.若，則角（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，即.選：C.二、填空題：本大題共5個小題，每小題3分，共15分11.某個年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一介容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為________．〖答案〗32〖解析〗由題意可得：樣本中女生人數(shù)為.故〖答案〗為：32.12.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以復數(shù)的共軛復數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知向量，，則在方向上的投影向量為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知正三棱柱，O為的外心，則異面直線與OB所成角的大小為________．〖答案〗〖解析〗延長交于點，因為為正三角形，則點為的中點，可得，又因為平面，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以異面直線與OB所成角的大小為.故〖答案〗為：.15.在矩形中，，，點在對角線上，點在邊上，且，，則________．〖答案〗〖解析〗以基底向量，則，因為，，且，則，所以.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5個小題，共55分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.復數(shù)（）.（1）若為純虛數(shù)求實數(shù)值，及在復平面內(nèi)對應的點的坐標；（2）若在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，求實數(shù)的取值范圍.解：因為，所以，（1）若為純虛數(shù)，則，解得：，此時，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：，所以為純虛數(shù)時實數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：.（2）若在復平面內(nèi)對應的點位于三象限，則，解得，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍：.17.甲、乙、丙三人進行投球練習，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影響，（1）求乙、丙兩人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，“丙投球命中”為事件C，則，解得，，解得，所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為、.（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數(shù)λ的值；（2）若，求的坐標；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標．解：（1），因為三點共線，所以存在實數(shù)，使得，即，得，因為是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以解得.（2）.（3）因為四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)，則，因為，所以，解得，即點的坐標為．19.已知的內(nèi)角的對邊分別是，，，且，．（1）求角A；（2）求周長的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，則周長，因為，則，可得，所以周長，即周長的取值范圍為.20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點.（1）求證：E