2023-2024學(xué)年廣東省東莞市三校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時(shí)間：120分鐘；注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以.故選：A.2.若，則（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以或，故選：C3.隨機(jī)變量的分布列如表：則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列性質(zhì)知：，解得：.故選：A.4.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗C〖解析〗由二項(xiàng)式定理：，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為；故選：C.5.若函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A6.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A.34種 B.48種C.96種 D.144種〖答案〗C〖解析〗,故選C.7.已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21〖答案〗C〖解析〗從某地市場(chǎng)上購買一個(gè)燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A，買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B，則由題可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，從甲廠產(chǎn)品中購買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C，從乙廠產(chǎn)品中購買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D，則由題可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立，故從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率為：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故選：C．8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，故原方程等價(jià)于或.由于當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時(shí)，有，故此時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.從而當(dāng)時(shí)，有，而在上單調(diào)遞減，，所以有唯一解.若原方程有四個(gè)不同的解，則存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足或，而只有一個(gè)解，所以方程至少有三個(gè)解.假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以至多有一個(gè)解，矛盾，所以假設(shè)，則當(dāng)，時(shí)有，從而在上至多有一個(gè)解，由在上單調(diào)遞減知在上至多有一個(gè)解，所以至多有兩個(gè)解，矛盾，所以.綜上，有，即；另一方面，當(dāng)即時(shí)，設(shè)，由于，，，且.故在，，上各有一個(gè)解，從而至少有三個(gè)解.而，（因?yàn)椋曰蛴兴膫€(gè)解.綜上，的取值范圍是，即，D正確.故選：D.二、多選題（每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確．故選：ABD．10.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，則是第2臺(tái)車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，則是第3臺(tái)車床加工的概率為〖答案〗ABC〖解析〗A：由題意任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為，正確；B：由題設(shè)，任取一個(gè)零件是次品的概率為，正確；C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺(tái)車床加工的概率為，正確；D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺(tái)車床加工的概率為，錯(cuò)誤.故選：ABC11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù)，使得成立D.對(duì)兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，，若，則.〖答案〗BD〖解析〗A.函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，上，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；B.，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，∴函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；C.若，可得，令，則，令，則，∴在上，函數(shù)單調(diào)遞增，上函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，即C不正確；D.令，則，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，令，由，得，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，∴對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則，所以.故D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故〖答案〗為：．13.如圖所示，在A，間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通，則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.〖答案〗13〖解析〗若脫落1個(gè)，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個(gè)，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，若脫落3個(gè)，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況.若脫落4個(gè)，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有種情況.故〖答案〗為：13.14.若函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________〖答案〗〖解析〗f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，減區(qū)間為(－1,1)．所以要使函數(shù)f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，即?－2≤a＜1.四、解答題（本題5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（1）計(jì)算；（2）已知，求的值．解：（1）；（2）令，得，令，得，所以．16.某學(xué)校的高二年級(jí)有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.（1）如果任選3人參加校級(jí)技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.解：（1）由題可知的所有可能取值為0，1，2，依題意得：，，，的分布列為：012（2）設(shè)第1次抽到男老師為事件，第2次抽到男老師為事件，則第1次和第2次都抽到男老師為事件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，．所以．17.已知函數(shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得.（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無獎(jiǎng)勵(lì)，超過45單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)6元．（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為，（單位：元）與送貨單數(shù)（單位：?jiǎn)危┑暮瘮?shù)關(guān)系式分別為，，求，的〖解析〗式．（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小哥”，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：若將頻率視為概率，回答下列問題：①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)為他進(jìn)行選擇，并說明理由．解：（1）甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資中與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，．乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．（2）①由條形圖得x的取值范圍為，，，，，所以的分布列為1001061181300.20.30.40.1故的數(shù)學(xué)期望為．②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為，所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為（元），由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元．故推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘．19.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的取值范圍；（3）已知不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，則．當(dāng)時(shí)，即，這等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，即且，這等價(jià)于且，解得或；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知在上遞增，在上遞減，如圖所示：一方面，在區(qū)間上，根據(jù)在上遞增，在上遞減，可知；而區(qū)間上，顯然.故.另一方面，設(shè).對(duì)，有，所以存在使得，即.而對(duì)，有，所以存在使得，即.綜上，函數(shù)的取值范圍為．（3）因?yàn)椋?，從而在不等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得：對(duì)恒成立，即大于在時(shí)的最大值.由（2）可知，此時(shí)在處取得取得最大值，所以的取值范圍是．廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時(shí)間：120分鐘；注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以.故選：A.2.若，則（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋曰?，故選：C3.隨機(jī)變量的分布列如表：則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列性質(zhì)知：，解得：.故選：A.4.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗C〖解析〗由二項(xiàng)式定理：，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為；故選：C.5.若函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A6.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A.34種 B.48種C.96種 D.144種〖答案〗C〖解析〗,故選C.7.已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21〖答案〗C〖解析〗從某地市場(chǎng)上購買一個(gè)燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A，買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B，則由題可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，從甲廠產(chǎn)品中購買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C，從乙廠產(chǎn)品中購買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D，則由題可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立，故從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率為：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故選：C．8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，故原方程等價(jià)于或.由于當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時(shí)，有，故此時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.從而當(dāng)時(shí)，有，而在上單調(diào)遞減，，所以有唯一解.若原方程有四個(gè)不同的解，則存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足或，而只有一個(gè)解，所以方程至少有三個(gè)解.假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以至多有一個(gè)解，矛盾，所以假設(shè)，則當(dāng)，時(shí)有，從而在上至多有一個(gè)解，由在上單調(diào)遞減知在上至多有一個(gè)解，所以至多有兩個(gè)解，矛盾，所以.綜上，有，即；另一方面，當(dāng)即時(shí)，設(shè)，由于，，，且.故在，，上各有一個(gè)解，從而至少有三個(gè)解.而，（因?yàn)椋?，所以或有四個(gè)解.綜上，的取值范圍是，即，D正確.故選：D.二、多選題（每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確．故選：ABD．10.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，則是第2臺(tái)車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，則是第3臺(tái)車床加工的概率為〖答案〗ABC〖解析〗A：由題意任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為，正確；B：由題設(shè)，任取一個(gè)零件是次品的概率為，正確；C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺(tái)車床加工的概率為，正確；D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺(tái)車床加工的概率為，錯(cuò)誤.故選：ABC11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù)，使得成立D.對(duì)兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，，若，則.〖答案〗BD〖解析〗A.函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，上，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；B.，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，∴函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；C.若，可得，令，則，令，則，∴在上，函數(shù)單調(diào)遞增，上函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，即C不正確；D.令，則，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，令，由，得，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，∴對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則，所以.故D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故〖答案〗為：．13.如圖所示，在A，間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通，則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.〖答案〗13〖解析〗若脫落1個(gè)，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個(gè)，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，若脫落3個(gè)，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況.若脫落4個(gè)，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有種情況.故〖答案〗為：13.14.若函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________〖答案〗〖解析〗f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，減區(qū)間為(－1,1)．所以要使函數(shù)f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，即?－2≤a＜1.四、解答題（本題5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（1）計(jì)算；（2）已知，求的值．解：（1）；（2）令，得，令，得，所以．16.某學(xué)校的高二年級(jí)有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.（1）如果任選3人參加校級(jí)技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.解：（1）由題可知的所有可能取值為0，1，2，依題意得：，，，的分布列為：012（2）設(shè)第1次抽到男老師為事件，第2次抽到男老師為事件，則第1次和第2次都抽到男老師為事件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，．所以．17.已知函數(shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得.（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙公司規(guī)定