2023-2024學(xué)年貴州省遵義市高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3貴州省遵義市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)至第四冊(cè)占20%，選擇性必修第一冊(cè)占30%，第二冊(cè)占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以其在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B.3.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故．故選：A.4.已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，則（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為4，所以，解得．故選：C5.若是不等式成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為或，故或，故或，解得或．故選：D.6.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)系數(shù)最大，則的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)系數(shù)最大，所以，因?yàn)榈耐?xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，，或，此時(shí)，，所以的展開(kāi)式中x的系數(shù)為．故選：A.7.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦．假設(shè)這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和4個(gè)表演項(xiàng)目，現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C承辦這6個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中1個(gè)項(xiàng)目，且A場(chǎng)地只能承辦競(jìng)賽項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A.60種 B.74種 C.88種 D.120種〖答案〗B〖解析〗當(dāng)A場(chǎng)地承辦1個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，共有種安排；當(dāng)A場(chǎng)地承辦2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，有種安排．故不同的安排方法共有種．故選：B.8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由，所以定義域?yàn)椋?，所以在定義域上為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于．由，解得，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，9.下列選項(xiàng)中正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BCD10.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，則（）A.的外接圓半徑為 B.C. D.為銳角三角形〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以的外接圓半徑為，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C，，因?yàn)?，即，所以角是鈍角，所以為鈍角三角形，故D不正確．故選：BC.11.“新高考”后，普通高考考試科目實(shí)行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)這4門(mén)科目中選擇2門(mén)作為再選科目．甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門(mén)科目中任意挑選2門(mén)科目學(xué)習(xí)．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學(xué)”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨(dú)立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以B與C不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.〖答案〗20.〖解析〗因?yàn)闄E圓方程，所以，根據(jù)橢圓的定義：，，的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：2013.杭州亞運(yùn)會(huì)秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．某路段的傳遞活動(dòng)由A，B，C，D，E，F(xiàn)共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從A，B中產(chǎn)生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且A，C兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數(shù)為_(kāi)___________．〖答案〗114〖解析〗當(dāng)A完成第一棒時(shí)，有種不同的傳遞方案；當(dāng)B完成第一棒時(shí)，有種不同的傳遞方案．故共有種不同的傳遞方案．故〖答案〗為：114.14.高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過(guò)程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止．現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個(gè)白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號(hào)為X，則隨機(jī)變量X的期望與方差分別為_(kāi)___________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由題意可知：白色圓玻璃球從起點(diǎn)到進(jìn)入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數(shù)，可知，，又因，所以，.故〖答案〗為：3；1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面的射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以又為BC的中點(diǎn)，，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，∴平?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，且，所?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.16.隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．該人機(jī)交互軟件測(cè)試階段，共測(cè)試了1000個(gè)問(wèn)題，測(cè)試結(jié)果如下表．回答正確回答錯(cuò)誤問(wèn)題中存在語(yǔ)法錯(cuò)誤100300問(wèn)題中沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤500100結(jié)果顯示問(wèn)題中是否存在語(yǔ)法錯(cuò)誤會(huì)影響該軟件回答問(wèn)題的正確率，依據(jù)測(cè)試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問(wèn)題．（1）測(cè)試2個(gè)問(wèn)題，在該軟件都回答正確的情況下，求測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)問(wèn)題存在語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率；（2）現(xiàn)輸入3個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確回答相互獨(dú)立，記軟件正確回答的問(wèn)題個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測(cè)試結(jié)果知，所以．記“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題都回答正確”為事件，“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)存在語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件．則，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列為X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽車保有量如下表．年份20192020202120222023年份編號(hào)12345保有量(萬(wàn)輛)1820232529（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明與的線性相關(guān)程度；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)2025年該地新能源汽車保有量．附：相關(guān)系數(shù)．在回歸直線方程中，．?。猓海?）因?yàn)?，，所以，，，所以．因?yàn)榈闹翟浇咏?，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以與的線性相關(guān)程度較強(qiáng)．（2）因?yàn)?，，，，所以，，所以回歸直線方程．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2025年該地新能源汽車保有量為萬(wàn)輛．18.2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船把三名航天員送入太空．空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)是與大眾比較接近的．為了解學(xué)生對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)是否感興趣，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)．對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)感興趣對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)不感興趣合計(jì)男生150女生50合計(jì)已知從這300名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生和女生各1人，抽到的2名學(xué)生都對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣的概率為．（1）將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣與性別有關(guān)；（2）該學(xué)校對(duì)參與問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)感興趣的學(xué)生中抽取8人，組成一個(gè)宣傳小組，從這8人中任選3人擔(dān)任宣傳小組的主講人，設(shè)隨機(jī)變量X表示這3人中男生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：．0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）設(shè)抽取的300名學(xué)生中男生的人數(shù)為x，則女生的人數(shù)為．因?yàn)槌榈降?名學(xué)生都對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)感興趣的概率為，所以，解得或（舍去），所以抽取的300名學(xué)生中男生有200人，女生有100人，所以列聯(lián)表為對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)感興趣對(duì)空間站開(kāi)展的公益活動(dòng)不感興趣合計(jì)男生15050200女生5050100合計(jì)200100300因?yàn)?，所以?9.9%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)該項(xiàng)目感興趣與性別有關(guān)．（2）用分層隨機(jī)抽樣方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，所以隨機(jī)變量X可能的取值為1，2，3，則，X的分布列為X123P故．19.已知雙曲線的離心率為，虛軸長(zhǎng)為．（1）求雙曲線C的方程；（2）若動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且分別與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值．解：（1）因?yàn)樘撦S長(zhǎng)為，所以，因?yàn)?，且，所以，故雙曲線C的方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，此時(shí)，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不設(shè)直線，且，聯(lián)立方程組得，由，得，不妨設(shè)l與的交點(diǎn)為P，則，得，同理可得，所以，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離，所以，因?yàn)?，所以，綜上，的面積為定值，定值為．貴州省遵義市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)至第四冊(cè)占20%，選擇性必修第一冊(cè)占30%，第二冊(cè)占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋裕蔬x：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋云湓趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B.3.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故．故選：A.4.已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，則（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為4，所以，解得．故選：C5.若是不等式成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為或，故或，故或，解得或．故選：D.6.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)系數(shù)最大，則的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)系數(shù)最大，所以，因?yàn)榈耐?xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，，或，此時(shí)，，所以的展開(kāi)式中x的系數(shù)為．故選：A.7.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦．假設(shè)這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和4個(gè)表演項(xiàng)目，現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C承辦這6個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中1個(gè)項(xiàng)目，且A場(chǎng)地只能承辦競(jìng)賽項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A.60種 B.74種 C.88種 D.120種〖答案〗B〖解析〗當(dāng)A場(chǎng)地承辦1個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，共有種安排；當(dāng)A場(chǎng)地承辦2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，有種安排．故不同的安排方法共有種．故選：B.8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以定義域?yàn)?，，所以在定義域上為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于．由，解得，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，9.下列選項(xiàng)中正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋訡正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故D正確．故選：BCD10.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，則（）A.的外接圓半徑為 B.C. D.為銳角三角形〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以的外接圓半徑為，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，即．因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C，，因?yàn)?，即，所以角是鈍角，所以為鈍角三角形，故D不正確．故選：BC.11.“新高考”后，普通高考考試科目實(shí)行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)這4門(mén)科目中選擇2門(mén)作為再選科目．甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門(mén)科目中任意挑選2門(mén)科目學(xué)習(xí)．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學(xué)”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨(dú)立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以B與C不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.〖答案〗20.〖解析〗因?yàn)闄E圓方程，所以，根據(jù)橢圓的定義：，，的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：2013.杭州亞運(yùn)會(huì)秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．某路段的傳遞活動(dòng)由A，B，C，D，E，F(xiàn)共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從A，B中產(chǎn)生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且A，C兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數(shù)為_(kāi)___________．〖答案〗114〖解析〗當(dāng)A完成第一棒時(shí)，有種不同的傳遞方案；當(dāng)B完成第一棒時(shí)，有種不同的傳遞方案．故共有種不同的傳遞方案．故〖答案〗為：114.14.高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過(guò)程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止．現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個(gè)白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號(hào)為X，則隨機(jī)變量X的期望與方差分別為_(kāi)___________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由題意可知：白色圓玻璃球從起點(diǎn)到進(jìn)入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數(shù)，可知，，又因，所以，.故〖答案〗為：3；1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面的射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以又為BC的中點(diǎn)，，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫嗥矫?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，所?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.16.隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．該人機(jī)交互軟件測(cè)試階段，共測(cè)試了1000個(gè)問(wèn)題，測(cè)試結(jié)果如下表．回答正確回答錯(cuò)誤問(wèn)題中存在語(yǔ)法錯(cuò)誤100300問(wèn)題中沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤500100結(jié)果顯示問(wèn)題中是否存在語(yǔ)法錯(cuò)誤會(huì)影響該軟件回答問(wèn)題的正確率，依據(jù)測(cè)試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問(wèn)題．（1）測(cè)試2個(gè)問(wèn)題，在該軟件都回答正確的情況下，求測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)問(wèn)題存在語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率；（2）現(xiàn)輸入3個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確回答相互獨(dú)立，記軟件正確回答的問(wèn)題個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測(cè)試結(jié)果知，所以．記“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題都回答正確”為事件，“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)存在語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件．則，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列為X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽車保有量如下表．年份20192020202120222023年份編號(hào)12345保有量(萬(wàn)輛)1820232529（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明與的線性相關(guān)程度；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)2025年該地新能源汽車保有量．附：相關(guān)系數(shù)．在回歸直線方程中，．?。猓海?）因?yàn)?，，所以，，，所以．因?yàn)榈闹翟浇咏?，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以與的線性相關(guān)程度較強(qiáng)．（2）因?yàn)?，，，，所以，，所以回歸直線方程．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2025年該地新能源汽車保有量為萬(wàn)輛．18.2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船把三名航天員