2024屆湖北省宜荊荊隨恩高三5月聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖北省宜荊荊隨恩2024屆高三5月聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.i〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：A2.設(shè)l，m，n是不同的直線，m，n在平面內(nèi)，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若且，當(dāng)時(shí)，直線可以與平面平行，此時(shí)，不能推出，若，m，n是平面內(nèi)兩條不同的直線，則，，所以“且”是“”的必要不充分的條件.故選：B3.有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）A.11 B.13 C.16 D.17〖答案〗D〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.故選：D4.函數(shù)，當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中，而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).故選：B.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若在上單調(diào)遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當(dāng)時(shí)，所以在上有定義，再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：C.6.已知非零向量，的夾角為，，，則的最小值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋膴A角為，，所以，.故的最小值為1.故選：C.7.今天的課外作業(yè)是從6道應(yīng)用題中任選2題詳細(xì)解答，則甲、乙兩位同學(xué)的作業(yè)中恰有一題相同的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，所有的基本事件個(gè)數(shù)為，“恰有一題相同”包含的基本事件數(shù)為，所以.故選：D8.已知，，與y軸平行的直線l與和的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意設(shè)，，則，令，下證：，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，記，則，所以在上為增函數(shù)，又，，故存，使得，所以，即最小值為1.故選：A.二、多選題9.已知，則下列不等式正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，則，在單調(diào)遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時(shí)取得最小值，即，C正確；設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以由得，即，D正確.故選：ACD10.無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗BC〖解析〗，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒(méi)有最小值；，時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時(shí)，因?yàn)椋詿o(wú)最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無(wú)最小值，偶數(shù)項(xiàng)正無(wú)最大值.故選：BC11.正方體中，，P在正方形內(nèi)（包括邊界），下列結(jié)論正確有（）A.若，則P點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B.三棱錐外接球體積的最小值是C.若Q為正方形的中心，則周長(zhǎng)的最小值為D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，且，，所以，取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以P點(diǎn)軌跡為圓弧EF，因?yàn)?，所以，A不正確；由球的性質(zhì)知，三棱錐外接球的球心在過(guò)外接圓圓心的垂線上，的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且半徑為，當(dāng)外接球半徑最小時(shí)，的外接圓是球的大圓，所以球半徑R最小值為，外接球體積最小值是，B正確；設(shè)Q關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，又，所以的周長(zhǎng)，C正確；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，所以，，，所以.D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知，則________．〖答案〗21〖解析〗對(duì)兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得，即，又，令，可得，所以故〖答案〗為：.13.已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為______.〖答案〗15〖解析〗由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有種方法，即方程的解的組數(shù)為15.故〖答案〗為：1514.已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)（，）的周期為，又，所以，所以，即，因?yàn)椋?，解得，所以，因?yàn)?，所以，要使在?nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)，則.所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題15.在五面體中，四邊形為等腰梯形，，，，．（1）求證、、三線交于一點(diǎn)．（2）若，，，求平面與平面所成角的大?。?）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，所以延長(zhǎng)，必相交于一點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)椋矫?，所以平面同理可得：平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即，，交于一點(diǎn)；（2）解：由，，，平面，所以平面，又平面，，同理可得，所以、、兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭堑妊菪?，所以是等腰三角形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，過(guò)作于，可得，，所以，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，取，得，，所以面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成角為．16.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，，設(shè)（1）是否存在常數(shù)k，使數(shù)列為等比數(shù)列，若存在，求k值，若不存在，說(shuō)明理由．（2）求的表達(dá)式，并證明．解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，整理得（，），法一：假設(shè)存在常數(shù)k使數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，則，即，令，解得或，故當(dāng)時(shí)，，所以為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．（解法二）：假設(shè)存在常數(shù)k使數(shù)列為等比數(shù)列，則有，由已知得，，所以，，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論同解法一；（2）法一：由（1）知，解得，所以，則，又也滿足上式，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故證畢.法二：同法一得到，由二項(xiàng)式定理得，當(dāng)時(shí)；，即，所以，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以.17.數(shù)學(xué)多選題的得分規(guī)則是：每小題的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)按比例得分，有選錯(cuò)得0分，小明根據(jù)大量的多選題統(tǒng)計(jì)得到：多選題正確的選項(xiàng)共有四個(gè)的概率為0，正確選項(xiàng)共有兩個(gè)的概率為p（）（1）現(xiàn)有某個(gè)多選題，小明完全不會(huì)，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)選項(xiàng)；策略二：在A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中任選兩個(gè)選項(xiàng)，求小明分別采取這兩個(gè)策略時(shí)小明得分的期望；（2）若有一個(gè)多選題，小明發(fā)現(xiàn)A正確，B、C、D選項(xiàng)他不會(huì)判斷，現(xiàn)在他也有兩個(gè)策略，策略一：．選A和B、C、D中的任一個(gè)，策略二：選A和B、C、D中的任意2個(gè)，在的條件下，判斷小明該選擇哪個(gè)策略.解：（1）設(shè)小明分別采用策略一和策略二的得分分別為，，，；;∴,;；∴所以小明分別采取策略一和策略二的得分的期望分別為和（2）設(shè)小明選擇策略一和策略二的得分分別為，；;；;,；∵∴小明應(yīng)選擇策略一18.設(shè)函數(shù)，（1）討論單調(diào)性．（2）若函數(shù)存在極值，對(duì)任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得（?。┳C明不等式．（ⅱ）判斷并證明與的大?。?）解：，，若，則，在上單調(diào)遞增，若，由得，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）（?。┳C明：∵存在極值，由（1）知，，由題設(shè)得，∵，設(shè)，要證明即證明，設(shè)，（），則，∴在上單調(diào)遞增，，∴，即得證，（ⅱ）解：，，∴，∵在上是減函數(shù)，∴.19.已知橢圓的離心率為，，是C的左、右焦點(diǎn)，直線是其右準(zhǔn)線，P是l上的一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)在C上.（1）求C的方程.（2）若直線OQ、PQ的斜率之積為，平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T滿足恒成立.若存在求出T的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由.（3）若，過(guò)P的動(dòng)直線與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于M，N的點(diǎn)H，滿足，證明H恒在一條直線上并求出這條直線的方程.解：（1）由題意，且，解得，，所以，，所以橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，則，因?yàn)橹本€OQ、PQ的斜率之積為，所以，所以，根據(jù)對(duì)稱性可知定點(diǎn)T存在時(shí)一定在x軸上，設(shè)，則，，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，所以恒成立，因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，即存在定點(diǎn)，滿足恒成立；（3）設(shè)，由可設(shè)，則，所以，所以①，②，③，④，①×②得，③×④得，因?yàn)椋?，所以相減得，即，所以，即，所以H恒在直線上.湖北省宜荊荊隨恩2024屆高三5月聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.i〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：A2.設(shè)l，m，n是不同的直線，m，n在平面內(nèi)，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若且，當(dāng)時(shí)，直線可以與平面平行，此時(shí)，不能推出，若，m，n是平面內(nèi)兩條不同的直線，則，，所以“且”是“”的必要不充分的條件.故選：B3.有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）A.11 B.13 C.16 D.17〖答案〗D〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.故選：D4.函數(shù)，當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中，而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).故選：B.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若在上單調(diào)遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當(dāng)時(shí)，所以在上有定義，再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：C.6.已知非零向量，的夾角為，，，則的最小值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，的夾角為，，所以，.故的最小值為1.故選：C.7.今天的課外作業(yè)是從6道應(yīng)用題中任選2題詳細(xì)解答，則甲、乙兩位同學(xué)的作業(yè)中恰有一題相同的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，所有的基本事件個(gè)數(shù)為，“恰有一題相同”包含的基本事件數(shù)為，所以.故選：D8.已知，，與y軸平行的直線l與和的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意設(shè)，，則，令，下證：，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，記，則，所以在上為增函數(shù)，又，，故存，使得，所以，即最小值為1.故選：A.二、多選題9.已知，則下列不等式正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，則，在單調(diào)遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時(shí)取得最小值，即，C正確；設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以由得，即，D正確.故選：ACD10.無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗BC〖解析〗，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒(méi)有最小值；，時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時(shí)，因?yàn)?，所以無(wú)最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無(wú)最小值，偶數(shù)項(xiàng)正無(wú)最大值.故選：BC11.正方體中，，P在正方形內(nèi)（包括邊界），下列結(jié)論正確有（）A.若，則P點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B.三棱錐外接球體積的最小值是C.若Q為正方形的中心，則周長(zhǎng)的最小值為D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，且，，所以，取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以P點(diǎn)軌跡為圓弧EF，因?yàn)?，所以，A不正確；由球的性質(zhì)知，三棱錐外接球的球心在過(guò)外接圓圓心的垂線上，的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且半徑為，當(dāng)外接球半徑最小時(shí)，的外接圓是球的大圓，所以球半徑R最小值為，外接球體積最小值是，B正確；設(shè)Q關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，又，所以的周長(zhǎng)，C正確；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，所以，，，所以.D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知，則________．〖答案〗21〖解析〗對(duì)兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得，即，又，令，可得，所以故〖答案〗為：.13.已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為______.〖答案〗15〖解析〗由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有種方法，即方程的解的組數(shù)為15.故〖答案〗為：1514.已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)（，）的周期為，又，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，要使在?nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)，則.所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題15.在五面體中，四邊形為等腰梯形，，，，．（1）求證、、三線交于一點(diǎn)．（2）若，，，求平面與平面所成角的大?。?）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，所以延長(zhǎng)，必相交于一點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)椋矫?，所以平面同理可得：平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即，，交于一點(diǎn)；（2）解：由，，，平面，所以平面，又平面，，同理可得，所以、、兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭堑妊菪?，所以是等腰三角形，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，過(guò)作于，可得，，所以，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，取，得，，所以面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成角為．16.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，，設(shè)（1）是否存在常數(shù)k，使數(shù)列為等比數(shù)列，若存在，求k值，若不存在，說(shuō)明理由．（2）求的表達(dá)式，并證明．解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，整理得（，），法一：假設(shè)存在常數(shù)k使數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，則，即，令，解得或，故當(dāng)時(shí)，，所以為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．（解法二）：假設(shè)存在常數(shù)k使數(shù)列為等比數(shù)列，則有，由已知得，，所以，，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論同解法一；（2）法一：由（1）知，解得，所以，則，又也滿足上式，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故證畢.法二：同法一得到，由二項(xiàng)式定理得，當(dāng)時(shí)；，即，所以，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以.17.數(shù)學(xué)多選題的得分規(guī)則是：每小題的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)按比例得分，有選錯(cuò)得0分，小明根據(jù)大量的多選題統(tǒng)計(jì)得到：多選題正確的選項(xiàng)共有四個(gè)的概率為0，正確選項(xiàng)共有兩個(gè)的概率為p（）（1）現(xiàn)有某個(gè)多選題，小明完全不會(huì)，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)選項(xiàng)；策略二：在A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中任選兩個(gè)選項(xiàng)，求小明分別采取這兩個(gè)策略時(shí)小明得分的期望；（2）若有一個(gè)多選題，小明發(fā)現(xiàn)A正確，B、C、D選項(xiàng)他不會(huì)判斷，現(xiàn)在他也有兩個(gè)策略，策略