2024屆湖南省永州市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A2.樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14上四分位數(shù)為（）A.14 B.15 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個樣本數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.故選：D.3.已知非零數(shù)列滿足，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗由可得，則.故選：D.4.的展開式中第四項的系數(shù)為540，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為的展開式中第四項為，所以，解得，所以.故選：C.5.為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（）A.26 B.25 C.24 D.23〖答案〗C〖解析〗將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運觀眾，每人至少分得一份，有種分法，而甲、乙兩人分得的份數(shù)相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4種分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為種.故選：C.6.在中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，由，可得是以為直徑的圓，所以的軌跡方程為，取的中點為，設(shè)，可得，所以，所以，所以點的軌跡方程為，圓心為，半徑為，由，所以，所以，所以，所以.故選：A.7.已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上單調(diào)遞增.令，上單調(diào)遞增，因為，所以為奇函數(shù)，則化為所以，解得，.故選：C.8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點為坐標原點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點，點在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖,,,，設(shè),則，平分,,,由雙曲線定義可知，，即,在中，由余弦定理知化簡得,由得,不妨令一條漸近線與線段的交點在第一象限，則,.故選：B.二、多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量，若，則B.設(shè)，，則“”成立的充要條件是“”C.已知，，則D.若，，，則事件與相互獨立〖答案〗A〖解析〗對于A，隨機變量服從正態(tài)分布，且對稱軸為，因為，所以，故，故A正確；對于B，當時，，當時，，此時成立，但，故B錯誤；對于C，，故，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：A.10.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則（）A.的最小值為2B.當直線的斜率為時，C.設(shè)直線，的斜率分別為，，則D.過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則〖答案〗BCD〖解析〗，設(shè)直線的方程為.對于A，把代入得，設(shè)，則，所以，A錯；對于B，當直線的斜率為時，，B對；對于C，由題意知則，，所以，C對；對于D，由有，因為的方程為，令得，所以點為的中點，即，D對.故選：BCD.11.在平面四邊形中，，，為等邊三角形，將沿折起，得到三棱錐，設(shè)二面角的大小為.則下列說法正確的是（）A.當時，，分別為線段，上的動點，則的最小值為B.當時，三棱錐外接球的直徑為C.當時，以為直徑的球面與底面的交線長為D.當時，繞點旋轉(zhuǎn)至所形成的曲面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，如圖，取中點，連接，，則，，所以為二面角的平面角，角，由題意可得，當時，根據(jù)余弦定理可得，當為中點且時，長度最短，由等面積法可得，求得最小值為故A對.對于B，如圖，的外接圓的圓心分別為，三棱錐外接球的球心為，連接，則，當時，則，所以，所以球的半徑故B錯.對于C，當時，如圖，過球心作則為的中點，且，又球半徑為1，球與的一交點為，則，又過作，，球與底面的交線如圖，所以交線長為，故C對.對于D，轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的一部分側(cè)面積，該圓錐母線長為，底面圓半徑為1，故面積為，故D對.故選：ACD.三、填空題12.已知復(fù)數(shù)，，若（為的共軛復(fù)數(shù)），則實數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗,,,,都是實數(shù)，且,,解得,即實數(shù)的取值范圍為故〖答案〗為：13.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則________.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，即，所以，即，因為，所以，因為，所以，即,所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的定義域為，，，且對于，恒有，則________________.〖答案〗〖解析〗由可得，所以，，，，.因為對于，恒有，所以當時，，而，故〖答案〗為：.四、解答題15.綠化祖國要擴綠、興綠、護綠并舉.某校植樹節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株.甲地土質(zhì)含有元素，乙地土質(zhì)不含有元素，其它土質(zhì)情況均相同，一段時間后，為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與元素含量是否有關(guān)聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機抽取樹苗各50株作為樣本進行統(tǒng)計分析.經(jīng)統(tǒng)計，甲地成活45株，乙地成活40株.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表（單位：株），并判斷依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該品種樹苗成活與元素含量有關(guān)聯(lián)？列聯(lián)表類別樹苗成活情況合計成活不成活含元素不含元素合計（2）若將頻率視為概率，從樣本中不成活的樹苗中隨機抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為，求的分布列及方差參考公式：，參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：類別樹苗成活情況合計成活不成活

含元素45550不含元素401050合計8515100零假設(shè)為：該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，根據(jù)小概率值獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).（2）由題意知，不成活的樹苗共有株，甲地不成活的樹苗有株，的可能取值為,故，，，故的分布列為：期望；方差.16.如圖，在多面體中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）證明：；（2）若，，且多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，在中，，所以，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：設(shè)多面體的體積為，，則，解得，如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，那么，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當時，求在的單調(diào)區(qū)間及極值.（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）當，時，，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在處取得極小值為，無極大值.（2）依題意可得，對，恒成立，即，令，當時，，單調(diào)遞減，當時，，則，令，解得，令，解得，綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以的取值范圍為.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且，，.（1）求，的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為,集合共有5個元素，求實數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列中，，，求證：.（1）解：設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，則由，，所以，所以，，即，所以，所以；（2）解：設(shè)數(shù)列，則，所以，，令，，可得，故當時，最大，且，所以，即的取值范圍為.（3）證明：由，則當時，，當時，也滿足上式，所以，，所以原不等式成立.19.已知為坐標原點，動點在橢圓上，動點滿足，記點的軌跡為（1）求軌跡的方程；（2）在軌跡上是否存在點，使得過點作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點的坐標：若不存在，請說明理由：（3）過點的直線交軌跡于，兩點，射線交軌跡于點，射線交橢圓于點，求四邊形面積的最大值.解：（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡得，所以點的軌跡的方程為（2）當兩條切線的斜率存在時，設(shè)過點的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，依題意得，即，又點在軌跡上，，解得，或(當兩條切線的斜率有一條不存在時，結(jié)合圖像得不合題意，綜上，存在滿足條件的點，且點的坐標為或(.（3）將代入軌跡的方程，可得，由，可得①，且，，所以，因為直線與軸交點的坐標為，所以的面積，將代入橢圓C的方程可得，由，可得②，令，由①②可知，因此，故，當且僅當，即時，取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，所以四邊形的面積的最大值為.湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A2.樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14上四分位數(shù)為（）A.14 B.15 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個樣本數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.故選：D.3.已知非零數(shù)列滿足，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗由可得，則.故選：D.4.的展開式中第四項的系數(shù)為540，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為的展開式中第四項為，所以，解得，所以.故選：C.5.為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（）A.26 B.25 C.24 D.23〖答案〗C〖解析〗將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運觀眾，每人至少分得一份，有種分法，而甲、乙兩人分得的份數(shù)相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4種分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為種.故選：C.6.在中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，由，可得是以為直徑的圓，所以的軌跡方程為，取的中點為，設(shè)，可得，所以，所以，所以點的軌跡方程為，圓心為，半徑為，由，所以，所以，所以，所以.故選：A.7.已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上單調(diào)遞增.令，上單調(diào)遞增，因為，所以為奇函數(shù)，則化為所以，解得，.故選：C.8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點為坐標原點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點，點在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖,,,，設(shè),則，平分,,,由雙曲線定義可知，，即,在中，由余弦定理知化簡得,由得,不妨令一條漸近線與線段的交點在第一象限，則,.故選：B.二、多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量，若，則B.設(shè)，，則“”成立的充要條件是“”C.已知，，則D.若，，，則事件與相互獨立〖答案〗A〖解析〗對于A，隨機變量服從正態(tài)分布，且對稱軸為，因為，所以，故，故A正確；對于B，當時，，當時，，此時成立，但，故B錯誤；對于C，，故，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：A.10.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則（）A.的最小值為2B.當直線的斜率為時，C.設(shè)直線，的斜率分別為，，則D.過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則〖答案〗BCD〖解析〗，設(shè)直線的方程為.對于A，把代入得，設(shè)，則，所以，A錯；對于B，當直線的斜率為時，，B對；對于C，由題意知則，，所以，C對；對于D，由有，因為的方程為，令得，所以點為的中點，即，D對.故選：BCD.11.在平面四邊形中，，，為等邊三角形，將沿折起，得到三棱錐，設(shè)二面角的大小為.則下列說法正確的是（）A.當時，，分別為線段，上的動點，則的最小值為B.當時，三棱錐外接球的直徑為C.當時，以為直徑的球面與底面的交線長為D.當時，繞點旋轉(zhuǎn)至所形成的曲面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，如圖，取中點，連接，，則，，所以為二面角的平面角，角，由題意可得，當時，根據(jù)余弦定理可得，當為中點且時，長度最短，由等面積法可得，求得最小值為故A對.對于B，如圖，的外接圓的圓心分別為，三棱錐外接球的球心為，連接，則，當時，則，所以，所以球的半徑故B錯.對于C，當時，如圖，過球心作則為的中點，且，又球半徑為1，球與的一交點為，則，又過作，，球與底面的交線如圖，所以交線長為，故C對.對于D，轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的一部分側(cè)面積，該圓錐母線長為，底面圓半徑為1，故面積為，故D對.故選：ACD.三、填空題12.已知復(fù)數(shù)，，若（為的共軛復(fù)數(shù)），則實數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗,,,,都是實數(shù)，且,,解得,即實數(shù)的取值范圍為故〖答案〗為：13.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則________.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，即，所以，即，因為，所以，因為，所以，即,所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的定義域為，，，且對于，恒有，則________________.〖答案〗〖解析〗由可得，所以，，，，.因為對于，恒有，所以當時，，而，故〖答案〗為：.四、解答題15.綠化祖國要擴綠、興綠、護綠并舉.某校植樹節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株.甲地土質(zhì)含有元素，乙地土質(zhì)不含有元素，其它土質(zhì)情況均相同，一段時間后，為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與元素含量是否有關(guān)聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機抽取樹苗各50株作為樣本進行統(tǒng)計分析.經(jīng)統(tǒng)計，甲地成活45株，乙地成活40株.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表（單位：株），并判斷依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該品種樹苗成活與元素含量有關(guān)聯(lián)？列聯(lián)表類別樹苗成活情況合計成活不成活含元素不含元素合計（2）若將頻率視為概率，從樣本中不成活的樹苗中隨機抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為，求的分布列及方差參考公式：，參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：類別樹苗成活情況合計成活不成活

含元素45550不含元素401050合計8515100零假設(shè)為：該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，根據(jù)小概率值獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).（2）由題意知，不成活的樹苗共有株，甲地不成活的樹苗有株，的可能取值為,故，，，故的分布列為：期望；方差.16.如圖，在多面體中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）證明：；（2）若，，且多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，在中，，所以，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：設(shè)多面體的體積為，，則，解得，如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，那么，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當時，求在的單調(diào)區(qū)間及極值.（2）若恒成立，求的