2024屆江西省鷹潭市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江西省鷹潭市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，則，所以.故選：B2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，則，的虛部為2.故選：D.3.雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，不妨設(shè)，則，依題意，，因點(diǎn)在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5.質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，我們把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過20的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件：這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超過20的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有對組合，在不超過20的正整數(shù)中有共個(gè)數(shù)，所以，所以任取兩個(gè)素?cái)?shù)共有個(gè)對組合，其中是“孿生素?cái)?shù)”有，，，共對，所以這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)的共有對，所以，所以.故選：A6.在中，角所對應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)的外心為，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，由，因，故,而，故當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號.故選：A.7.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因?yàn)槭?0的倍數(shù)，所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C8.已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（）A.有且只有一個(gè)極值點(diǎn) B.在上單調(diào)遞增C.存在實(shí)數(shù)，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法中，正確是（）A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.已知一系列樣本點(diǎn)（）的回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差（殘差＝實(shí)際值－模型預(yù)測值）相等，則〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，故從小到大從第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，因?yàn)?，（），故，故，，故，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，關(guān)于對稱，所以，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，整理得，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：，即，∴，即，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，且，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，為偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，得，所以，即，則，可知的周期為4，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，將代入，得，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：關(guān)于對稱，由且關(guān)于對稱，知，又的周期為4，可得（），選項(xiàng)C中有等式，即，則有（）成立，∴，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（）A.B.若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3C.點(diǎn)到直線的距離是D.直線與平面所成角正弦值的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，使，，則，故，則，因，則時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值3，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，又，則，，故得：，，則點(diǎn)到直線的距離為：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，所以由，則，由，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號知，D項(xiàng)正確.故選：BD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.已知，且，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以，所?故〖答案〗為：13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______.〖答案〗（）〖解析〗因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗為：（）14.已知拋物線：，定點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，，，是切點(diǎn)，則面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，的斜率分別為，且，過點(diǎn)M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點(diǎn)，其到的距離為1，聯(lián)立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗為：.四、解答題15.的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.（1）證明：由，可得且，所以，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，可得，即，得證.（2）解：由（1）知，且，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以取最小值16.如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，底面為等邊三角形.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取，的中點(diǎn)為，，連接，，，由于側(cè)面為矩形，所以，∵，∴，由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四邊形為平行四邊形，故平面，故，又是中點(diǎn)，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故為的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由于平面的法向量為，故故平面與平面的夾角的余弦值為.17.等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個(gè)變量的數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較，這種類型圖表將多個(gè)條形圖堆積在一起并用顏色進(jìn)行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個(gè)條形圖的高度表示對應(yīng)變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個(gè)變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務(wù)工作者們在冬季行動(dòng)會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖.

材料材料合計(jì)試驗(yàn)成功

試驗(yàn)失敗

合計(jì)

單位：次（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，第三環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為2000元.試問如何定價(jià)（單位：萬元），才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標(biāo)？（精確到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如下：材料材料合計(jì)試驗(yàn)成功453075試驗(yàn)失敗52025合計(jì)5050100計(jì)算可得，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān).（2）設(shè)生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復(fù)費(fèi)用為萬元，易知的可能取值為，，，，，，，，，則的分布列為00.20.40.60.8修復(fù)費(fèi)用的期望，所以石墨烯發(fā)熱膜的定價(jià)至少為萬元/噸，才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤目標(biāo).18.設(shè)橢圓：（）經(jīng)過點(diǎn)，且離心率，直線：垂直軸交軸于，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，，.（1）求橢圓的方程：（2）設(shè)直線，的斜率分別為，.（?。┣蟮闹?；（ⅱ）如圖：過作軸的垂線，過作的平行線分別交，于，，求的值.解：（1）由題意知：，即，，所以橢圓的方程為；（2）方法一：（?。┮字?，，，，設(shè)直線的方程為，由直線過知，聯(lián)立方程，得，變形得：，即.（ⅱ）設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則，，，，，在中，所以由知，即，故.方法二：（?。┮字?，，，設(shè)，，直線的方程為，則……（*）聯(lián)立方程，得，∴，……（1）將（1）式代入（*）得：（ⅱ）由（?。┲?，：即……（2）：即……（3）聯(lián)立（2），（3）得，即∴即為的中點(diǎn)，故19.“讓式子丟掉次數(shù)”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利提出，是最早使用“積分”和“極坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)家之一.貝努利不等式表述為：對實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立.（1）證明：當(dāng)，時(shí)，不等式成立，并指明取等號的條件；（2）已知，…，（）是大于的實(shí)數(shù)（全部同號），證明：（3）求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，我們需證，設(shè)，，注意到，，令得，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即恒成立，.不等式對，成立，得證，不等式取等號的條件是，或.（2）證明：當(dāng)時(shí)，原不等式即，顯然成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列，，則，若（），由上式易得，即；若（），則，所以，故，即此時(shí)也成立，所以當(dāng)時(shí)，，由于，所以（），故原不等式成立.（3）證明：要證，只需證由（2）知又∴，得證.

江西省鷹潭市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，則，所以.故選：B2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，則，的虛部為2.故選：D.3.雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，不妨設(shè)，則，依題意，，因點(diǎn)在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5.質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，我們把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過20的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件：這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超過20的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有對組合，在不超過20的正整數(shù)中有共個(gè)數(shù)，所以，所以任取兩個(gè)素?cái)?shù)共有個(gè)對組合，其中是“孿生素?cái)?shù)”有，，，共對，所以這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)的共有對，所以，所以.故選：A6.在中，角所對應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)的外心為，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，由，因，故,而，故當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號.故選：A.7.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因?yàn)槭?0的倍數(shù)，所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C8.已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（）A.有且只有一個(gè)極值點(diǎn) B.在上單調(diào)遞增C.存在實(shí)數(shù)，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法中，正確是（）A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.已知一系列樣本點(diǎn)（）的回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差（殘差＝實(shí)際值－模型預(yù)測值）相等，則〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，故從小到大從第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，因?yàn)?，（），故，故，，故，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，關(guān)于對稱，所以，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，整理得，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：，即，∴，即，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，且，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，為偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，得，所以，即，則，可知的周期為4，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，將代入，得，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：關(guān)于對稱，由且關(guān)于對稱，知，又的周期為4，可得（），選項(xiàng)C中有等式，即，則有（）成立，∴，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（）A.B.若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3C.點(diǎn)到直線的距離是D.直線與平面所成角正弦值的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，使，，則，故，則，因，則時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值3，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，又，則，，故得：，，則點(diǎn)到直線的距離為：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，所以由，則，由，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號知，D項(xiàng)正確.故選：BD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.已知，且，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以，所?故〖答案〗為：13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______.〖答案〗（）〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗為：（）14.已知拋物線：，定點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，，，是切點(diǎn)，則面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，的斜率分別為，且，過點(diǎn)M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點(diǎn)，其到的距離為1，聯(lián)立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗為：.四、解答題15.的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.（1）證明：由，可得且，所以，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，可得，即，得證.（2）解：由（1）知，且，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以取最小值16.如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，底面為等邊三角形.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取，的中點(diǎn)為，，連接，，，由于側(cè)面為矩形，所以，∵，∴，由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四邊形為平行四邊形，故平面，故，又是中點(diǎn)，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故為的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由于平面的法向量為，故故平面與平面的夾角的余弦值為.17.等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個(gè)變量的數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較，這種類型圖表將多個(gè)條形圖堆積在一起并用顏色進(jìn)行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個(gè)條形圖的高度表示對應(yīng)變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個(gè)變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務(wù)工作者們在冬季行動(dòng)會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖.

材料材料合計(jì)試驗(yàn)成功

試驗(yàn)失敗

合計(jì)

單位：次（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，第三環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為2000元.試問如何定價(jià)（單位：萬元），才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標(biāo)？（精確到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如